“解析几何中的定值问题研究”教学设计

李艳丽 _ 北京景山学校远洋分校

解析几何的本质是用代数的方法研究几何图形的性质，基本思想是数形结合思想，“代数”是解决几何问题时用到的工具。在解答过程中，首先将几何图形的性质用代数的语言来描述，最终通过坐标的代数运算来研究几何图形的性质。“几何”既是思考的起点也是思考的终点，是问题的缘起和归宿。本节课通过对定值问题的研究，旨在引领学生深入理解解析几何的数学本质，掌握研究解析几何的基本数学方法，进而学会思考、学会学习。

教学目标

进一步运用坐标法解决几何问题，掌握解析几何定值问题的解题策略；经历猜想和假设、转化和化归、实验和论证等问题研究的过程，体会数形结合、一般问题特殊化的思想方法；在对定值问题的研究过程中，培养“大胆猜想、小心证明”的科学素养，体会解析几何问题的学科本质；感受解析法是几何与代数相互转化的完美工具，理解几何法和解析法在解决几何问题中各自的优势。

教学过程

环节一：反思——猜定值的重要性和必要性，教学生怎样学习

已知圆的方程x2+y2=25，过点M（-4，3）作直线MA、MB与圆交于点A、B，且MA、MB关于直线y=3对称，试判断直线AB的斜率是否为定值。若是，求出定值；若不是，请说明理由。

学生在课前完成此题，教师呈现学生的两种解题思路，课堂上引导学生对两种解法进行反思，并提出：在解决定值问题中，我们往往需要先猜再证，猜出结论对解决定值问题至关重要，它引导我们朝着目标去进行论证。这个教学环节是为引出本节课第一项重要任务——如何猜定值。

环节二：探究——怎样猜出定值，教学生如何思考

引导学生思考并理解由一些特殊位置猜想定值：（1）MA、MB关于直线y=3对称，这两条直线是否是变化的？（2）点A、B是变化的，直线AB的斜率是定值，反映了怎样的几何性质？（3）既然直线AB的斜率是定值，意味着与点A、B的位置无关，如何猜出这个定值？（4）由特殊位置入手求出定值，先猜再证。

问题：直线MA过点A（0，5），求出直线AB的斜率值。

分析：想让直线MA确定，从而确定直线AB，求出斜率。

问题：直线MA过极端位置（恰为圆x2+y2=25的切线的位置），利用圆的几何性质求出直线AB的斜率值。（见图1）

分析：这个运动变化是连续的，割线的极限位置就是切线，而这个位置也是个确定的位置，可以求出其斜率。

（1）点A与点M重合，在M处的切线的斜率为4/3，则kAB=-4/3。（见图2）

（2）点A、B重合，点A处的切线斜率即为kAB，则KAB=-4/3。（见图3）

问题：求直线MA过点M关于圆心的对称点。（见图4）

分析：过圆心，直线MA确定，利用圆的几何性质可以得到直线AB的斜率。MA是直径，MB⊥AB，则kAB=-4/3。

教师引导学生反思以上过程，分析这些特殊位置的合理性，教学生如何想到这些特殊位置。这几类特殊位置本质来讲是满足一定几何条件的位置，要将其恰当地转化成代数条件，才能求出直线AB的斜率。为什么会借助这几个特殊位置来求直线AB的斜率呢？可以回到直线AB斜率的求法上去。求一条直线的斜率有哪些方法呢？一种是找到直线AB上的两个点的坐标直接求得；另一种是借助与直线AB有特殊位置关系的一些直线的斜率来间接求得。如果需要的是两个点，哪些是特殊位置呢？我们自然要找圆与坐标轴的交点，点M关于圆心的对称点也是一个非常不错的选择；如果想通过与直线AB有特殊位置关系的直线的斜率来间接求直线AB的斜率的话，哪些又是特殊位置呢？由于题目本来欲证的结论是平行，在圆中自然想到的就是垂直了，在圆中我们可以怎样得到垂直呢？有两种方式，一是直径所对的圆周角是直角，可以得到垂直；二是切线垂直于过切点的半径。找直线AB过原点和极端位置作为特殊位置就很自然了。

环节三：溯源——为什么会是定值，教学生深入学习

引导学生从几何上理解此题的本质，明确解析几何的本质是解决一个几何问题，感受几何法与解析法之间的联系，提出本节课的第二个重要任务：如果隐去直角坐标系，将它本来的几何面貌还原出来，能得到一个怎样的几何问题。

根据MA、MB关于直线y=3对称，引导学生得到两个角相等，在圆中即可得到两段等弧，记的中点为C，可知0C⊥AB，由于0C是确定的，故直线 的斜率为定值。

点A、B同时运动到了直线y=3的下方，几何法不能很容易得到0C与AB之间的关系，进而直线AB的斜率为定值也不能直接得到。但在解析法中其实已经证明了这种情况。

几何法的证明依赖图形本身，解析法不需要考虑这个因素，它们在解决几何问题时各有优势。解析法是几何与代数之间完美的转化工具，用解析法解决几何问题时，总是会先充分挖掘图形的几何性质，之后再用代数方法解决，从而实现几何与代数之间的等价转化。

环节四：提升——解析几何研究思路图，教学生系统学习

引导学生回顾本节课对定值问题的研究，贯穿始终的是几何与代数之间的相互转化，不断地体现数形结合的思想，这是解析几何是几何与代数的完美转化工具的具体实例说明。教学过程中，教学生思考与学习的方法，提升数学核心素养。

环节五：迁移——拓展学习与深入思考

巩固练习，进行深入学习与思考，提升思考的深度与广度，鼓励学生利用本节课所学，构建新旧知识之间的相互联系，践行解析几何问题的研究思路与方法：

1.在这个问题中，反之是否会成立，即：当直线AB的斜率为定值时（圆内一组平行弦），直线MA与MB是否会关于直线y=3对称？

2.已知动点P在圆x2+y2=25上，过P作x轴的垂线，垂足为点Q，点R满足（1）动点R形成的轨迹是何种曲线。（2）在（1）的基础上，过点M（-4，3）作直线MA、MB与椭圆交于点A、B，且MA、MB关于直线y=1对称，试判断直线AB的斜率是否为定值。若是，求出定值；若不是，请说明理由。

刘永江老师点评

本节课以“解析几何中的定值问题研究”为抓手，从对两种解题思路的反思入手，引出“先猜再证”在问题研究中的重要性与必要性；以“如何猜出定值”为切入点，教学生学会思考；在追根溯源中探寻定值问题的研究策略及解析几何的研究方法与本质，教学生进行有效学习。整节课的设计关注猜想和假设、转化和化归、实验和论证，培养了学生“大胆猜想、小心证明”的科学素养。教学中，有意识地将“教会学生思考、教会学生学习”当成一项具体的教学任务来落实，而不仅仅是停留在意识中。在攻克数学难题、反思数学过程、小结数学结论的过程中，引导学生不断提炼思考之道、学习之道，可谓“鱼”“渔”兼顾。