基于等价输入干扰的主动磁悬浮轴承控制*

范哲恺，黄 刚，万雨龙，赵凯辉

（湖南工业大学轨道交通学院，湖南株洲 412000）

0 引言

磁悬浮轴承（Active Magnetic Bearing，AMB）是种通过磁场使例如转子的旋转组件与轴承静置部位保持相对稳定距离的装置，距离内无机械接触，使得转子在旋转时与静置部位无机械摩擦[1]，这种新型的非接触式轴承能利用电磁力改变传统轴承机械摩擦大的缺点，得以使轴承发展步入到更高速度、更少磨损的新台阶。

目前磁悬浮轴承在各个领域都有应用。例如磁悬浮飞轮储能[2]、电力系统[3-5]、磁悬浮多电航空发动机[6-7]领域中。在这些应用领域中，磁悬浮轴承绝大多数运行在超高转速的状态下，若转子受扰动作用偏离预定位置过多，转子与定子发生机械摩擦，会造成严重机械损坏甚至导致系统崩溃，为解决上述问题，需要设计一个控制器控制转子平衡，并能实时对外部未知扰动进行观测，从而削弱扰动给系统带来的影响。很多传统方法均是被动控制[6-7]。数字控制则有模糊控制[8]、滑模控制[9]、神经网络[10]等对磁悬浮转子控制。如Tang Liang等[11]对平衡量未知的转子，通过动、静不平衡量的辨识与补偿控制设计了自适应对中控制器来消除颤动。Se Young Yoon和SL Chen等[12-14]将不平衡补偿技术扩展到控制回路中达到振动控制。

以上方法对于自身颤动有较好的抑制能力，但对于外部扰动的及时补偿能力稍有不足，因此对于外界不确定干扰，需要设计观测器对系统内部及未知干扰进行实时观测，并能够对磁轴承系统及时进行抗干扰控制。相对于传统的龙伯格观测器。滑模观测器（Sliding-Mode Observer，SMO）不仅将系统观测器观测误差线性方式反馈,而且还能够根据观测误差进行快速调整，从而实现对系统状态变量以及外部扰动及时快速并准确地估计[15]。

等价输入干扰通过观测器推测出一个等价输入干扰，前馈到控制器输入端，对扰动进行及时补偿，不需要掌握外部未知干扰的信息，目前该方法在各方面都有成功运用，如DC-DC变换器[16]、建筑抗震[17]、液压系统[18]、永磁同步电机[19]等。本文在滑模观测器上引入等价输入干扰补偿的设计思想设计伺服控制器[20-21]，以消除扰动对系统产生的影响[22]，实现对给定转子位置的高精度控制并使系统拥有高抗扰性能。

1 数学模型

磁悬浮轴承利用电磁力使转子处于无接触悬浮状态，定子与悬浮转子之间没有机械接触，无摩擦。其通过位置传感器监测转子的位置偏移量，将其转换成电信号反馈到控制器，控制器控制电磁铁使转子的重心固定在运转的预定轨道上，使整个系统工作在安全状态，其原理如图1所示。

图1 磁悬浮轴承转子位移控制系统

其控制对象单自由度AMB中电磁铁部分的线圈环绕匝数为N，S为有效磁极，初始时刻电磁线圈电流为i0，并作如下假设。

（1）由于对转子的控制在竖直方向，为方便计算忽略磁悬浮轴承转子的体积，可以将悬浮的转子简化一个质点。

（2）不考虑绕组漏磁通、磁滞等对系统的影响，且忽略定子与转子之间产生的磁阻。

电磁力的推导式如下：

将式（1）在平衡点处进行泰勒级数展开，忽略高阶小量，便得到电磁力与控制励磁电流和与转子距传感器位移x的关系式，则有：

式中：Kx为力与转子偏移量之间的刚度系数；Ki为力与控制电流的刚度系数[23]。

结合电磁力公式其大小计算式如下：

考虑外部未知扰动d（t）对转子的影响，主动磁悬浮轴承转子的力学表达方程式为：

式中：

此外，给定位置参考信号表示为yc(t)，将位置跟踪误差定义为e(t)=y(t)-yc(t)。对于系统所设计的观测器以及控制器，使观测误差在系统内部不确性变化和外部未知干扰影响的情况下需要快速稳定收敛到零，即当t→∞时，有e(t)→0。因为K i/m≠0，易知该系统是可控可观测的。

2 EID滑模观测器控制系统设计

针对悬浮转子的稳定性抗干扰控制提出了一种基于等价输入干扰估计器与滑模观测器结合的PID控制方法，其内部控制系统结构如图2所示，由滑模观测器将系统内部参数的不确定参数变化和外部干扰转化为电信号，施加在控制器输出端，然后采用等价输入干扰滑模观测器对系统状态变量及外部干扰的进行等价输入干扰估计，并将估计值信号前馈到输入端后得到最终叠加后的控制方法。

图2 基于EID和SMO的单自由度磁悬浮轴承控制系统结构

2.1 等价输入干扰滑模观测器的设计

只需要通过干扰估计器估计出等价干扰，并把其负反馈在输入通道上从而抵消真实干扰对系统的作用[20]：

由于引入了外部干扰的等价输入干扰信号，EID系统的状态较于原系统的状态发生了改变，对于EID系统，其状态方程如式（5）所示。对于此，再设计滑模观测器对EID系统其状态变量及干扰予以观测并等价估计。选择系统实际输出量和观测器输出量之间的观测误差的双曲正切函数作为滑模观测器的控制律。相比于符号函数更有效抑制滑模观测器在滑模面附近产生的抖动，同时还能够输出稳定准确的观测器输入。对于以上引入EID的新系统设计滑模观测器：

状态观测器设定观测误差为：

切换函数和滑模控制律设计为：

将ex（t）代入到式（6）中得到：

设存在一个变量Δd（t）满足

所以设等价输入干扰估计器对d e(t)的估计值(t)为：

所以：

为避免高频噪声对估计器的影响，添加一个低通滤波器F（s），其状态空间表达式为：

可得状态观测误差动态为:

即

选取李雅普诺夫函数为V=eTx Pe x作为所设计部分稳定性的判断方法，其中P矩阵正定并且对称。然后对V（t）求导可得：

对于P>0，存在>0满足下列非线性方程：

由于使用的滑模控制律tanh(Ce x(t))∈(-1,1)，于是利用杨氏不等式对不等式进行变换：

并且λ>0，所以V≤0条件有：

证明了所提出的观测方法能够保证系统全局一致并且最终有界的。

2.2 闭环系统稳定性分析

一个控制系统中如果A满足Hurwitz稳定，那么其闭环系统将是是全局一致并且最终有界。那么有A11与A22是Hurwitz稳定的。

即

设：

令：

将闭环系统写成：

因为tanh(Ce)∈(-1，1)，假设de有界，则Λ有界。适当选取观测器增益L和低通滤波器F（s），可确保A11和A22是Hurwitz稳定的。因此对于包含未知扰动量系统是最终全局一致有界的。

3 仿真和实验验证

3.1 主动磁悬浮轴承参数

采用MATLAB/Simulink对单自由度主动磁悬浮轴承系统和所提控制方法进行数值仿真和验证，其中本次设计的控制器控制对象单自由度磁悬浮轴承系统各参数如表1所示。

表1 磁悬浮轴承各项参数

最后，仿真结果将采用时间乘绝对误差积分准则（ITAE）和均方根误差（RMSE）两项指标来定量分析[24]，仿真和实验采样周期均为0.01 s。

PID+EIDSMO方法参数如下：

观测器增益L=[45 000 000 100 000]T，滑模增益Ks=50 000，取扰动的最高频率ωr=0.5π。

3.2 观测器设计仿真结果

控制跟踪和抗干扰性能对比仿真结果分别如图3~7所示，方波控制信号可以看出PID+EIDSMO在不牺牲控制性能前提下，具有更快的扰动后收敛能力，在白噪声扰动中，抗扰性能更加显著，且如表2、表3所示ITAE和RMSE两项性能指标也有所提升。

表2 两种控制方案下方波与正弦波跟踪性能

表3 白噪声与锯齿波抗扰性能

图3 方波控制信号扰动抑制

相较与PID与普通龙伯格观测器，图8所示观测误差能在初始状态相差0.5 m情况下，能以较快速度收敛至零，且综上仿真结果PID+EIDSMO方法具有更好的抵抗外部干扰性能。

图4 正弦波控制信号下扰动抑制对比

图5 两种控制器下锯齿波信号扰动抑制

图6 白噪声扰动抑制对比

图7 两种控制器下正弦信号扰动抑制

图8 EID+SMO观测误差e x(t)=x-

4 结束语

本文针对高速旋转的的悬浮转子安全稳定性问题，研究了在外部未知扰动影响下的磁悬浮轴承系统转子位置偏移的控制问题。为了在不牺牲控制系统的控制鲁棒性以及系统响应速度的前提下提高整个系统的抗外部未知干扰能力，提出了一种基于等价输入干扰滑模观测器的比例积分控制方法。

通过等价输入干扰滑模观测器实时观测系统的运行状态变化，并将外部干扰观测出来并前馈到输入端，实现了主动磁悬浮轴承系统在扰动影响下的位置跟踪控制并抵消干扰的大部分影响。仿真结果表明，与传统的观测设计方法如Luenberger观测器相比，基于EID估计器的滑模观测器具有更小的观测误差，收敛速度快。并且相较于PID加传统龙伯格观测器控制方法，基于等价输入干扰估计器的滑模观测器的观测与控制方法对扰动具有更好的抑制效果，系统鲁棒性也进一步提升。