2022年北大暑期学堂数学试题及其详解

唐浩哲

(北京市十一学校 100039)

北大暑期学堂全称为“北京大学优秀中学生暑期学堂”，与之并列的还有北大的寒假学堂以及清华的暑期学校、寒假课堂，参加这些营的营员均为各省市重点高中校推荐.营员们除了在辅导员和学长的带领下进行学科前沿体验、校园文化巡礼外，还会参加一场综合各学科的笔试测试，笔试成绩优异者将被评定为优秀营员，并影响后续强基A+政策的发放.另一方面，2022年北大暑期学堂因为疫情原因改为线上，数学试题也由以前的解答题改为单项选择题，题型和题目难度与北大强基数学试题非常类似.因此，此套题对于准备北大暑期学堂、寒假学堂和强基考试的读者都具有重要的参考价值.

1.一些同学参加暑期学堂考试，每名同学得分均在60至100之间，若这些同学平均分为76分且恰有5人得100分，则参加考试人数的最小值为( ).

A.14 B.15 C.16 D.以上都错

解析设有n人参加考试，则76n≥100×5+60(n-5)，解得n≥12.5，即n≥13.当n=13时，取5人得100分，1人得68分，7人得60分，平均分恰为76分.

所以参加考试人数最小值为13.

故选D.

2.设a,b,c是三边长，且满足2a2+3(b2+c2)=21，则当三角形面积最大时，a+b+c的值为( ).

解析由海伦公式，得

故选B.

3.设a>0，f(x)=a(x2+x)+1，t为一个给定实数，则2023个数f(t)，f(t+1)，f(t+2)，…，f(t+2022)中，正数的个数为( ).

A.最多1010个 B.最多2021个

C.最少2022个 D.以上都错

所以f(t)，f(t+1)，f(t+2)，…，f(t+2022)中至少有2022个正数.

故选C.

4.凸四边形ABCD中，E,F分别是其对角线AC和BD的中点，直线EF与AB,CD,分别交于G,H，若△ADH,△BCH,△ABH面积分别为2,4,5，则△CDG的面积为( ).

A.3 B.5.5 C.6 D.以上都错

图1

解析如图1所示，S△CDG=S△CEG+S△CEH+S△DFG+S△DFH.

因为E,F是AC,BD中点，

所以S△CEG=S△AEG，

S△CEH=S△AEH，

S△DFG=S△BFG，

S△DFH=S△BFH.

所以S△CDG=S△AEG+S△AEH+S△BFG+S△BFH

=S△ABH=5.

故选D.

A.1 B.-1 C.-π D.以上都错

解析依题意，α+β=2p，αβ=-1，α2+β2=(α+β)2-2αβ=4p2+2，可由αn+2+βn+2=(an+1+βn+1)(α+β)-αβ(αn+βn)归纳证明αn+βn均为偶数(n∈N+).

故选C.

解析因为(5x4+4x3+3x2+2x+1)(5x4-4x3+3x2-2x+1)=25x8+14x6+3x4+2x2+1，

所以题目转化为：

此方程整理为

13z4-62z3+114z2-86z+25=0.

故选A.

所以圆方程应为

乘开后比对系数知

故选B.

8.满足y2=x4+2x3+x2-11x+11的整数对(x,y)的个数为( ).

A.0 B.2 C.4 D.以上都错

解析显然(1,±2),(2,±5)为方程的解，以下证明当x≥3或x≤0时无其它解.

将原方程变形为

x2(x+1)2-y2=11(x-1).

①

即(x2+x+y)(x2+x-y)=11(x-1).

不妨设y≥0，当x≥10时，|x2+x+y|-|11(x-1)|=x2-10x+11+y>0，矛盾；

当x≤-13时，|x2+x+y|-|11(x-1)|=x2+12x-11+y>0，矛盾.

又若x为3的倍数，则y2≡2(mod3)，矛盾；

若x为4的倍数，则y2≡3(mod4)，矛盾.

所以只需再用①检验x=-11,-10,-7,-5,-2,-1,0,5,7均不成立.

综上，方程的解为(1,±2),(2,±5)，共4组.

故选C.

9.满足n3除以1000余111且不超过2022的正整数n的个数为( ).

A.0 B.1 C.2 D.以上都错

解析显然n的个位只能是1.

则n3≡300a+300b2+30b+1(mod1000).

依题意，

300a+300b2+30b+1≡111(mod1000).

①

所以30b+1≡11(mod100)，解得b=7.

再代回①，得300a+911≡111(mod1000)

解得a=4.

所以满足题意的n为471和1471.

故选C.

10.方程(2x+2)(5-2x)(4x2+8x+11)=10(2x+3)2的所有非实数根的平方和为( ).

解析设y=2x，则原方程整理得

y4+y3-y2-13y-20=0.

由待定系数法分解因式得

(y2-y-4)(y2+2y+5)=0.

显然y2-y-4=0有两个实根，设y1,y2为y2+2y+5=0的两虚根，则所求为

故选A.

11.设ABC-A1B1C1是一个直三棱柱，且A1B=4，BC=5，A1C=6，则四面体C1A1BC体积的最大值为( ).

故选C.

12.设α,β满足cos(α+β)=cosα+cosβ，则cosα的最大值与最小值的差为( ).

解析由条件整理得

(cosα-1)cosβ-sinαsinβ=cosα.

故选C.

13.设A是一个2022元集合，则满足S与T的交非空的A的子集对(S,T)的个数为( ).

A.32022B.2022·22022C.22022D.以上都错

解析先求满足S与T的交为空的情况数：

所以所求为42022-32022.

故选D.

14.设a,b为实数，直线ax-by=1与双曲线x2-y2=1的两支分别交于P,Q两点，设点A坐标为(a,b)，则△APQ面积的最小值是( ).

因为交于两支，所以b2>a2.

故选C.

15.有一个盒子装有5个小球，每次试验从盒子中随机取出1个小球，同时投掷硬币，若硬币为正面，则取出的小球留在外面，若硬币为反面，则取出的小球放回盒子，重复试验至盒子中无小球时停止.设恰经过n次试验后停止的概率为pn，则pn的最大值是( ).

所以p5p10>….

故选A.

故选B.

A.2022 B.-2022 C.1011 D.以上都错

解析因为(5-3x)2023+(4x)2023=0，

故选D.

A.1 B.2 C.2nD.以上都错

解析所给条件的n个式子相乘得

(x1x2…xn)n-2=n!，

结合x2x3…xn=x1，

注意到x1,x2,…,xn-1的符号可任取，但当它们的符号确定后，xn的符号也随之确定下来，因此满足条件的(x1,x2,…,xn)的个数为2n-1.

故选D.

19.边长依次为4,6,7,8,9且有内切圆的五边形的个数为( ).

A.0 B.1 C.2 D.以上都错

图2

解析因为由同一点引圆的两条切线段长度相等，所以可列方程求得图中各切线长度.

设内切圆半径为r，由几何关系知

故选B.

故选D.