一些有关q-调和级数的同余式
2023-03-01祁伟伟
祁伟伟
（温州大学数理学院，浙江 温州 325035）
q-调和级数被定义为同时，有
对任意正整数n，有
q-二项式系数被定义为
对任意正整数n，q-阶乘表示为(x;q)n=(1 -x)(1 -xq)(1 -xq2)…(1-xqn-1)，这里(x;q)0=1。
由文献［1］可得到q-二项式定理：
q-二项式系数满足递推关系式：，同时有著名的结果：
文献［2］中，Shi 和Pan 证明了对任意大于5 的质数，有如下同余关系：。 文献［3］中，Granville 证明了对任意大于5 的质数有：。文献［4］中，Pan证明了对任意大于5的质数有：qkp≡1-k(1 -q)[p]q+，其中q-整数定义为：对于n≥1，[n]q=(1 -qn)/(1 -q)。另外，定义分圆多项式为，这里ζ是n次互质单位根。
文献［2］中，Shi和Pan证明了对任意大于5的正整质数p，有Hp-（1q）与的整除性关系，相似地，也有与的整除性关系。另外，文献［5］中，Elkhiri等证明了对质数p，一类特殊的q-调和级数与的整除性关系。
受到上文提及之文章的启发，本文对q-调和级数与分圆多项式的整除性关系作出进一步的推广，并结合q-二项式定理建立新的q-调和级数与分圆多项式的整除性关系，同时建立两类特殊的q-调和级数与分圆多项式间的整除性关系。
1 定理
本文要证明的第一个定理为定理1。
定理1对任意正整数n、m，任意实数x，有
对任意正整奇数n，任意实数x，任意正整数m，有
因此，定理1是上式q-模拟的推广。
本文要证明的第二个定理为定理2。
定理2对任意正整数n，任意实数x，有
在文献［3-4］中，有如下整除性关系：
鉴于此，本文进一步得到上式的q-模拟如下：
本文要证明的第三个定理为定理3。
定理3对任意正整数n，任意实数x，有
定理3是上式q-模拟的推广。
特别地，该定理对文献［7］中的部分结果作出一般性推广。
2 一些引理
为了证明上述定理，我们需要如下一些引理：
利用文献［2］中相同的方法，可以得到引理1。
引理1对任意非负整数n，有
引理2对任意正整数m、n，有
证明注意到对任意正整数m，有
因此，可得
然后，有
引理3对任意非负整数m、n，并且1≤k≤n-1，
证明对式（18）左边进行处理，有
特别地，当m=1时，可得
显然，一般地，有
由文献［5］可以得到引理4。
引理4对任意正整数n，实数x，有
由文献［8］可得到引理5。
引理5对任意正整数n，实数x，有
3 证明定理1
为了证明定理1，首先我们需要下面一个必要的同余式：对任意实数x，任意正整数n，有
证明设，对xn-1q(n-1)2Tn-1(q)，构建如下调和级数关系：
对式（25）作适当处理，可得
然后，利用引理1、引理2，可得
接着，根据引理5，对任意正整数n，任意实数x，有下面同余关系：
这里第二步直接使用引理3。
对式（28）作一些调整，可得
最后，将式（29）代入式（27）的右边，有
这里第二步使用引理2，从而证明了式（24）。
然后，根据引理2，有
因此，可得
接着，有
使用引理1 和式（24），有
将式（34）代入式（33），有
最后，在式（35）中取-x→x，将得到式（1）。
相似地，为了证明式（2），我们需要结合式（1）作一些必要的处理，得到
使用引理2，我们有
注意到
由式（1），取m→2m，可得
最后，结合式（36-39），可得
从而完成了对式（2）的证明。
自此，我们完成了对定理1 的证明。
4 证明定理2
为了证明定理2，需要下面两个同余式：
首先，对任意正整数n，实数x，有
证明使用引理3和引理4，有
然后结合式（24）和引理1，完成式（41）的证明，即
其次，对任意正整数n，实数x，有
证明首先，建立多项式，则有
对式（44）两边从i= 1到i=n- 1求和，得到
注意到i=1时，式（45）左边等于0，因此有
对式（46）作些处理，可得
因此，将i→j，不难得到
最后，结合式（41），证明式（43）成立。
因此，有
运用式（41，43），可得：对任意正整数n，任意实数x，有
从而，完成了对式（3-4）的证明。
另外，有
结合式（44），可得
进而，完成了对式（5）的证明。
特别地，可以直接应用文献［3］中提到的相似方法，利用q-二项式定理得到下面两个一般形式的q-同余关系。
同余关系一：对任意正整奇数n，有
同余关系二：对任意正整奇数n，有
一般地，可以得到
然后，使用式（54），可得
同时，结合式（54-56），可以得到
类似地，有
最后，利用式（55），可得
自此，完成了对定理2的证明。
5 证明定理3
首先，对任意正整数n，实数x，有
同时，直接利用式（24），有
然后，结合式（61-62），将得到式（9），即
另一方面，
结合式（24，63），得到式（10），即
自此，证明了定理3。
