基于力传递模型的连续体机器人驱动误差补偿研究

2023-03-07裴海珊吴洪涛

农业机械学报 2023年1期

齐飞张恒裴海珊陈柏吴洪涛

(1.常州大学机械与轨道交通学院，常州 213164； 2.南京航空航天大学机电学院，南京 210016)

0 引言

连续体机器人具有强柔顺性、高灵活性及超冗余自由度等特点，可通过自身的弯曲变形实现对非规则形状物体的缠绕抓取，在农业采摘、农业生产等方面具有广阔的应用前景[1-3]。但由于连续体机器人传动系统中的非线性摩擦、绳的伸长及关节间的耦合作用等影响[4-5]，机器人运动控制精度较低，严重影响水果定位精度和抓取质量，亟需发展一种更为精准、高效、普适的驱动误差补偿技术，以提高机器人的运动控制品质。

目前，国内外已围绕连续体机器人运动建模及误差补偿技术展开了相关研究，XU等[6]提出了一种用于蛇形机器人驱动补偿方法，通过理论模型估算出绳的伸长量和回弹量，并基于前馈补偿控制器实现机器人控制精度的提高，但其忽略了关节间的耦合作用影响。SIMAAN等[7]基于静力学模型对连续体机器人运动传递损失和耦合效应进行了分析，同样采用前馈方法进行补偿，但忽略了非线性摩擦对传动系统的影响。KESNER等[8]提出了基于库伦摩擦模型的机器人驱动补偿方法，实现对介入导管机器人误差的补偿，但其忽略了机器人本身的建模误差。文献[9-10]提出了一种基于绞盘摩擦模型的驱动损失模型，此模型重在研究钢丝绳传动特性，未涉及具体实验。AGRAWAL等[11]提出了一种双切曲线光滑逆解补偿方法，并将其应用到线驱动机器人身上，但需要提前已知机器人的末端误差。XU等[12]提出了一种用于肌腱驱动的柔性内窥镜机器人的运动补偿控制器，并建立了肌腱驱动传递损失模型及伸长模型，通过前馈补偿控制器以提高机器人的轨迹跟踪精度。ROY等[13]针对多模块连续体机器人传动系统的摩擦、驱动绳伸长及迟滞等进行了建模研究，提出了一种基于机器人力传递模型的误差补偿方法，但没有考虑驱动线与连续体机器人本身摩擦损失的影响。

为此，本文针对自主研发的柔性连续体机器人进行运动建模及驱动误差补偿研究，提出一种基于力传递模型的连续体机器人驱动误差补偿方法，以提高其控制精度。

1 连续体机器人运动学模型

图1为设计的绳驱动连续体机器人，该系统由NiTi合金芯柱、连接盘及硅胶外壳组成，通过分布在圆周上的3根驱动绳索实现机器人的弯曲变形控制[14]。NiTi合金芯柱为机器人的中心骨架，提供机器人弯曲时所需的刚度和弹性恢复力。连接盘等间距胶粘在NiTi合金芯柱上，以满足机器人的等曲率建模假设。为建模方便，假设机器人单节弯曲单元质量和惯性均由连接盘和芯柱质量和惯性所决定，同时忽略了结构的扭转变形和剪切变形。

图1 单节弯曲单元结构示意图Fig.1 Structure diagram of single bending segment1、7.连接盘 2、8.NiTi合金芯柱 3、9.硅胶外壳 4.导向盘 5、6.驱动绳

图2 单节弯曲单元坐标示意图Fig.2 Coordinate diagram of single bending segment

根据欧拉变换，则相邻坐标系间的旋转变换矩阵为

(1)

式中s表示正弦函数，c表示余弦函数。

根据几何分析法，机器人单节弯曲单元前后两端坐标系间的相对位置为

(2)

则第i节弯曲单元末端坐标系在基坐标系中的位姿矩阵Ti为

(3)

其中

式中Pi——第i节弯曲单元末端坐标系在基坐标系中的位置

Ri——第i节弯曲单元末端坐标系在基坐标系中的姿态

图3为机器人驱动绳索的几何关系示意图。根据常曲率建模假设，各驱动绳索对应的弯曲角相等，且在基座面上的投影线相互平行，则根据几何分析法，可推算出机器人弯曲变形时驱动绳长为

图3 驱动绳布局示意图Fig.3 Schematic of driving cables

(4)

式中lij——机器人弯曲变形时各驱动绳长，j=1,2,3

r——驱动绳孔到NiTi合金芯柱中心孔的距离

(5)

其中

式中Jiqψ——关节参数与驱动参数间的雅可比矩阵

Δqi——驱动绳长变化量

而关节空间与操作空间的瞬时运动学可通过对关节参数直接求导得出，即关节参数与机器人末端位姿偏差量间的映射关系，即

(6)

其中

式中Jxvψ——机器人末端速度对应的雅可比矩阵

Jxωψ——机器人末端角速度对应的雅可比矩阵

2 连续体机器人静力学模型

(7)

式中 Δx——在外力作用下机器人末端位移偏差

ΔUi——机器人弯曲变形后势能

在机器人弯曲角已知时，系统所储存的弹性势能为

(8)

式中Ei——机器人本体弹性模量

Ii——惯性矩

将Δqi=JiqψΔψi，Δx=JixΔψ代入式(7)，则根据虚功原理，连续体机器人静力学模型可化简为

(9)

在机器人弯曲变形运动时，其输入力τi为

(10)

2.1 相邻关节间力矩耦合效应

图4 相邻关节间的耦合力矩示意图Fig.4 Schematic of coupling effects in adjacent segments

(11)

其中

(12)

(13)

由于第i节弯曲单元基座连接盘的虚位移Δψi0为0，则耦合力矩所做的功为0。同时忽略耦合力矩对弹性势能的变换梯度的影响，则静力学模型可化简为

(14)

则第i节弯曲单元驱动力模型为

(15)

2.2 连接盘与驱动绳间力传递特性分析

考虑到驱动绳在通过绳-轮传动系统后，将依次穿过连接盘导向孔并最终固定在机器人末端。为实现机器人精确控制，需要对驱动绳与连接盘间的力传递特性进行研究，采用经典库伦摩擦模型[20-21]对其进行建模分析，如图5所示。

图5 驱动绳与连接盘间的相互运动示意图Fig.5 Motion relationship schematic of cable-disk system

由图5可得

(16)

式中 ds——微小传动单元长度

ρr——微小传动单元曲率半径

ηi,j——微小传动单元接触包角

Ti,j——第i节弯曲单元第j根驱动绳的张力

fi,j——驱动绳与连接盘间的摩擦力

Ni,j——驱动绳与连接盘间的正压力

则驱动绳与连接盘间的摩擦力为

(17)

式中μ——摩擦因数

sgn——驱动绳相对于连接盘的滑动速度方向

将式(17)化简，对两边同时积分可得

(18)

式中Ti+1,j——输出张力

则包含非线性摩擦力的力传递模型为

(19)

式中Ti,j(t-1)——驱动绳相对于连接盘无运动时前一时刻的张力

由于连接盘间的驱动绳形状为直线，其方向矢量与连接盘对应导向孔的位置相关，则连接盘上各导向孔在自身坐标系中的位置矢量为

(20)

则第i节弯曲单元第j个驱动绳的位置为

bi,j=hi,j/‖hi,j‖

(21)

其中

根据驱动绳的位置矢量，即可得到驱动绳与连接盘接触时包角为

ηi,j=arccos(bi,jbi+1,j)

(22)

将式(22)代入式(19)化简可得

(23)

其中

式中εi,j——摩擦力影响系数

Ti-1,j——包角为ηi,j时导向孔两端输入拉力

Tj,act——施加到机器人系统中的绳张力

将式(23)代入式(14)、(15)，即可建立包含驱动绳与连接盘间摩擦力的静力学模型，即连续体机器人传动系统的力传递模型为

(24)

ε(n)——等效摩擦因数

nMc——相邻关节间耦合力矩

O——零矩阵

3 连续体机器人力传递特性分析

为分析连续体机器人绳-轮传动系统间的力传递特性，搭建如图6a所示的实验平台对绳-轮传动系统力传递特性进行分析。该平台包括1台maxon伺服电机，2个拉力传感器(JLBS型，10 kg)，1根直径为0.4 mm、弹性模量为4.96×109Pa的大力马纤维线，1个负载弹簧和2个导向轮等。假设绳-轮力传递系统处于静态平衡状态且无相对滑动，同时忽略系统中导向轮与其转轴间的摩擦，则在力矩工作模式下对输出端的负载弹簧进行运动控制，分别在不同预紧力(3、5、7、9、11 N)和包角(30°、60°、90°、120°、150°)下基于张力传感器测量系统的输入张力和输出张力，测量结果如图6b～6d所示。

图6 绳-轮传动系统运动特性Fig.6 Motion characteristics of cable-pulley system1、6.拉力传感器 2.负载弹簧 3、4.导向轮 5.驱动绳 7.伺服电机

由图6可知，绳-轮传动系统在不同预紧力、不同包角下其输入与输出力矩间的偏差较小，即机器人力传递系统在通过导向轮传动时其力矩损失量较小。由图6c可知，绳的预紧力与力矩损耗成正比，预紧力越大，力矩损失越大，但在预紧力超过7 N后，力矩的损失量随着预紧力的增大反而减小，可能在预紧力为9 N或11 N时，驱动绳与导向轮间存在相对滑动所造成；而图6d为不同接触包角状态下绳-轮传动系统的力传递特性，力矩损失量正比于接触包角，包角越大，力矩损失越大。同时与图6c对比可知，接触包角对传动损耗的影响比绳索预紧力的作用大。

根据文献[20,22]，基于导向轮力传递过程中绳的变形为粘弹性变形，则驱动绳和导向轮间的摩擦力与其所承受的正压力满足能量法，即

f=αNn(n≤1)

(25)

式中f——摩擦力N——法向力

式(25)中α和n是常量，主要与接触材料的特性相关。但当α=μ,n=1时，则满足阿蒙顿定律[23]。在基于导向轮力传递过程中(图7)，驱动绳与导向轮接触时的弹性力、剪切力和弯曲力矩在OXY平面内满足力和力矩平衡，即

图7 驱动绳与导向轮受力示意图Fig.7 Force diagram of cable-pulley system

(26)

(27)

由于所采用的驱动绳材料为高强度聚乙烯纤维线，采用改进的Capstan方程进行建模分析，研究驱动绳弯曲刚度和非线性摩擦对运动传递效率的影响。而弯曲刚度对力传递效率的影响主要通过分析绳-轮半径比值对传动效率的影响进行研究。令ρ=Rj/rs，R=Rj+rs为导线轮接触面的圆弧半径，rs为驱动绳的半径。由于弯曲力矩独立于参数φ，则相对于包角φ的导数为

(28)

将式(28)代入式(27)，两边同时除以dφ，并删除Q得

(29)

式(29)为改进的Capstan方程，该方程包含弯曲刚度及非线性摩擦力对传动效率的影响，能够比较准确地描述驱动绳在运动过程中的粘弹性的变形。此微分方程可通过四阶Runge-Kutta方法解出数值解，从而得出基于绳-轮传递系统中输入和输出张力比值。假设驱动绳在自身张力的作用下与导向轮完全接触，如图8所示，则绳与轮接触面的边界条件有

图8 绳与轮接触面示意图Fig.8 Schematic of cable-pulley contact surface

(30)

式中T(0)——通过导线轮两端绳输入张力

T(θ)——通过导线轮两端绳输出张力

根据接触边界条件，将微分方程化简为

(31)

为了方便计算，将初始夹角设定为θ1=0，则考虑弯曲刚度和非线性摩擦等影响下经过绳-轮传动系统后输入与输出张力比κ为

(32)

式中Tin、Tout——绳-轮传动系统中的输入和输出张力

假设绳-轮传动系统接触面的总包角变化范围为0≤θ≤π，绳-轮半径比ρ取值1或10，摩擦因数α为0.15或0.6，参数n取0.67或1，且经绳-轮传动系统后绳的输出张力为1，则经绳-轮传动系统前后输入张力和输出张力比随包角的变化规律如图9所示。由图9可知，与经典的Capstan方程相比，考虑非线性摩擦及弯曲刚度的模型比经典的Capstan方程的摩擦损失小，且改进后驱动绳张力比值随弯曲角度的变化相对比较平稳，即在输出相同张力时所需的绳输入张力小。同时分析不同参数对绳-轮传动模型的影响，对比图9a和图9b可知，改进后传动模型中绳张力损失较小，且非线性摩擦对张力损耗的影响比弯曲刚度的大。当摩擦因数α为0.6时，输入和输出的绳张力比比在摩擦因数α为0.15时变化快，表明摩擦因数是影响传递效率的最主要参数。

图9 经绳-轮传动系统前后输入和输出张力比Fig.9 Tension ratio between incoming force and outgoing force after cable-pulley system

4 机器人运动传递模型及驱动补偿

考虑到驱动绳本身的材料特性及绳张力的作用，不可避免地造成绳的伸张，从而影响机器人控制精度。若令dδ为驱动绳伸长量，T为绳张力，E、A分别为驱动绳的弹性模量和横截面积，则根据胡克定律[24-25]，绳的伸长量模型为

(33)

4.1 绳-轮传动系统中运动传递模型

由于绳-轮传动系统非线性摩擦的影响，驱动绳经过导向轮后其输入和输出张力将有所损失[26-27]。根据式(32)、(33)，经过绳-轮传动系统后绳的伸长量模型为

(34)

式中T0——驱动绳的初始预紧力

R——导向轮半径

dφ——绳-轮接触面包角

将式(34)积分后化简可得

(35)

式中k——传动轮曲率半径

4.2 机器人自身的运动传递模型

第2节分析了机器人自身的弯曲变形特性，建立了包含非线性摩擦和关节耦合作用的力传递模型。令Ti为第i根驱动绳的张力，Ei、Ai分别为驱动绳的弹性模量和横截面积，将dli=pidηi代入式(33)积分并结合驱动绳与连接盘间的摩擦模型(式(24))，则在运动过程中由连接盘摩擦力影响所造成的绳伸张量为

(36)

为提高机器人控制精度，对机器人的驱动控制系统进行补偿，提出了一种基于力传递模型的连续体机器人驱动补偿方法，该方法通过一个前馈补偿控制器估算出弯曲变形过程中驱动的损失量，然后将其反馈补偿到驱动单元中，以提高机器人的控制精度，补偿流程如图10所示。

图10 驱动补偿流程示意图Fig.10 Compensation control of drive system

最终得到连续体机器人的驱动误差补偿量为

(37)

qi——第i节机器人理论驱动量

5 实验

通过连续体机器人的补偿实验对控制效果进行验证，搭建如图11所示的机器人样机平台。该系统主要有3个maxon伺服电机(A-max22型)及对应的驱动控制器(GP22C型)，5个铝合金连接盘，通过连接盘中心孔的NiTi合金芯柱及3根均匀分布在连接盘圆周直径为0.8 mm的大力马驱动绳组成。机器总长为90 mm，直径为10 mm，通过调节绳长变化实现机器人2自由度的弯曲运动。每根驱动绳均连接一个微型张力传感器(JLBS-MD-10kg型)，用以测量机器人在弯曲运动过程中实际张力。采用高精度双目激光跟踪仪(CTrac-380型)设备对机器人的末端位置进行实时跟踪，其跟踪精度为0.022 mm，通过对比驱动补偿前后机器人控制精度来验证所提驱动补偿方法的正确性和有效性。

图11 测量实验现场图Fig.11 Experimental platform of compensation control of robot1.双目激光跟踪仪 2.连续体机器人 3.驱动绳 4.伺服电机 5.电源 6.控制PC

首先对机器人误差补偿模型中的未知参数进行标定，假设机器人系统力传递模型中的初始摩擦参数值，利用张力传感器测量得到的实际输入张力与力传递模型中的理论张力进行优化估算，将求解模型中的摩擦力参数问题转换为线性最小二乘法优化问题进行求解，其参数估算模型为

(38)

令旋转角β=0°保持固定不变，而弯曲角变化范围为40°～90°，步距角为5°，则机器人只在驱动线1的拉伸作用下进行弯曲运动，力传递模型中驱动绳1对应的摩擦因数可通过估算得出，同理分别对于旋转角β=120°、240°，驱动线2和3对应的摩擦因数可以通过优化估算得出，结果如表1所示。

表1 摩擦因数估算值Tab.1 Estimated parameters of friction coefficient

5.1 平面弯曲实验

首先控制连续体机器人在单一平面内进行平面弯曲运动，通过对比补偿前后机器人末端位置精度来验证所提补偿方法的有效性。假设机器人在旋转角β=0°的平面内以弯曲速率为π/10从0°弯曲至90°，则补偿前后机器人末端位置跟踪实验过程如图12所示。图12b、12c分别展示了补偿前后机器人在oxz平面内运动时的末端轨迹及其末端位置偏差。从实验结果可知，补偿前后机器人末端的位置精度得到明显改善。由图12c可知，补偿前机器人末端定位误差均值为3.03 mm，补偿后机器人末端定位误差均值为1.48 mm，精度提高50.99%，由此验证了补偿方法的有效性和正确性。同时随着弯曲角的增大，机器人末端位置误差也逐渐增大，这可能是由于机器人结构组装误差、建模误差及硅胶外壳变形误差所引起的，但总占比较小，可忽略不计。

图12 补偿前后机器人平面弯曲运动Fig.12 Planar bending motion of robot before and after compensation

5.2 空间圆弧轨迹实验

根据预先设定的圆弧轨迹并通过逆运动学来计算运动过程中的驱动绳长，而机器人的实际运动轨迹则通过视觉跟踪系统进行测量，则补偿前后机器人空间圆弧运动过程如图13a所示。由图13b、13c可知，补偿后机器人末端定位精度得到明显提高，机器人末端位置误差均值由补偿前5.94 mm降低至补偿后3.15 mm，降低46.97%。与平面运动结果相比，补偿前后机器人空间运动时的位置误差偏大，其可能是由于不同方向上的位置误差累积叠加造成的。通过以上机器人平面和空间控制实验结果验证了所提补偿方法的正确性和有效性。