关于同构的两个应用

黄烨　陈润　冷静

摘要：数域F上任一n维线性空间V都与Fⁿ同构，因此可以利用Fⁿ的性质来研究V的性质。通过建立V到Fⁿ的一个同构，可以给出求V的向量组的极大无关组的一个可行且简易的方法，即矩阵的初等变换法。对于基扩充定理，一些高等代数教材中，只给出了存在性的证明，并没有具体找出扩充的一个基是什么，利用同构来证明基扩充定理可以找出具体扩充的一个基。

关键词：线性空间；同构；极大无关组；基；基扩充定理

中图分类号：O151.2

1 概述

本文始终令F为一个数域。数域F上的n维线性空间V，V的向量具体是什么不确定，可能是多项式，可能是函数等，因此，若求V的向量组的极大无关组，根据定义甚至极大无关组的性质也很难实现。但Fⁿ的向量组可通过矩阵初等变换求它的极大无关组，由性质2可知，数域F上任一n维线性空间V都与Fⁿ同构，我们可以通过建立V到Fⁿ的一个同构，进而求V的向量组的极大无关组。利用同构来证明基扩充定理这是一种新颖的证明方法，不仅能够证明存在性，还能具体找出扩充的一个基。

2 利用同构求极大无关组的一个方法

2.1 主要结论

2.2 应用结论

3 利用同构证明基扩充定理

结语

利用线性空间同构保持所有跟两个线性运算相关的性质这一特性，可将元素结构复杂的线性空间的性质讨论归结到元素结构易于掌握的线性空间上。本文是上述方法的两个应用举例，该方法还有其他应用，如讨论数域P上n维线性空间V上的线性映射时，利用V上全体线性变换构成的线性空间与全体n阶方阵构成的线性空间同构，可将线性映射的性質讨论归结到n阶方阵的性质讨论。当然，此方法还有许多待开发的应用。

参考文献：

［1］丘维声.高等代数（下册）［M］.北京：清华大学出版社，2010.

［2］北京大学数学系前代数小组，王萼芳，石生明.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，2019.

基金项目：绵阳师范学院大学生科研基金项目（XS KY202112）

作者简介：黄烨（2000—），男，四川泸县人，绵阳师范学院本科在读；

陈润（2001—），男，四川宜宾人，绵阳师范学院本科在读；

冷静（1988—），女，四川古蔺人，博士，绵阳师范学院讲师，研究方向：半群代数。