2022年清华大学强基计划数学试题(部分)及其详解

甘志国

(北京丰台二中 100071)

2022年清华大学强基计划数学测试已于2022年6月28日举行，试题共35道，全部是不定项选择题.本文回忆出了其中的12道题(并且大部分题的选项也不完整)，还给出了其详细解答.

按本文列出的顺序：第1,6题均是抽象函数问题；第2，9题均是不等式问题，其中第2题涉及柯西不等式与均值不等式；第3,4题均是复数问题；第5,7,8,10,11,12题分别是立体几何中的三视图问题、排列组合问题、初等数论问题、考查定积分的定义、平面解析几何中的四叶玫瑰线问题、平面向量问题中的数量积.其中第2,3,6题在全国高中数学联赛预赛试题(下简称预赛试题)中均出现过类题；第6题在预赛试题中还出现过两次类题，但这三道题中的抽象函数均不存在(即都是错题).相对于高考数学试题，这份强基计划数学试题新颖，整体难度适中.

题1若运算“&”满足x&(y&z)=x&y+z,x&x=0，则2000&2002=____.

解法1 在题设中令x=y=z=2000，可得

2000&(2000&2000)=2000&2000+2000=0+2000=2000，

2000&(2000&2000)=2000&0.

所以2000&0=2000.

在题设中令x=2000,y=z=2022，可得

2000&(2022&2022)=2000&2022+2022,

2000&(2022&2022)=2000&0=2000.

所以2000&2022=2000-2022=-22.

解法2 在题设中令y=z=x，可得

x&(x&x)=x&x+x=0+x=x,

x&(x&x)=x&0.

所以x&0=x.

在题设中令z=y，可得

x&(y&y)=x&y+y,

x&(y&y)=x&0=x.

所以x&y=x-y.

还可验证x&y=x-y满足题设.

所以2000&2022=2000-2022=-22.

题2若a2+b2+c2+d2+e2=1，则|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|+|e-a|的最大值是____.

解法1 因为5是奇数，所以在a,b,c,d,e,a中必有两个相邻的数同号(包括0)，可不妨设ea≥0同号，可不妨再设a≥e≥0(若a≤e≤0，把下面解答中的a,b,c,d,e分别换成-a,-b,-c,-d,-e，即可得到相应解答).

因为是求最大值，因而可只考虑a≥0,b≤0,c≥0,d≤0,e≥0的情形，得

由柯西不等式，可得

所以最大值是4.

解法2 同解法1知，可只考虑a≥0,b≤0,c≥0,d≤0,e≥0,a≥e的情形，得

|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|+|e-a|

=a-b+c-b+c-d+e-d+a-e

=2(|a|+|b|+|c|+|d|).

由柯西不等式，可得

(1×|a|+1×|b|+1×|c|+1×|d|)2≤(12+12+12+12)(|a|2+|b|2+|c|2+|d|2)≤4(a2+b2+c2+d2+e2)=4.

所以|a|+|b|+|c|+|d|≤2,当且仅当|a|=|b|=|c|=|d|,e=0时取等号.

所以最大值是4.

注本题与2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛新疆赛区选拔赛第11题如出一辙，这道题是：

题3 若复数z满足|z|=1，则|(z-2)(z+1)2|的最大值是____.

解法1 可设z=cosθ+isinθ，得

|(z-2)(z+1)2|2

=|(cosθ-2+isinθ)(cosθ+1+isinθ)2|2

=|(cosθ-2+isinθ)(2cos2θ+2cosθ

+2isinθ(cosθ+1)|2

=4|2cos3θ-3cosθ-1+isinθ(2cos2θ-2)|2

=4[(2cos3θ-3cosθ-1)2+(1-

cos2θ)(2cos2θ-2)2]

=4(-4cos3θ-3cos2θ+6cosθ+5).

再设函数f(x)=-4x3-3x2+6x+5(-1≤x≤1)，可求得

f′(x)=-6(x+1)(2x-1)(-1≤x≤1).

解法2 可设z=a+bi(a,b∈[-1,1],a2+b2=1)，得

|(z-2)(z+1)2|2=|z-2|2·|z+1|4

=[(a-2)2+b2][(a+1)2+b2]2

=(5-4a)(2a+2)(2a+2)

|(z-2)(z+1)2|2=|z-2|2·|(z+1)2|2

再由三元均值不等式，可得

注本题源于2017年全国高中数学联赛辽宁赛区预赛第7题“已知复数z满足|z|=1，则|z3-3z-2|的最大值为____.”

题4在复平面上，复数z1,1+i,1+ai(a∈R)对应的点分别是A,B,C，点A在线段BC上运动，复数z2满足|z2|=1.若复数z1+z2对应的点组成的图形的面积是π+4，则a可能的取值是____.

解析由题设“线段BC”可得a≠1.

(1)当a<1时，可设z1=1+bi(a≤b≤1),z2=cosθ+isinθ，得

z1+z2=1+cosθ+(b+sinθ)i(a≤b≤1).

再设z1+z2=x+yi(x,y∈R),a<1，可得

进而可得复数z1+z2对应的点(x,y)组成的图形即动圆(x-1)2+(y-b)2=1(a≤b≤1).

当a=-1时，复数z1+z2对应的点(x,y)组成的图形即图1中的阴影部分，其面积是π·12+22=π+4；当a<-1时，复数z1+z2对应的点(x,y)组成的图形的面积大于π+4；当-1

图1

(2)当a>1时，同理可求得a=3.

综上所述，可得所求a可能的取值是-1或3.

题5若某几何体的三视图如图2所示(图2中不是顶点的点都是所在线段的中点，图中最长的线段长都是2)，则该几何体的体积是( ).

图2

图3

还可对l用数学归纳法证得

注在以前的全国高中数学联赛预赛试题中两次出现过该题的类题：

参考答案C.

实际上，由下面的定理可知上面三道题均是错题：因为满足题设的抽象函数f(x)均不存在.

下面对k(k∈N)用数学归纳法证明：当x∈[nk(2-n),0]时，f(x)=0.

(1)当x∈[2-n,0]时，1-x∈[1,n-1]，所以f(1-x)=1，再由①可得f(x)=0.故k=0时成立.

(2)假设k=l(l是某个自然数)时成立：当x∈[nl(2-n),0]时，f(x)=0.

所以当x∈[nk(2-n),0]时，f(x)=0.

所以，当x≥1时，1-x≤0，得f(1-x)=0，再由①得f(x)=1.

我们在编拟抽象函数问题时，一定要注意函数的存在性.

题7用蓝色和红色给一排10个方格涂色，要求至多有两个蓝色方格相邻的涂法种数是( ).

A.504 B.505 C.506 D.507

(7)蓝色方格数是8的涂法种数是0.先涂出2个红色方格，它们形成3个空隙，这3个空隙放8个蓝色方格，必有3个蓝色方格相邻，不满足题设.

同理，可得蓝色方格数是9,10的涂法种数均是0.

综上所述，可得所求答案是56+112+161+126+45+4+0+0+0=504.

所以当且仅当n=6时，(a2+b2+c2)min=192+62+302=1297.

题9若a2+ab+b2=3(a,b∈R)，则a2-ab+b2的最大值与最小值分别是____.

解法1 由题设，可得

3=a2+ab+b2≥3ab,ab≤1，a2-ab+b2=(a2+ab+b2)-2ab=3-2ab≥1，当且仅当a=b=±1时取等号.

还可得3=a2+ab+b2=(a+b)2-ab≥-ab,

ab≥-3,

a2-ab+b2=(a2+ab+b2)-2ab=3-2ab≤9,

所以a2-ab+b2的最大值与最小值分别是9,1.

解法2 可得题设即

所以a2-ab+b2=(a2+ab+b2)-2ab

=3-2ab

进而可得a2-ab+b2的最大值与最小值分别是9,1.

解析由定积分的定义，可得

题11 对于曲线C:(x2+y2)3=16x2y2，有( ).

A.曲线C仅过原点这一个整点

B.曲线C上的点与原点距离的最大值是2

C.曲线C围成图形的面积大于4π

D.曲线C是轴对称图形

解析由题设，可得曲线C上的点(x,y)满足

①

所以选项B正确.还可得曲线C上的点均在以原点为圆心、2为半径的圆内或圆上，所以选项C错误.

可得四条直线y=±x,x=0,y=0均是曲线C的对称轴，所以选项D正确.

注题中的曲线C即四叶玫瑰线(如图4所示).

图4

解法2 我们先证明向量的回路恒等式