追求自然的数学教学——以苏科版九年级“方差”为例*

吴宝莹 (江苏省无锡市惠山区教师发展中心 214174) 陈 敏 (江苏省锡山高级中学 214174)

2021年11月24日—26日，江苏省初中数学青年教师基本功大赛在江苏南通举行，其中上课的课题是“方差”．笔者作为评委参与了大赛的全过程．选手水平良莠不齐，数学教学有失起码的自然性与合理性．参加省级青年教师基本功大赛的教师尚且如此，其他教师的教学情况可想而知．鉴于此，下面以苏科版数学九年级上册方差为例[1]，谈一谈追求自然的数学教学．

1 存在的问题

1.1 概念的形成缺乏自然性与合理性

1.2 只是照本宣科地“教教材”

不少教师直接简单地利用教材提供的例子——质检部门抽取两个厂的各10只乒乓球的直径数据，这两组数据较多，而且相对来说也较大，较为复杂．教材应用的三个层次是教教材、用教材、写教材，直接应用教材中的例子，按照教材编排的先后顺序照本宣科，只能是教材应用的最低层次“教教材”，教材应用的最高境界是“写教材”，即“得意忘形”[2]：“得其意”——领悟与把握教材的编写意图；“忘其形”——不拘泥于教材内容的编排形式，针对学生的实际情况，创造性地使用教材，个性化地“写教材”．

1.3 把数学概念教学演变成了程式操作

不少教师很快呈现出“方差”的概念与公式，然后是大量的题目跟进，学生进行程序化训练.这样的教学追求的是知识取向，不是数学文化取向，短期的教学效果可能是好的(当天的作业、当周的测试等)，但是，因为学生不清楚为什么要学习方差，不了解方差概念是怎样一步一步产生的，只是老师告诉了他计算方差的方法步骤，题目训练多了，充其量，他只能算是一个熟练的操作工，而不会成为一名设计师，这种做法不利于长远的学生数学核心素养的培养．

1.4 没有形成数据分析的结构化思想

在课堂总结阶段，许多教师大都是一些套话：“你今天学习了什么？”“你有什么收获？”“你想对老师说些什么？”“你想对同学说些什么？”等等，学生你一言我一语，只是停留在知识的碎片化层面，没有形成利用数据分析、解决问题的一般性结构化思想．

1.5 概念的拓展理解不够

数学概念的学习一般要经历了解—理解—见解“三部曲”[3]：了解就是学生要经历体会概念的产生、发展过程；理解就是学生要弄明白概念的数学本质与逻辑关系；见解就是学生学习了概念以后的反思与收获、所受的启发，甚至是质疑与批判．方差较为清晰地反映了一组数据相对于平均数的平均偏差，是一个被广泛采用的描述数据离散程度的量，但是，它有什么缺点？又如何改进？提出这些问题，可以引导学生思辨“方差”这个描述数据离散程度的量，形成概念学习的自我见解，进行自我建构，发生深度学习，实现知识的个人意义．

1.6 没有点破方差的本质及其实际生活指导意义

教师只是从数学统计学意义上说明方差是描述一组数据离散程度的量，自始至终没有点破方差的本质及其对实际生活的指导意义．事实上，方差的本质是对风险的度量，方差越大，说明这件事波动性越大，而风险，本质上指的就是这种波动性．所以，一个随机事件的方差越大，可能的结果离期望值越远，就说明它的风险越大．股票与国债、货币基金对比，股票起伏不定，就是方差太大，风险太高了．在实际生活中如何抵抗和利用方差呢？在理财投资领域，一方面“不要把鸡蛋放在一个篮子里面”，就是基于方差的考量；另一方面就是本钱越多，投资人承受风险的能力就越强，因为他有资本多次试错，一旦试对了，就会得到可观的收益，毕竟数学期望是着眼于长期的，适于长期做，即便试错了，他也有足够的实力抵御风险压力，正如风华正茂的同学们，敢闯敢试，敢于质疑，勇于创新才是青春应有的模样！

2 追求自然的数学教学的两个特质

“数学是自然的、数学是合理的、数学是有用的”[4]，数学教师要“理解数学、理解学生、理解教学”．追求自然合理的数学教学就是要理解数学、理解学生、理解教学：理解数学就是要遵循数学理论本身的内在逻辑；理解学生就是遵循学生的认知规律；理解了数学、理解了学生，才能理解数学教学.基于理解数学、理解学生、理解教学的数学教学才是自然合理的数学教学，这种自然合理性一般表现为以下两个特质：

一是遵循数学理论本身的内在逻辑关系．本节课中，对一组数据进行分析，我们一般既要分析数据的集中趋势，也要描述数据的离散程度，由于之前学生学习过的平均数、众数、中位数只能描述数据的集中趋势，所以对数据离散程度的描述需要另外寻求一个新的数学量．从极差—离差—离差的绝对值的平均值(平均差)—离差的平方的平均值(方差)—标准差，教学活动都是遵循数学理论的内在逻辑关系自然合理地逐步展开．

二是遵循学生的认知规律．上述教学活动的每一步都发生在学生原有的知识结构不能解决新问题的最近发展区和时间节点，引起了认知冲突，问题驱动使得学习逐步深入，符合学生的认知心理、认知习惯与认知规律，有利于学生一般意义的数学探究的经验获得与积累．

当然，数学理论本身的内在逻辑关系与学生的认知规律的完美结合，是追求自然的数学教学的最高境界．从教学过程看，本节课应达到“知其然，知其所以然，何以知其所以然”的境界，即不仅知道结论正确，还要知道为什么正确，以及怎么知道结论是正确的．事实上，“何以知其所以然”上升到了学生元认知的认识高度．本节课中，一方面，学生不仅知道方差能较好地描述一组数据的离散程度，而且清楚方差相对于极差、离差、平均差，在描述数据的离散程度方面，为什么更有合理性与优越性(这是遵循数学理论本身的内在逻辑)；另一方面，经过认知冲突、问题驱动逐步深入的学习体验(这是遵循学生的认知规律)，学生深刻明晰了怎么知道“方差”能较好地描述数据的离散程度，即怎么知道结论是正确的，从元认知层面上完成“何以知其所以然”．

3 追求自然的数学教学的“两条腿”走路

理解数学就是要遵循数学理论本身的内在逻辑，理解学生就是遵循学生的认知规律.理解了数学、理解了学生，才能理解数学教学，才是自然合理的数学教学，所以追求自然合理的数学教学要“两条腿”走路：一要吃透课程标准，领悟其意义内涵，深度研究分析教材，准确把握数学理论本身的内在逻辑关系，在此基础上展开教学；二要了解学生的认知心理、认知习惯、认知特点、认知规律，了解学生的最近发展区，清晰学生已有的认知结构与新的数学理论的差异关系，遵循学生的认知规律展开教学．但很多情况下数学理论本身的内在逻辑关系发展和学生的认知规律并不一致，这就要求教师要兼顾这“两个遵循”，关键是彼此的度的把握，这是难点，也是教学水平之所在．其度如何把握，要随着教学内容、学生、教学方法等教学因素的变化而变化，做到循序渐进、实事求是，但是始终不变的底线原则是“心中有人”，也就是说，教学活动的一切从学生出发，“心中有人”才能“脚下有路”，才能追求自然合理的数学教学．

4 追求自然的数学教学案例分析

针对这次省级青年教师基本功大赛中“方差”课堂教学的主要问题，兼顾遵循数学理论本身的内在逻辑关系和遵循学生的认知规律，综合各位教师的现场教学情况，下面给出方差教学的主要环节的设计与实施．

4.1 基本情况分析

(1)学生分析.学生已经学习了平均数、中位数和众数，了解了它们的各自特点，知道这些量是从不同角度描述一组数据的集中趋势，知道在不同情况下要选择不同的量来描述．学生对与实际生产生活有密切联系的统计分析问题表现出较强的兴趣，对一组数据有一定的分析能力，也掌握了初步的分析方法，在对一组数据的集中趋势描述的基础上，可以进一步描述其离散程度．

(2)教材分析.“方差”是苏科版数学九年级上册第三章《数据的集中趋势和离散程度》的第四节，前三节学习了平均数、中位数和众数，这些量从不同角度描述了一组数据的集中趋势，而方差是刻画一组数据的离散程度的，是从两个不同的维度进行数据分析的．方差是继小学阶段学习了“统计初步”后的进一步学习，也为高中阶段概率与统计的学习奠定基础．

(3)教学重、难点.重点：方差概念的产生过程；难点：用“方差”描述一组数据离散程度的自然合理性的理解．

4.2 主要教学过程

·温故知新

师：为了有效地认识、分析和利用数据，我们前面学习了平均数、中位数和众数，它们各自是怎么定义的？它们在数据分析方面有什么共同功能？又各有什么特点？

学生回忆三者的概念、特点及其刻画数据的集中趋势的共同功能．

设计意图复习平均数、中位数和众数的概念，它们都能刻画数据的集中趋势，又各有特点，在实际应用中，应根据需要恰当选择．

·问题情境

师：在实际生产生活中，我们不仅需要描述一组数据的集中趋势，而且还需要描述一组数据的离散程度，如在射击比赛选手的选拔中，对某个选手的评估，教练不但要看他的平均水平，还要看他发挥的稳定程度．

甲乙两位射击选手各射击5次，其射击环数分别为3,5,6,7,9；4,5,6,7,8．教练如何选择？

设计意图教材提供的例子是质检部门抽取两个厂的各10只乒乓球的直径数据，这两组数据较多也较大．这里在数据变少、变小的情况下，不妨碍揭示数学问题的本质．

·概念建构

生：经计算后发现，两组数据的平均数、中位数都一样，每个数据都只出现了一次，众数意义也不大！但是，又感觉到数据乙(即选手乙的射击环数)的波动相对小一些．

师：很好，同学们的数学感觉很敏锐，这是很可贵的！感觉到数据乙的波动相对小一些是不是指数据间的跨度更小一些？

设计意图学生原有的认知结构解决不了现在的问题了，引起认知冲突，激起学生学习新知解决问题的欲望，学生感觉到数据乙的跨度相对更小一些．所谓数据跨度也就是最大值与最小值的差，极差的概念呼之欲出，另外关于“极”之理解，极者最也．这样的数学教学，从概念的产生，到概念的理解，兼顾了数学理论本身的内在逻辑关系与学生的认知规律，自然而然．

生：两组数据的平均数都是6，但数据乙的极差4小于数据甲的极差6，选手乙更稳定一些，选择乙．

师：另外两位射击选手丙和丁各射击7次，其射击环数分别为4,5,6,7,8,9,10；4,7,7,7,7,7,10．教练又如何选择？

设计意图新的两组数据的平均数一样，刚刚学习的极差也一样，再一次引起认知冲突，解决新问题需要引入新的量，引导学生更深一层的思考．

生：这两组数据的平均数与极差都一样，绘制出二者的散点图，会直观地会发现，数据丁波动程度小一些．

师：波动程度大与小是不是相对于某个“中间值”而言的？它与每个数据都有关系，散点图直观地描述了这两组数据的波动程度，那如何用数量来描述呢？

生：这个“中间值”我们可以选平均数，计算各组数据中每一个数据与平均数的差．

师：计算出各组数据中每一个数据与平均数的差以后，怎么办呢？是直接相加吗？

生：两组数据的平均数都是7，对数据丙：(4-7)+(5-7)+(6-7)+(7-7)+(8-7)+(9-7)+(10-7)=0；对于数据丁：(4-7)+(7-7)+(7-7)+(7-7)+(7-7)+(7-7)+(10-7)=0，由于相对于平均数波动的正负抵消，两个计算结果都是0，这个数量与直观图的描述不符？！

师：一个数据与平均数的差叫离差，由于离差的正负抵消，掩盖了数据的离散程度，所以不能用离差描述数据的离散程度．但是，我们要利用离差，又要避免正负抵消，怎么办呢？

生：计算这些离差的绝对值的和(学生很快地说出)．对数据丙：|4-7|+|5-7|+|6-7|+ |7-7|+|8-7|+|9-7|+|10-7|=12；对数据丁：|4-7|+|7-7|+|7-7|+|7-7|+ |7-7|+|7-7|+|10-7|=6，6<12，这个数量就和直观图的描述相符了．

师(追问)：避免正负抵消，除了取绝对值，还有什么办法？

师(追问)：方差的单位与原始数据的单位有什么改变？怎么办呢？

学生在体会感悟方差在描述数据离散程度方面的自然合理性的同时，发现方差的单位与原始数据的单位不同，是原始数据单位的平方，于是提出了取方差的算术平方根(很果断、大胆)．

设计意图从离差—平均差—方差—标准差，不断产生认知冲突，逻辑思维循环上升的问题驱动，适时推动学习进展，追求学生的认知规律与数学理论本身的内部逻辑关系的完美结合，自然合理，水到渠成．

·数学运用

学生分析质检部门抽取两个厂的各10只乒乓球的直径数据(教材提供的例子)，判断哪个厂家生产的乒乓球质量更稳定．

设计意图通过数据较少的问题情境，成功建构了方差的数学概念后，创造性地使用教材，把教材中的引例后置作为数学运用的例子．由于学生对方差有了自我认知意义，解决新问题就会得心应手．

4.3 教学辨析

为了深入浅出、简单明了地说明方差概念的产生与发展过程，数据的选取尤为重要．教材中的例子乒乓球直径数据较多，也较复杂，为了解决这个问题，上述教学过程中采用了射击选手的射击环数，这些数据固然很简单，很容易说明问题，易于学生理解，但是“地气”不足，是笔者主观想象产生的，这些数据最好能在简单明了且能说明问题的前提下，产生于真实的生产生活中，因为毕竟我们学习数学的最终价值，是在新的真实情境下，运用数学的精神、思想、观点、方法解决实际问题．

4.4 教学结构

图1 课题研究的四个层次

5 结束语

追求自然的数学教学不可能一蹴而就，它需要一个过程，但是，遵循数学理论的内在逻辑与学生的认知规律应当是我们广大数学教师矢志不渝的价值追求，每一次上课有一点点向好的改变，都具有重要的现实意义！