三角函数常见问题及解答策略分析
2023-03-17施美仙
施美仙
［摘 要］三角函数是高中数学的重要知识点，三角函数考点较多，学生在面对不同问题时无从下手，容易出现错误。文章总结三角函数的常见问题，并有针对性地提出解答策略，以期提高学生的解题效率。
［关键词］三角函数；常见问题；解答策略
［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2023）35-0011-03
三角函数是高中数学的重要知识点，在每年的高考数学试卷中都会出现多道与三角函数相关的题目，题型多为选择题、填空题和解答题。本文总结三角函数的常见问题，并有针对性地提出解答策略，以期提高学生的解题效率。
一、最值问题
三角函数最值问题的常用解答策略有運用基本性质、利用辅助角、运用均值不等式等。在实际解题中，还需要学生结合题意，选择合适的解题策略。
［例1］已知[α∈0，π2]，[β∈0，π2]，且[sin（2α+β）=32sinβ]，则[cosβ]的最小值为（）。
A. [53] B. [55] C. [12] D. [23]
解析：因为[sin（2α+β）=32sinβ]，所以[sin（α+β）+α=32sin（α+β）-α]，所以[sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=32sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα]，
进一步整理可得[sin（α+β）cosα=5cos（α+β）sinα]，所以[tan（α+β）=5tanα]，即[tanα+tan β1-tanαtan β=5tanα]，故[tanβ=4tanα1+5tan2α=41tanα+5tanα≤421tanα×5tanα=255]，而且在[tanα=55]时取等号。
因为[tan β]的最大值为[255]，所以[1cos β]的最大值为[1+tan2β=355]，所以[cos β]的最小值为[1355=53]。故正确答案为A。
二、[ω]取值范围问题
三角函数中[ω]取值范围问题是高考数学中常见的一类问题，这类问题一般会与三角函数的单调性、对称性、零点等相关内容进行联系。在解题中，需要学生灵活运用三角函数的图象及相关性质对问题进行分析，进而解答问题。
［例2］已知[ω>0]，函数[f（x）=sinωx+π4]在[π2，π]上单调递减，则[ω]取值范围为（）。
A. [12，54] B. [12，34]
C. [0，12] D. [0，2]
解析：令[π2+2kπ≤ωx+π4≤3π2+2kπ（k∈Z）]，可得[π4ω+2kπω≤x≤5π4ω+2kπω（k∈Z）]，
所以函数[f（x）=sinωx+π4]的单调递减区间为[π4ω+2kπω，5π4ω+2kπω（k∈Z）]，
因为函数[f（x）=sinωx+π4]在[π2，π]上单调递减，所以[π2，π?π4ω+2kπω，5π4ω+2kπω（k∈Z）]，
所以[π4ω+2kπω≤π2，π≤5π4ω+2kπω（k∈Z）]，
解得[ω≥12+4k，ω≤54+2k（k∈Z）]，
因为[ω>0]，所以[k=0]，所以[12≤ω≤54]，故选A。
三、单调性问题
单调性作为三角函数的基本性质，是解答三角函数复杂问题的基础。三角函数单调性问题的解答策略也不尽相同，常用的解答策略有整体代入、同增异减、图像分析等，每种策略都有自身的优势，如[y=sin（ωx+φ）（ω>0）]、[y=cos（ωx+φ）（ω>0）]、[y=tan（ωx+φ）（ω>0）]等形式的三角函数运用整体代入法可以快速解答。这就需要学生在日常学习中总结常见解答策略的运用情景，以保证在实际考试中可以快速准确地选择合适的解题策略，高效解答问题。
［例3］函数[f（x）=Asin（ωx+φ）A>0，ω>0，φ<π2]的部分图象如图1所示，将其横坐标扩大到原来的4倍，纵坐标不变，后图象沿[x]轴向左平移[π3]个单位长度，得到函数[g（x）]的图象，则[g（x）]的一个单调递增区间为（）。
A. [-5π3，π3] B. [π3，7π3]
C. [π4，3π8] D. [3π8，π2]
解析：由函数[f（x）=Asin（ωx+φ）A>0，ω>0，φ<π2]的部分图象可知[A=1]，可解得[ω=2]，
结合五点作图法，可得[2×π6+φ=π2]，所以[φ=π6]，则函数[f（x）=sin2x+π6]。
根据平移规律可得[g（x）=sin12x+π6+π6=sin12x+π3]的图象。
令[2kπ-π2≤12x+π3≤2kπ+π2]，
解得[4kπ-5π3≤x≤4kπ+π3]，
可得函数[g（x）]的单调递增区间为[4kπ-5π3，4kπ+π3，k∈Z]，
令[k=0]，则[g（x）]的一个单调递增区间为[-5π3，π3]。
四、零点问题
因为三角函数图象的特殊性，使得三角函数零点问题频繁出现在高考试卷之中。关于零点的考查，主要包括零点的存在与否、零点个数、零点和等几类问题。对于不同的零点问题，解题方法也不尽相同。如求零点个数的问题，可以运用直接法、定理法和数形结合法；零点和问题则更多地考查学生对图象的理解。在实际的解题中，除了需要学生掌握基本的解题策略，还需要学生掌握诸多函数的图象及性质。
［例4］函数[f（x）=2sinxsinx+π2-x2]的零点个数有（）。
A. [0] B. [1] C. [2] D. [3]
解析：由分析可知，函数[f（x）=2sinxsinx+π2-x2]的零点个数等价于方程[2sinxsinx+π2-x2=0]的根的个数，即函数[g（x）=2sinxsinx+π2]与函数[h（x）=x2]图象的交点个数，
[g（x）=2sinxsinx+π2=2sinxcosx=sin2x]，
画出函数[g（x）=sin2x]与[h（x）=x2]的图象如图2所示，
由图2可知，两个函数图象的交点个数为2，
则函数[f（x）=2sinxsinx+π2-x2]的零点个数有2个，故正确答案为C。
五、角度問题
角度问题会出现在选择题、填空题及解答题等题型中，解答这类问题时，需要学生熟悉掌握三角恒等变换，并能结合函数的基本性质及正余弦定理。
［例5］[△ABC]内角[A]、[B]、[C]的对边分别为[a]、[b]、[c]，已知[cosA1+sinA=sin2B1+cos2B]，若[C=2π3]，求[B]。
解析：因为[sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB]，所以[cosA1+sinA=sinBcosB]，
[cosAcosB=sinB+sinAsinB]，
[cosAcosB-sinAsinB=sinB]，
即[cos（A+B）=sinB]，所以[cos（π-C）=sinB]，[sinB=cosπ3=12]，
又[0 六、综合问题 通过对近几年的高考数学试题进行分析，发现对三角函数综合问题的考查在不断增加。在实际的考查中，往往会将三角函数与平面几何、函数方程、平面向量、基本不等式等相关知识进行联系，而这就需要学生除了掌握三角函数相关知识，还需要切实掌握其他诸多知识，这样才能有效解答综合问题。 ［例6］设向量[m=（2sinωx，cos2ωx-sin2ωx）]，[n=（3cosωx，1）]，其中[ω>0]，[x∈R]，且已知函数[f（x）=m·n]的最小正周期为[π]。 （1）求[ω]的值； （2）在[△ABC]中，若[f（B）=-2]，[BC=3]，[sinB=3sinA]，求数量积[BA·BC]的值。 解析：（1）由题意知，[f（x）=m·n=23·sinωxcosωx+cos2ωx-sin2ωx]， [3sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π6]， 又因为[ω>0]，函数[f（x）]的最小正周期为[π]， 可知[2π2ω=π]，解得[ω=1]。 （2）由（1）知，函数[f（x）=2sin2x+π6]，所以由[f（B）=-2]，得[2sin2B+π6=-2]， 即[sin2B+π6=-1]，又由[0 从而可知[2B+π6=3π2]，解得[B=2π3]， 又因为[sinB=3sinA]，所以[3sinA=sin2π3=32]，化简可得[sinA=12]， 又易知[0 因此，[C=π-A-B=π6]， 于是[A=C]，故[AB=BC=3]。 故[BA·BC=BA·BC·cosB=3×3×cos2π3=-32]。 本题中，（1）考查数量积的坐标运算、三角恒等变换及正弦型三角函数的周期性，首先将[f（x）=m·n]转化为[f（x）=][2sin2ωx+π6]，而后由[ω>0]及函数[f（x）]的最小正周期为[π]解得。（2）考查三角形与三角函数图象及性质、向量的数量积。由[f（B）=-2]解得[B=2π3]，而后进一步得到[A=π6]，由[A=C]，[AB=BC=3]得[BA·BC=-32]。 综上所述，三角函数作为重要的高中数学知识，在高考中的考查方式灵活多变。本文结合实际问题，分析了三角函数的几类常见问题，分别为最值问题、[ω]取值范围问题、单调性问题、零点问题、角度问题及综合问题。在日常教学中，教师要引导学生重视以上各类问题的解答策略的总结，以帮助学生快速解答三角函数问题。 ［ 参 考 文 献 ］ ［1］ 吴德利，代凤铎.关于三角函数单调性求法的探究［J］.数理天地（高中版），2023（13）：8-9. ［2］ 林品玲，叶诚理.破除思维定式 明晰概念图像：三角函数中参数ω范围的错解分析［J］.中学数学研究，2023（8）：19-21. ［3］ 张琳.三角函数零点问题常见题型分析［J］.数理天地（高中版），2023（13）：6-7. ［4］ 靳晓霞.三角函数最值问题解题策略分析［J］.数理天地（高中版），2023（13）：20-21. （责任编辑 黄桂坚）
