构造法在高中数学解题中的应用

孙利萍

(云南省怒江州民族中学 673100)

近年来，随着经济社会的不断发展，我国也加快了课程改革，其中包含数学学科，这使得对数学思想方法的研究也在不断地深入.作为一种技巧性和创新性很强的非常规性解题方法，数学构造法的应用有一定的前提条件，不仅要求学生有扎实的数学基础知识，还能够全面分析高中数学解题的特点.

1 构造几何图形解题

从整个高中数学知识体系的角度来讲，其包含代数和几何两大部分的内容.在高中数学解题教学中，将构造法应用其中，不仅能够解决各种代数问题，还能够应对和处理几何图形问题.通过切实构建几何图形，能够有机融合所研究问题的特征和图形，达成解决几何问题的目的.

图1

解析教师可以引导学生运用构造法切实解决几何图形问题，根据题目中的cosα2+ cosβ2+cosγ2=1，连接长方体对角线，构造如图1所示的图形.通过构造长方体ABCD-A1B1C1D1的方式，不仅能够将长方体对角线DB1和其三条侧棱对应∠α，∠β，∠γ三个夹角明确下来，还能够将三条棱AD，DD1，DC的长分别设置为a，b和c，以此来保证其能够被证实.基于这种状况，当且仅当三条棱相等的时候，才能够保证不等式取等号的原问题被证实.

2 构造辅助角解决几何问题

通过构造辅助角解决问题的方式被称为构造辅助角法.在实际解决几何问题的时候，常常会依托辅助角，建立起相应的联系，这样一来就能够使几何问题得到切实的解决.对已知条件的角度和结论进行深入分析，采取构造两个或者多个角的方式，构造出与题目相应的辅助角.

例2在棱长全都相等的四面体A-BCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连接AF，CE，如图2所示.

(1)求异面直线AF，CE所成的角；

(2)求CE与底面BCD所成角的大小.

图2

解析(1)构造∠AFG，连接AG，则∠AFG就是AF和CE所形成的角.

(2)通过构造∠ECM，BD⊥面EMN，而BD⊂平面BCD,所以平面EMN⊥平面BCD.

由此EH⊥平面BCD.

即∠ECH就是CE和平面BCD所成的角.

因为△EMD和△NMD都是直角三角形，MD为公共边，则∠EDM=∠NDM=60°.

所以△EMD≌△NMD.

3 构造向量解决几何问题

例3已知定点A(-1，0)和B(1，0)，P是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一个动点，则|PA|2+|PB|2的最大值和最小值是多少.

图3

点P在圆(x-3)2+(y-4)2=4上，

4 构造辅助多边形解决几何问题

为了切实解决平面几何或者立体几何当中的重要问题，可以采取构造更加复杂的几何图形方式.要想保证构造的多边形是切实有效的，必须要结合题目中所给出的各种已知条件或者结论等内容.一般情况下，涉及到三角形的几何题，需要利用三角形的某些特性来构造三角形.如果题目中已知的条件或者结论涉及到正方形或者平行四边形，则可以采取构造相应的正方形或者平行四边形的方式.

图4

证明(采取构造法，将△CFG构造出来)

(1)因为AD⊥CD，所以△ADC与△ADF都是直角三角形.

又因为∠CAD=∠FAD，AD为公共边，

所以△ADC≌△ADF.所以CD=FD.

即D为CF的中点.

同理可得E是CG的中点

即DE=FG，故DE∥AB.

(2)由 △ADC≌△ADF，得出AC=AF.

由△BEC≌△BEG，得出BC=BG.

5 构造辅助圆来解决几何问题

通过添加辅助圆，充分考虑圆的性质，寻求解决几何问题的已知条件和隐含条件.这种借助构造圆解决问题的方式叫做构造辅助圆.采取这种方式可以将平面几何中关于角度和线段相等等方面的问题得到解决.同时，还要考虑平面几何中的计算题和极值等问题，以此来构造辅助圆.

例5在平面直角坐标系内存在三点，即A,B,C，其中点A的坐标为(4，0),点B的坐标为(-6，0)，点C在y轴上，并且是一个动点.当∠BCA=45°的时候，点C的坐标可以表示为____.

图5

解析设点E为线段AB的中点，AB=10，点E可以表示为(-1，0)，由于点C的位置存在两种可能，即在y轴正半轴或者y轴负半轴，所以要分情况讨论.

其一：假设点C在y轴的正半轴，如图5所示.

此时以点P为圆心，PA当作半径，

过点P作垂直于y轴的点F，则OF=PE=5.

根据勾股定理，在Rt△PFC中，可得CF=7.

由此OC的长度为5+7=12，即C(0，12).

其二：假设点C在y轴负半轴，则类比第一种解法，可得点C的坐标为(0，-12).

综上，点C的坐标为 (0，12)和(0，-12).

综上所述，采取了具体的高中数学解题案例的方式，利用数学构造法，并且将其应用在高中数学解题当中.教师应当尽可能引导学生发现其中的隐藏条件，尽可能降低构造法的具体应用意识.同时，高中数学教师在培养学生数学学习和教学思维能力的过程中，并未完全融入构造法的技巧和能力，还受到了一定的研究因素和条件限制.为此，对构造法在高中数学解题当中的应用还需要更进一步的探究，从而保证学生形成正确合理的构造法几何解题策略.