聚焦“指数、对数函数”常见解题误区

文丽娜

(甘肃省陇南市康县第一中学 746500)

本文对指数函数和对数函数的常见解题误区加以归类解析，旨在帮助同学们全面准确地理解、认识指数函数和对数函数的图象与性质，有利于积累解题经验，避免一些常见差错的产生，进而提高处理此类问题的技能技巧.

1 未注意对数函数的定义域而致错

反思一般地，求解与对数函数y=logax有关的函数的定义域和单调区间时，应优先考虑其本身的约束条件x>0；否则，极易出错.

2 未注意指数函数的值恒大于零而致错

例2已知函数y=9x+2·3x+2,x∈R，求函数的值域.

错解令t=3x，则因为y=t2+2t+2=(t+1)2+1≥1，故所求函数的值域为[1,+∞).

剖析错解的根源在于：误认为t∈R，从而(t+1)2+1≥1.而实际上，因为当x∈R时，t=3x>0，所以(t+1)2+1>2.

正解令t=3x，则因为t>0，所以y=t2+2t+2=(t+1)2+1>2，故所求函数的值域为(2,+∞).

反思一般地，换元之后，要注意分析新元的取值范围.特别地，若a>0,x∈R，则必有ax>0.

3 未注意函数的图象有渐近线而致错

例3 设0

错解如图1，在同一坐标系内分别作出曲线y=|ax-1|和直线y=2，则因为曲线与直线有2个不同的交点，而交点的横坐标就是原方程的实数解，所以原方程的不同实数解共有2个.

图1 图2

剖析错解的根源在于：没有注意到指数函数y=ax的图象有渐近线——x轴，即直线y=0，从而所作曲线y=|ax-1|的图形不准确，由此导致错误的产生.

正解如图2，首先准确作出曲线y=|ax-1|的图形，注意在y轴右侧的图形有渐近线y=1；然后再作直线y=2，则由图观察即知原方程的不同实数解共有1个.

反思一般地，利用指数、对数函数的图象解题时，要注意准确作图是解题的关键所在.

4 未注意函数特性的灵活运用而致错

图3

反思一般地，遇到二次函数与指数函数、对数函数在图象方面的交汇问题时，要注意认真观察函数的图象，灵活运用函数的特性，加以准确分析.

5 未注意底数对函数单调性的影响而致错

错解(1)由原不等式变形得log3a(x-1)

(2)错解的根源在于：分析t的取值范围时，误以为指数函数t=ax在[-1,1]上单调递增.而实际上，因为底数a>0，且a≠1，所以指数函数t=ax在[-1,1]上的单调性不确定，故应加以讨论分析.

(2)当a>1时，同错解可得a=3.

反思①利用指数函数、对数函数的单调性解题时，首先要注意考查底数与“1”的大小关系，若不确定，则应分情况讨论.②一般地，若常数a>1，则有logax>logay⟺x>y>0；若常数0logay⟺y>x>0.

6 未注意对数函数的值域为R必须满足真数取遍所有的正数而致错

例6 若函数f(x)=ln(ax2+2x+1)的值域为R，求实数a的取值范围.

剖析当真数大于零时，并不能保证真数一定取遍所有的正数，从而对应函数的值域也就不一定是R.例如：函数y=lg(x2+1)中真数x2+1≥1>0，但对应y≥lg1=0，即函数的值域是[0,+∞)，显然就不是R.上述错解，实际上是分析了当函数f(x)的定义域为R时，实数a∈(1,+∞).

正解依题设，应使函数g(x)=ax2+2x+1的函数值取遍所有的正数.

综上可知，所求实数a的取值范围是[0,1].

反思本题分析的关键在于以下两点，一是由题设得到必须满足对数的真数ax2+2x+1的值要取遍所有的正数；二是必须按a=0和a≠0进行具体的讨论分析.

以上，通过“借误导悟”的形式，具体阐明了在处理有关指数、对数函数问题中经常会遇到的一些解题误区，能够帮助同学们加深对指数、对数函数的图象和性质的再理解与再认识.同时，也能够较好地提升同学们在直观想象、数学运算以及逻辑推理方面的核心素养.