“图形表征”在平面向量中的表达和应用探究

周裕燕　柯跃海

表征是信息在頭脑中的呈现方式，是信息记载或表达的方式，是指可以指代某种东西的符号或信号，即某一事物缺席时，它代表该事物.数学多元表征是指将同一个数学学习对象用“数”（言语表征）和“形”（视觉表征）两种不同方式进行多形式的表征，即以语言、图形、符号、情境、操作等反映数学学习对象的外在形式和存在于个体头脑里而无法直接观察的心理活动的表征，其中图形表征主要体现为形象表达概念与关系、展示事实与定理、描述证明思路、研究对象的视觉形式、思维结构的外在呈现以及跨语言的表现力等方面的重要作用.理解这些作用，有助于在教学与研究中更加重视并充分发挥图形的表征功能，

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称为“课标”）指出，在必修课程与选择性必修课程中，突出几何直观与代数运算之间的融合，即通过形与数的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解.在解决平面向量问题时，可以采取代数计算或几何构造的方式得到结果，共同为研究平面向量问题提供有效手段.对学生而言，更习惯于将向量问题转化为代数问题，但是代数方法解决向量问题有时计算繁琐，甚至无法解决，实际上，很多向量问题有着丰富的几何背景和几何意义，借助图形表征为解决向量问题提供了一种很好的途径.图形表征主要通过理解向量概念、判断向量关系、表达向量运算、分析运动变化、构造辅助线和推得定性结论等方面，为研究平面向量问题提供重要的定性支持.

1课标指引下的图形表征的表达

课标指出，向量既是几何研究对象，也是代数研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，向量具有明确的几何背景，向量的运算具有明显的几何意义.在课标的指引下，教材特别注重用图形表征表达平面向量的概念、关系、运算等，为向量问题的解决奠定基础.

1.1图形表征表达向量概念

向量的概念是以位移、速度、力等物理量为背景抽象出向量的概念.图形表征既可表达向量的方向，又可描述向量的大小，即借助有向线段建立向量的直观形象，首先，用有向线段的箭头直观地表示向量的方向，这是理解向量概念的基础，图形表征通过视觉化的方式呈现向量指向，这种直观表达方式符合人类的认知习惯，有助于生成初步的形象理解，其次，用有向线段的长度表示向量的大小或数量.比较向量长度的大小不应仅停留在抽象的数字比较上，可通过比较不同有向线段的长度判断向量数量的相对大小关系，这种通过视觉判断向量大小的方法，有助于在直观上理解向量的数量概念.因此，借助图形表征直观描述向量的方向和大小的方式易于理解，有助于在直观上理解向量可以“自由移动”，有助于进一步精确理解向量的概念和运算.

1.2图形表征表达向量关系

图形表征对判断向量之间的各种关系发挥着重要作用，首先，判断向量的平行或垂直，可以通过观察两个向量的方向判断它们是否平行或垂直，直观理解平行（共线）向量具有相同或相反的方向，垂直向量具有互相垂直的方向，这种通过观察向量方向判断平行或垂直的视觉方法，可以扩展运用于判断任意两个向量之间的方向关系，它有助于理解向量在表示平面或空间方向上的作用，这是学习向量概念和运用的基础，其次，判断相等向量、相反向量.可以通过直观理解相等（相反）向量具有完全相同（相反）的方向和相等的大小，这种判断方法为理解相等（相反）向量概念、“向量是自由的”和向量加法、减法运算的几何意义提供了重要的视觉依据.再次，判断角度关系，即可以通过直观理解不同角度下向量的方向关系.这种通过观察向量方向判断向量之间角度关系的视觉方法，不仅有助于理解角度的概念，也将向量的方向要素与几何图形的角度要素联系起来，这为获得对空间关系的整体理解提供了有效途径，因此，借助图形表征直观判断向量的方向关系，不仅有助于理解相关概念，而且为学习向量知识和获得对空间关系的整体理解提供了重要的视觉方法和依据.

1.3图形表征表达向量运算

因为向量集大小与方向这两个最基本的几何要素于一身，所以向量运算及其运算律也必然反映了最基本的几何性质，首先，图形表征表达向量线性运算.对于向量的加法，通过利用位移的合成、力的合成引入向量的加法法则，利用了图形，从而认识向量加法的三角形法则和平行四边形法则；对向量的减法，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，按此定义作出一个向量与另一个向量的相反向量的和，由平行四边形的判断与性质得到向量减法的平行四边形法则，即向量减法的几何意义；对数乘运算，通过借助几何直观探究相等向量的和的长度和方向.其次，图形表征表达向量数量积运算，教材由力对物体做功（物理背景）为情景，借助向量的几何表示给出向量的夹角的概念，然后给出向量垂直、向量的数量积的概念.结合定义可以直接发现，向量数量积的几何意义表现在向量的长度和夹角两个方面，这在直观上为理解数量积概念提供了依据.这些借助图形表征向量运算及其运算律的方法，生动形象地描述了向量运算的过程和结果，在直观上解释了向量运算及其运算律的几何意义，为理解向量运算概念和记忆运算规律提供了重要的视觉支撑.

2图形表征在解决平面向量问题中应用

2.1借助线性运算的图形表征解决平面向量问题

在解决平面向量问题时，借助其线性运算（加法、减法、数乘）的图形表征（三角形法则、平行四边形法则、向量的方向及图形的伸缩）是学习和推理平面向量知识的一种行之有效的方法.通过形象的图形将抽象的数学概念表达出来，将复杂的运算过程几何化，使学习者能直观理解相关知识，在培养学习者的空间想象能力和数学直觉等方面发挥着重要作用.