对数势条件下双层正方形中心构型的扭转角问题

曾小华, 赵甫荣, 李树勇*

(1. 四川师范大学 数学科学学院, 四川 成都 610066; 2. 绵阳师范学院 数理学院, 四川 绵阳 621000)

1 预备知识

牛顿n体问题[11]研究的是n个质点在万有引力作用下的运动规律,其质量和位置向量分别为mj∈R+,qj∈R3,在牛顿万有引力作用下,质点的运动方程为

(1)

其中，q=(q1,q2,…,qn)∈R3n,牛顿势函数

(2)

定义空间

X={q=(q1,q2,…,qn)∈R3n:

(3)

即质心在原点.

因为2质点碰撞时是奇异的,所以构型空间不应该出现这样的集合,Δ={q:qk=qj对k≠j}.

XΔ叫做构型空间.

定义 1[12-13]一个构型q=(q1,q2,…,qn)∈XΔ被称做中心构型,若存在一个正常数λ,使得下列方程成立

-λmkqk, 1≤k≤n.

(4)

称为α-齐次势函数,当α=1时即为牛顿势函数.

定义 2势函数为如下形式

称为对数势函数,记为U0,即

在R3中考虑这样一个构型,由2层正n边形构成,这2层之间的距离为h≥0,假设下层的正n边形位于水平面,上层的正n边形平行于下层的正n边形,z轴垂直通过这2个正n边形的中心,假设mk(1≤k≤n)是下层正n边形顶点qk处的质量,mn+k是上层正n边形顶点qn+k处的质量,其中

(5)

这里的θ称为扭转角,a>0,h>0为这2层正多边形之间的距离.质心为

(6)

由于按照(5)和(6)式选取坐标系,质心不在坐标原点,为方便计算,作如下坐标平移,令

Pk=qk-z0,k=1,2,…,n,Pn+k=qn+k-z0,k=1,2,…,n.

(7)

在对数势条件下,(q1,q2,…,qn,qn+1,qn+2,…,q2n)构成中心构型,则存在λ*∈R使得下式成立

即

-λ*mk(qk-z0), 1≤k≤2n,

(8)

等价于

-λ*mkPk, 1≤k≤n,

(9)

-λ*mn+kPn+k, 1≤k≤n.

(10)

为得到本文结果,现需引入一个引理.

所以

即质心在原点.

当n为奇数时,设n=2l+1,l为整数,则

(11)

当n为偶数时,设n=2l,l为整数,则

(12)

(13)

k=1,2,…,n,

2 主要结果

q1=(1,0,0),q2=(0,-1,0),

q3=(-1,0,0),q4=(0,1,0),

q5=(acos θ,asinθ,h),

当θ=0时,这8个天体的位置关系如图1所示.

比例尺1∶2

比例尺1∶2

假设m1=m2=m3=m4=1,m5=m6=m7=m8=m,这8个天体的质心为

因为这8个天体构成中心构型,根据中心构型的定义,对于第5个天体q5可得

即

-λ0m5(q5-q0).

(14)

由上式两端的第一个和第二个分量相等可得:

(15)

(16)

(17)

(18)

由(17)和(18)式可得

(19)

在(19)式的等式左右两边同时除以sin θcosθ,可得

(20)

即

(21)

令

那么(21)式等价于f(cos θ)=f(sinθ).下面将证明当x>0时,f(x)是严格单调递增的.计算下式

令

g(x)=

-(1+a2+h2-4ax)(1+a2+h2+2ax)2+

(1+a2+h2+4ax)(1+a2+h2-2ax)2,

则

(22)

在x=0处,有

g(0)=-(1+a2+h2)(1+a2+h2)2+

(1+a2+h2)(1+a2+h2)2=0.

(23)

为了判断函数f(x)的单调性情况,需要对g(x)求导,得

4a(1+a2+h2-4ax)(1+a2+h2+2ax)+

4a(1+a2+h2-2ax)2-

4a(1+a2+h2+4ax)(1+a2+h2-2ax)=

4a[2(1+a2+h2)2+8a2x2]-

4a[2(1+a2+h2)2-16a2x2]=

96a3x2>0, ∀x>0.

(24)

f(sin θ)=f(cosθ),