数形结合与乘法意义的融合——以二年级第一学期“5的乘法”为例

徐沁馨 上海市七宝实验小学

乘法的引入，由“从加到乘”的学习，使学生从认识相同加数开始，结合具体事例，通过动手操作、观察、探究等学习活动，逐步体会乘法运算的意义。在行为与图阶段，学生通过对实物进行连续添加，初步理解乘法的基本含义。在符号语言阶段，则是利用“几个几”“几的几倍”构建乘法的含义，利用乘法口诀进行求解。在进行乘法概念的教学时，教师要紧密联系数形结合的数学思想，创设乘法概念的实际情景，引导学生自主探究，独立写出乘法算式，感知两个因数交换位置积不变，并且根据算式编写乘法口诀，以学生为课堂的主导者。下面以二年级第一学期“5 的乘法”为例，在教学实施过程中，建立以学生为中心的研究性学习教学模式，谈谈数形结合与乘法意义融合的设想与实践。

一、数形结合引入，探索5的乘法算式结果

我们调查发现，有接近一半的孩子已经会背乘法口诀表，一小部分孩子能用乘法口诀表计算表内乘法。但这些孩子只是机械地背乘法口诀表，不了解乘法的含义，而理解乘法的含义恰恰是这个单元的教学重点。利用小圆片的引入，先出示一排5 个小圆片，学生在学习了交换和看图列算式的基础上，通过不同的观察角度可以列出1×5=5 和5×1=5 两个算式。然后依次增加5 个小圆片直到5 个5。区别于数射线的引入，数射线展示的是一个完整的变化过程，单独拿出两个算式，学生在观察规律时不容易发现因数与积之间的关系。另外在教学10 的乘法时，我们就借助了百数图为辅助工具，让学生探究10 的乘法的计算方法。现在教学5 的乘法时再次利用小圆片更直观形象地展示每次增加1个5的变化过程。

教学片段1：

根据小圆片写出5的乘法算式（见图1）

图1

师：现在小眼睛仔细看屏幕，这里一共有几个小圆片？你会用乘法算式表示吗？

生：这是1个5，乘法算式是1×5=5，还能看作5个1，乘法算式是5×1=5。

师：你们学得真扎实，从不同的角度观察小圆片可以是1个5和5个1，这两个算式有一个小秘密——交换因数位置积不变。

现在多了5 个小圆片，你能根据图片列出两个算式吗？将结果填在横线上（见图2）。

图2

师：为什么5×5你们只写了一个算式呀？

生：因为他们的因数相同，所以只有一个算式。

师：观察这列算式，你们有什么发现呢？

生：一个因数都是5，另一个因数依次增加1，积就大5。

师：你们观察得真仔细，每多1个5，积就多5。

从一开始引导学生，通过之前学习过交换和看图列式的基础上，知道一幅图能写出两个乘法算式，为之后的一句乘法口诀对应两个算式做铺垫。并且通过让学生观察算式找出其中的规律，借助小圆片理解并说出含义。

根据规律完成5的乘法算式

师：没有小圆片帮忙了，按照现在的规律你能继续往下列出算式吗（见图3）？

图3

生：6×5=30，5×6=30；7×5=35，5×7=35；8×5=40，5×8=40；9×5=45，5×9=45。

这节课的新授部分是从看图写两个乘法算式开始的，安排了由图到符号语言的过渡环节，从1×5 到5×5，借助小圆片不仅使学生理解了乘法的意义，还观察了算式间的变化规律，推算出计算结果。然后放手在脱离实物的情况下用已有的学习方法推算出剩下算式的结果。

二、独立编写5的乘法口诀

《5 的乘法》是在《10 的乘法》之后，编口诀的第一课时，让学生经历编口诀、学会类推口诀、引导探究口诀表中各项之间的关系，熟练口算表内乘法，尤为重要，才能为后面学习2、4、8的乘法打好基础。

教学片段2：

师：根据前三句的口诀编写（1×5=5），我们可以把乘法算式的两个因数1和5作为口诀的前半句，一五，把积作为后半句，由于结果是5又比10小，为了顺口，可以在积的前面加一个得，一五得五。

还有哪个算式也能用这个口诀呢？

生：5×1=5。

师：你很善于观察，因数相同的两个乘法算式用同一个乘法口诀。

2×5=10，口诀可以写成二五一十

3×5=15，口诀可以写成三五十五

现在积是两位数，为了朗读顺口工整，我们怎么读就怎么写。

小朋友们想不想自己试着编写口诀呀？现在将剩下的5的乘法算式自己编写一下。

（一）展示学生独立编写的口诀，一起探索解决问题

学生根据之前教师的示范，自行解决问题（见图4）。

图4

生：①积满十了，口诀不用加“得”；②积是两位数，怎么读就怎么写。

（二）继续展示编写口诀时大小因数的顺序问题（见图5）

图5

（三）教师出示编写口诀视频（见图6）

图6

教师录制了一段口诀编写视频，介绍了编写口诀的原则和方法。

师：你们听懂了吗？能不能根据刚才老师视频里讲的修改一下？

齐读口诀

德国教育家第斯多惠曾说过:“科学知识是不应该传授给学生的,而应当引导学生去发现它们,独立地掌握它们。”学生如果不学会探索、独立思考,就不可能把知识转化为能力。学生是课堂的主导者，将课堂交给学生，教师做适当的引导示范作用，让学生去自主探究解决问题，增强学习能力。

三、利用数形结合验证5和10乘法之间的关系

数形结合思想是数学思想中的一种。我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”“数离不开形，形离不开数”，可见数形结合思想是解决数学问题的一种非常重要的方法。

（一）通过观察算式，发现规律

教学片段3（见图7）：

图7

师：观察这三组算式，你有什么发现吗？

生：第一个因数相同，5是10的一半，积也是一半。

（二）借助百数图验证想法

师：老师请出我们一位好朋友——百数图（见图8），借助百数图再来理解一下。

图8

师：通过同学们的观察以及百数图的验证，我们发现5的乘法和10的乘法之间的关系，几个5是几个10的一半。

学生知道5和10加倍与一半的关系，但对于算式中几个5是几个10的加倍与一半的关系较难理解，很难说出5的乘法和10的乘法之间也存在加倍与一半的关系。所以利用数形结合的思想，请出了百数图来帮忙，在媒体演示的过程中直观感受5 的乘法和10 的乘法之间也存在加倍与一半的关系。

小学数学分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”这四个学习领域，数形结合思想在这四个领域中都得到了广泛的应用。在乘法的学习中，利用百数图帮助学生理解数量关系，用最直观的方式体现了5 与10 的乘法之间加倍与一半的关系。数形结合思想在“数与代数”中的学习中无处不在，应用十分广泛。

新课程改革以后，小学数学教材对学生的实践能力、自主探究能力和合作交流能力等方面给予了足够的重视，教学内容也不仅仅是单纯地传授理论知识，其中包含着的信息更加丰富多样、开放且多元化。教师在上课之前，需要做的不仅是认真钻研教材内容，熟练掌握教材传达的有效信息，更要创造性地使用教材多向学生传达数学知识，并不只是单纯地教课本知识。在探究数学知识的过程中，可以借用图形、视频等相结合的方式，动态展示多元化的教学方式，激发学生的积极性。并且在设计问题时，多给学生一些思考时间，让学生去自主交流探索，适当地引导点拨，扩宽学生的思路。

低年级阶段由于身心发展尚不成熟，想要维持长久的注意力，首先需要把他们学习的积极性调动出来，其中最好的方法就是借助现代化的教学设备辅助教学，把静态的知识变为动态的，化抽象为具体。借助多媒体课件的重现力，把学生知识融为一体。课堂上，教师通过不同的教材内容，传授不同的数学思想和方法。《5 的乘法》这节课，运用到数形结合的思想和方法，使数与形两种信息互相转换并且优势互补，从而能将复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。新课程改革的环境下，教师要做一个具有创新精神的引导者，不再按教材内容去讲解，而是创造性地选择使用教材，改变原有的数学教学方式，放手让学生去发现问题，解决问题，激发学生的创造性，培养解决数学问题的能力。教师要提供给学生更多的实践、探索机会，加深学生对数学的理解，挖掘学生的创造力。

教育的先导性，决定了创新发展不可能是一个短期的目标，而是一个长期的过程。创新已是当今世界国家竞争的核心，但归根到底，竞争的还是教育的创新发展能力。利用教师制作的配音视频，让学生自主探究乘法口诀，是一种创新的教学方式，激发教育活力；利用数形结合的数学思想构建教学课程，使学生更加直接简单易懂地了解5的乘法和10的乘法之间的关系，使课堂成为充满旺盛生命力的活力教育。