“完整地学”：提升学生运算能力的新视角——四下《三位数乘两位数》课堂实录

丁爱平

【背景】

自《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“新课标”）颁布以来，不少教师对“计算的一致性”颇感兴趣。然而，课堂教学并不顺利，教师教得很吃力，学生对“一致性”理解起来也很吃力。问题的主要原因是：在整数、小数、分数的计算教学中，教师对它们各自内部的“一致性”和“完整性”的关注不充分，学生对计算学习的体验不深入、认知不完整。

我们需要整体把握运算能力的内涵。新课标指出：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力。能够明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系；能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题；能够通过运算促进数学推理能力的发展。培养学生运算能力的过程还有助于他们形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度。可见，提高运算能力不是简单外显为能够正确运算，还强调能够理解意义和关系、选择运算策略、发展数学推理能力、形成思维品质、养成科学态度，这是一个完整的核心素养发展过程。

基于素养目标与现实需要，笔者提出“完整地学”，为提升学生的运算能力提供一个新视角。“完整地学”，主要从学习内容的整体观照、认知过程的完整关注、学科育人的全面关怀这三个维度出发，促进学生核心素养的提升。计算教学不能使学生成为机械计算的工具人，他们需要学会思维、学会学习、长远发展，更“完整地”学习计算。

如苏教版四下《三位数乘两位数》这节课，不少教师都认为太简单，没有多少“嚼头”，普遍的教学流程是“尝试例题→概括算法→巩固练习”。此教法使学生看到的只是外显的数学知识技能。其实，计算教学的内容和意义远不止于此。法与理的共存、过程与结果的和谐、数学文化与儿童立场的相融、计算教学与时代背景的映照……计算教学并不简单，它隐含着丰富的育人资源。如果以动态数学观认识课程资源，就会发现许多内隐性资源依附在过程之中。“三位数乘两位数”的算法是结果性知识，教师教学时不仅要使学生掌握结果性知识，更重要的是要将关于“三位数乘两位数”的问题、语言、方法、命题这条逻辑链完整、清晰地展示出来。

【教学过程及分析】

一、自主迁移，探究新知

师：同学们，今天我们上一节计算课。请大家看这道题（出示图1），谁来读题？

（图1）

师：读完之后有什么感受？

生：我坐过“复兴号”高铁，速度非常快！我们祖国太强大了！

师：同学们的小脸上写着满满的自豪。计算包括口算、列竖式算、估算，你准备用哪一种方法来计算？

生：我准备用列竖式的方法计算。

师：好的，如果除了列竖式计算，你还有其他算法，也把它写下来。

学生在学习单上尝试计算，教师巡视指导，并请两位学生到黑板上解答。

数学教育承载着落实立德树人的根本任务，强调引导学生通过课堂学习，形成积极的情感，树立正确的价值观。本课的例题注重发挥情境素材的育人功能，将课本例题中的“计算小区有多少住户”改为计算“绿皮火车”和“复兴号”12 小时行驶的路程，使学生在数据对比中增强了民族自豪感。

师：下面，我们来掌声有请板演的小老师讲一讲，看他们是怎么解决这两个实际问题的。

生1：我算的是“绿皮火车”12 小时行驶多少千米，列式是32×12，先算2 乘32 等于64，代表的是2个32；再算10乘32等于320，这里有一个0不需要写，代表10个32是320；最后把这两个数加起来。（如图2左）

生2：我写的是“复兴号”12 小时的路程。2乘332 代 表2 个332，十 位 的1 再乘332 等 于3320，代表10个332，最后加起来就是3984。（如图2右）大家有什么补充？

（图2）

生3（上台板演如图3）：还可以这样算。

生4（上台板演如下页图4）：我还有画图的方法，画一个长方形，把长边拆分成300、30 和2，短边也拆分成10 和2，这里一共有6 个格 子，下 面 是2×2、30×2、300×2，上面是2×10、30×10、300×10。

（图3）

（图4）

师：他的方法大家能看懂吗？我来采访采访他，你为什么会想到拆成6 个不同区域？

生4：拆成整十数，好算一点。

生5：我赞同他的方法！我还有一个方法，和生3 有点相似，他是把12 拆成6 乘2，而我是把12拆成10和2，10加2等于12。

生6：我算的“复兴号”跟大家不一样，“复兴号”和“绿皮火车”每小时相差300 千米，“复兴号”12 小时比“绿皮火车”多跑了3600 千米，384加3600等于3984千米。

生7：我想总结一下前面这些方法，他们都是把332 和12 拆成了几个数，只是有的拆332，有的拆12，都是用拆的方法。

师：同学们看，这是我们以前的两位数乘两位数，这是三位数乘两位数。我们没学过三位数乘两位数，可是全班同学都能用自己喜欢的方法计算，你们有什么发现吗？

生1：我有发现！它们都是先拿两位数的个位去乘三位数，再拿两位数的十位去乘，运算方法是一样的。

生2：我发现这几种方法都是用拆的方法，先分再合。（教师板书：先分再合）

生3：分较小的数计算起来更容易。

师：原来你们调用的是两位数乘两位数的经验啊，真好！仔细观察这些方法，你能否找到它们和竖式的联系？

生1：我觉得332×（10+2）和竖式有紧密的联系，都是拆成10和2。

生2：画图法和竖式都是用拆的方法。不同的是，画图法把两个数都分开了；竖式只分一个数，且大部分时候只分较小的数。

师：其实这个六格图和竖式计算的每一步紧密联系，比如二二得四，你发现了吗？丁老师指图，谁来指对应竖式的哪一步？

师生合作，将六格图与竖式的6 个关键步骤一一对应。

师：看来图和竖式计算的步骤是对应的呢！我们再次梳理一下刚才的学习过程。是什么经验让我们学会探索三位数乘两位数的？

生：先分再合。

师：但是具体分哪个数有不同的情况，一般分位数少的数，先得到多少个一，再得到多少个十。我们还梳理了这些不同的方法与竖式的联系，它们都进行了拆、乘、加。

上述教学过程立足单元整体，内容更完整。聚焦“332×12 可以怎样算”展开自主探究与伙伴学习，不是碎片化知识技能的机械翻炒，而是结构化知识的整体建构。基于正确计算、多元联想、有机勾连，教师将知识结构化。在学生丰富多元的计算作品中，涵盖现代笔算中的位值原则、数的分解与组成、计算的本质意义等“原理性知识”，以及竖式书写、计算步骤等“规则性知识”。将多种计算方法整体联通，引导学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，培养结构化思维，新课标倡导的单元整体设计的理念得以生动诠释。

上述教学过程关注深度理解，整个过程更完整。学生完整地经历自主探究与合作交流“332×12 为什么可以这样算”的过程，理解“三位数乘两位数”的算理，掌握竖式计算的方法，明确“先分后合”。首先是独立尝试阶段，学生自主迁移“两位数乘两位数”的计算方法，把未知转化为已知，解决新问题十分顺利。接着进入多种思考阶段，不同算法接踵而出，每一个独特的想法都得到重视，全员卷入深度互动。教师引导学生从具体到一般，对整数乘法进行建模，促进他们提高了运算能力，培养了推理意识。

二、练习进阶，内化建模

师：我们学习计算需要适当的练习。请看“练一练”（出示图5），大家先独立完成，再互评互学。

（图5）

学生展示汇报过程略。

师：最后，我们来对比同学们运用的竖式、横式、画图等方法，它们有没有相同的地方？

生：都要拆数，算乘法，最后加起来。

师（板书）：拆、乘、加。

数学学习是一个完整的过程，如果缺失深刻的过程体验，将导致学生认知的浅表化。要支持学生全面理解乘法运算，需要将学生的数学活动经验进行再完善与再升级。本课的基本练习仅设计了一道题“109×54”，以一当十，让学生经历简单习题的“深度加工”。一方面，这道题非常典型，分别从计算易错点、数形结合、数学推理等方面，让学生经历观察与思考、想象与操作、质疑与讨论、反思与评价等完整的学习过程，展现不同能力水平学生的思维痕迹，使他们再次感悟“先分后合”的计算方法，培养抽象能力和模型观念，促进其数学理解的深度、广度和完整度。另一方面，这道题关注“教—学—评”一致性。发挥评价的育人导向作用，以评促学、互评共学，突出自我评价和同学评价，重视培养学生认真细致、自觉反思的计算习惯。教师鼓励学生彼此欣赏、彼此照亮，培养其浓厚的数学研究兴趣，使他们在“学会”数学知识的过程中获得“会学”的能力和品格。

师：接下来，丁老师邀请同学们“理一理”，（出示图6 中的前2 题）我们已经能熟练地笔算这些整数乘法，继续往下研究（出示③号虚线框），猜猜看，③号算式可能是什么？

（图6）

生：三位数乘三位数，四位数乘两位数。

师：你们还会算吗？

生：会！方法和今天学的一样，都是先分再合。（学生圈出“先分再合”）

师（出示③号竖式图）：揭晓谜底啦！

生（惊奇地）：啊？③号竖式没有数字！

师（出示）：丁丁和毛毛提出自己的观点，你赞同吗？独立思考后在小组里讨论。

生1：丁丁的观点是对的，乘数不管有几位，整数乘法的算法都是一致的。毛毛的观点不对，这里个位最大是9，十位最小是1，一个是乘9，一个是乘10，当然A比不过B。

生2：第一次的积表示乘了几个，第二次的积表示乘了几十。如果第二个乘数是三位数，那就要再写一行，因为还要乘几百啊！

师：你创造的那个C，和A、B相比呢？

生（齐声）：那当然C最大喽！

“理一理”这道题体现出鲜明的整体建构特点，教师引导学生回顾整数乘法的关键节点，“迁移”的力量在学生脑海中升腾。当学生满心期待多位数相乘的算式时，教师却出示一个没有乘数的计算模型。A 与B 的较量吸引着学生进行大胆猜想和举例验证，他们在分析、评价与创造的高阶思维发展过程中获得了认知与情感的高峰体验。

师：我看了小学六年的数学书，发现整数乘法学到三位数乘两位数就结束了，我们不再学三位数乘三位数、四位数乘两位数了，为什么不学了呢？

生：没必要再学了，因为方法是一样的，都是先分后合的方法。

师：是的，如果把乘法计算比作一棵大树，先分再合就是计算整数乘法的树干，不管是两位数乘两位数还是三位数乘两位数，或者是其他多位数相乘，都是这棵大树生长出来的枝叶。（完善板书，如图7）

（图7）

一幅板书写立意，自然生成有灵魂。树形图直观形象，用学生喜欢的方式把获得的知识、能力、思想、方法进行整体设计，让学生的学习具有结构感。这幅板书，除了课题、先分后合、左上角的数框，其他部分都是学生的手笔，生动诠释了以学为中心的教学理念，整数乘法计算的大树象征着学生蓬勃生长的运算能力。

三、评价反思，总结延伸

师：今天的课后作业是一个“玩一玩”的游戏，怎么玩呢？（出示图8）同学们课后和小伙伴或家长玩一玩吧，老师期待大家的新研究、新发现、新成果！下课！

（图8）

“完整地学”倡导让学生学会思维、学会学习，长远发展。“双减”背景，素养导向，教师在每次作业设计之后，都要审视这份作业的价值：学生是否减负增效了？是否获得了知识技能，学有所得？是否感受到了学科之美，喜欢研究？是否拥有了方法和素养，有助于他们的长远发展？本课的课后作业只有一个“玩一玩”的游戏，教师的“友情提醒”是帮助学生全面思考、理性分析的工具方法。实践证明，游戏化作业顺应学生天性中的冒险家特质，它没有标准答案，能使学生放飞无限的想象，在充满未知的挑战中充分感受计算的乐趣，获得数学学习的价值体认，走向完整而愉悦的生命成长。