平面几何中垂直的证明方法

耿 永

(贵州省遵义市第十八中学 563099)

1 原题呈现

图1

2 试题解析

解法1如图2，取AB中点E，连接DE,CE,DB.

因为AB∥CD,AB=2,CD=1,

所以CD∥BE且CD=BE.

所以四边形DCBE为平行四边形.

又BC=BE=1,

所以四边形DCBE为菱形.

图2

所以BD⊥CE.

同理可证：四边形AECD为平行四边形.

所以AD∥CE.

所以BD⊥AD.

因为PD⊥面ABCD，所以PD⊥BD.

因为PD∩AD=D，PD,AD⊂面PAD，

所以BD⊥面PAD.

因为PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.

解法2由AD=CD=BC=1，AB∥CD知四边形ABCD为等腰梯形.

所以∠DAB+∠DCB=180°.

所以cos∠DAB=-cos∠DCB.

在△ABD和△CBD中，由余弦定理知

所以AD2+BD2=AB2.

所以BD⊥AD.

因为PD⊥面ABCD，所以PD⊥BD.

因为PD∩AD=D，PD,AD⊂面PAD，

所以BD⊥面PAD.

因为PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.

图3

所以BD2=DE2+EB2=3.

因为AD=1,AB=2,

所以AD2+BD2=AB2.

所以BD⊥AD.

因为PD⊥面ABCD，所以PD⊥BD.

因为PD∩AD=D，PD,AD⊂面PAD，

所以BD⊥面PAD.

因为PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.

解法4 如图4，取BD中点E，连接CE.

在△BCD中，CD=BC=1，所以CE⊥BD.

即∠DEC=90°.

图4

因为AB∥CD,所以∠EDC=∠DBA.

所以△DEC∽△BDA.

所以∠BDA=∠DEC=90°.

所以BD⊥AD.

因为PD⊥面ABCD，所以PD⊥BD.

因为PD∩AD=D，PD,AD⊂面PAD，

所以BD⊥面PAD.

因为PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.

解法5 如图5，取AB中点E，连接DE.

易知CD∥BE且CD=BE.

图5

所以四边形DCBE为平行四边形.

所以BC=DE=1.

又AD=AE=1，所以△ADE为正三角形.

即∠DAE=60°.

在△DAB中, 由余弦定理知

BD2=12+22-2×1×2cos60°.

因为AD=1,AB=2,

所以AD2+BD2=AB2.

所以BD⊥AD.

因为PD⊥面ABCD，所以PD⊥BD.

因为PD∩AD=D，PD,AD⊂面PAD，

所以BD⊥面PAD.

因为PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.

解法6 由解法5知DE=1.

即ED=EA=EB.

所以点D在以E为圆心，AB为直径的圆上.

所以BD⊥AD.

因为PD⊥面ABCD，所以PD⊥BD.

因为PD∩AD=D，PD,AD⊂面PAD，

所以BD⊥面PAD.

因为PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.

解法7 由解法5知△ADE，△DEC，△BEC均为正三角形.所以∠DCB=∠DCE+∠ECB=120°.

因为AD=1,AB=2,所以AD2+BD2=AB2.

所以BD⊥AD.

因为PD⊥面ABCD， 所以PD⊥BD.

因为PD∩AD=D，PD,AD⊂面PAD，

所以BD⊥面PAD.

因为PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.

图6

即BD⊥AD.

因为PD⊥面ABCD，所以PD⊥BD.

因为PD∩AD=D，PD,AD⊂面PAD，

所以BD⊥面PAD.

因为PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.

图7

因为AD=1,AB=2,所以AD2+BD2=AB2.

所以BD⊥AD.

因为PD⊥面ABCD，所以PD⊥BD.

因为PD∩AD=D，PD,AD⊂面PAD，

所以BD⊥面PAD.

因为PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.

解法10如图8，由AB=2，AD=CD=BC=1，AB∥CD，知四边形ABCD是以1为边长的正六边形的一半.

图8

所以A,B,C,D四点共圆，且以AB为直径.

所以BD⊥AD.

因为PD⊥面ABCD， 所以PD⊥BD.

因为PD∩AD=D，PD,AD⊂面PAD，

所以BD⊥面PAD.

因为PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.

通过以上十种证明垂直的方法，涉及到的解题方法有：勾股定理的逆定理、四点共圆问题、正余弦定理、三角形的相似等，希望同学们从中可以受到启发，对以后相关题目具有指引作用.