类比推理法在高中数学教学中的应用研究

2023-02-22高新春

名师在线 2023年3期

文/高新春

引言

高中数学涉及的理论知识、数学方法众多，要想让学生在有限的学习时间内充分掌握相关内容，教师需要使用科学有效的教学方法，加深学生对知识的理解和记忆。类比推理法的应用可以帮助学生对比数学知识点的异同，从而领会不同知识点的内涵，提高学生的学习效率。教师应认识到类比推理法的应用意义，将这一教学方法有机融入高中数学课程教学中，实现对学生数学思维能力的培养。

一、类比推理法的相关界定

（一）类比推理的概念特征

类比推理是推理的形式之一。通过类比两个或两个以上的对象，明确其在属性上的相同或相似，再通过比较推断出类比对象的其他属性，这一过程被称为类比推理[1]。类比推理包括完全类比推理与不完全类比推理两种形式。类比推理是一种由一般到一般、由个别到个别的推理形式，其推理结论具有或然性的特征。同时，类比推理的依据是类比对象的部分属性，由已知属性推理另外的未知属性，其推理结论并不完全是正确的。

（二）在高中数学教学中的应用优势

类比推理是一种认知思维方法，将其应用到高中数学教学中，具有以下优势：第一，有助于调动学生的数学探究积极性。教师在课上组织学生类比学习，可以使学生有充分的机会利用已积累的经验、知识探究

未知的数学问题。在这一过程中，学生的注意力高度集中，能够在短时间内找到学习新知的诀窍，体会到学习的乐趣，从而形成积极的数学学习态度。第二，有助于提升学生的数学思维水平。类比推理是一种思维方法，学生应用这一方法可以将抽象的数学知识变得具象化，区分不同知识点的异同。

二、类比推理法在高中数学教学中的应用策略

（一）渗透类比思想，树立类比学习观念

受传统“填鸭式”教育思想的影响，部分学生在学习高中数学知识时倾向于死记硬背数学概念、计算公式、数学算法等，忽视了对知识点之间相同、不同处的分析，导致对数学知识一知半解[2]。究其原因，在于学生缺乏良好的学习观念。在实际教学中，教师要在课上渗透讲解类比思想，将类比思想的概念内涵、应用方法、应用优势在课上分享给学生，循序渐进地培养学生的类比推理学习意识，引导其树立类比学习观念。

以人教版高一必修第一册“集合间的基本关系”一课的教学为例，为了使学生充分理解集合之间的包含、相等关系的含义，理解子集、真子集、空集的概念，教师类比实数的大小关系，引入集合的包含与相等关系。在导入阶段，教师渗透类比思想：类比思想是一种知识的迁移思想，即一种学习对另一种学习的影响。在数学探究过程中，教师引导学生结合已掌握的知识对未掌握的知识进行类比推理，以降低数学学习难度。通过渗透类比思想，学生在脑海中形成类比学习的观念，不再死记硬背知识。在此基础上，教师提出类比问题：（1）元素与集合的关系有哪几种？0与N的关系是什么？-1.5与R的关系是什么？（2）类比实数大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系？通过问题加深学生对类比思想的理解，使其真正掌握类比推理的思想方法。

上述案例，教师立足课堂实际教学内容，在恰当的时机为学生介绍类比思想，并围绕类比思想提出相应的问题，加深了学生对数学思想的认知与理解，为学生树立类比学习观念奠定了基础。

（二）明确类比目标，优化数学教学结构

类比学习的关键在于挖掘不同知识点存在的内在联系。然而，部分教师在类比教学时，受众多数学知识点的干扰，出现了教学方向不明、教学结构混乱的问题，影响了教学的正常进行。究其原因，在于教师未能明确类比教学目标，使课程教学有形无“魂”。应用类比推理法教学之前，教师应立足教学实际，分析课程的主次教学内容，并根据学生的实际学习水平明确类比目标，围绕目标设置有层次的教学结构，保证高中数学课程的教学质量。

以人教版高一必修第一册“二次函数与一元二次方程、不等式”一课的教学为例，类比推理前，教师应明确探究一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系是本课的主要教学内容，也是教学重难点。明确重难点后，教师再确定类比推理的教学目标：能够用二次函数的观点处理二次方程、二次不等式问题，感悟函数的重要性及数学知识之间的关联。为达成这一目标，教师设计类比推理教学方案：第一，出示一次函数与一元一次不等式的图像与数据表格，组织学生分析二者之间的关联；第二，组织学生基于一次函数、一次不等式知识点的关联类比推理一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系；第三，得出推理结论，并组织学生验证结论是否正确。

上述案例，教师综合课程教学内容，明确类比推理的应用目标，并根据具体目标优化课程教学结构，使学生按照具体步骤类比、推理、演绎数学知识点，从而提高学生的类比学习效率。

（三）提出引导问题，引发数学探究兴趣

并不是所有的学生都具备类比推理的思维能力，少数学生无法明确不同数学知识点之间的内在关联，在类比学习时较为吃力。为了降低类比学习的难度，使学生对类比推理学习产生兴趣，教师应发挥自身引导作用，启发学生进行类比学习。

以人教版高一必修第一册“指数函数”一课的教学为例，为了使学生在类比推理学习中掌握指数函数的概念、图像和性质，教师在课上提出引导性问题：取一张正方形纸片，将纸片对折，纸片对折的次数x与所得层数y的关系可用什么函数表示？对折次数x与折后面积y的关系可用什么函数表示？通过提问让学生得出两个函数，类比两个函数的异同。比如，函数y=x2的图像是怎样的？有什么特征？函数的图像是怎样的？两个函数的图像有怎样的区别？让学生在引导性问题的驱动下，发现两种函数的异同之处，激发学生的探究意识，再借助具体的问题，让学生抽象两种函数的共性和差别，帮助学生完成由一般到一般的类比推理学习。

上述案例，教师将新知教学内容与过去教学的数学知识进行类比推理，同时结合学生的类比学习进度提出有针对性的引导问题，使学生在解答问题的过程中得到类比结果，从而形成积极的类比探究学习态度。

（四）观察比较实物，发展直观类比思维

高中数学知识具有较强的抽象性，若教师一味使用抽象的数学符号、数学语言展开类比推理教学，会增加学生的学习负担，使其对数学学习产生倦怠感。在实际教学中，教师应控制好教学节奏，在讲解复杂知识点时，设计直观性较强的类比推理教学方案，使学生在直观观察、直观类比的过程中找到类比对象的异同点，从而加深对数学知识点的理解与记忆。

以人教版高一数学必修第二册“简单几何体的表面积与体积”一课为例，教师将几何体的结构相似性作为类比推理教学的依据，在课上展示实物，让学生观察、比较，并结合已学的知识对数学问题进行类比推理。课上，教师展示高度相同、底面积相同的长方体与不规则四棱柱体的实物，组织学生以小组为单位观察二者的异同，并提出讨论性问题：长方体的体积应怎样计算？不规则四棱柱体的体积应怎样计算？二者之间有联系吗？让学生带着问题观察、比较几何体，应用现有的工具模拟两个几何体：用两摞教科书在桌面摞成两个长方体，其中一个不动，使另一个长方体向一侧倾斜，完成数学模型的搭建。这时，学生发现长方体与四棱柱体的底面积相同、高相同，推理出四棱柱体体积的求解公式V=SH（S：底面面积；H：柱高）。

上述案例，教师根据教学需求收集教学实物，并将其直观呈现在学生眼前，然后组织学生以小组为单位观察、比较两组实物的异同，让其在合作构建数学模型、对比异同的过程中进行类比推理，从而得出数学结论，形成良好的直观类比思维。

（五）组织联想辨别，发展推理思维

根据类比推理的内涵和特征，教师应明确高中数学课程教学的重点，在课上预留学生独立思考、合作讨论的时间，并组织相应的教学活动，使学生在课上进行创造性的类比推理。在这一过程中，教师应转变固有的师本教学思想，将课堂还给学生，将其作为学习主体，组织学生参与类比联想、类比辨别的学习活动，使其在活动中大胆设想，以发散性的数学思维探究数学问题，培养创造性思维。

以人教版高一必修第二册“复数”一单元的教学为例，复数具有几何意义，教师可应用平面向量的相关知识组织学生进行类比、联想：复数与向量具有相似的性质，比如，向量与复数z=a+bi存在意义对应的关系，复数z=a+bi的模可用对应向量的模表示等。教师可引导学生根据对应向量相加、相减、相乘的性质，联想复数z1与z2相加、相减、相乘的结果，提出猜想：两个复数相加可用两对应向量相加表示；求解两个复数相减的答案，可以应用求两对应向量相减的方法计算等。在此过程中，教师不限制学生联想，使其大胆猜测，逐步形成类比推理的数学思维习惯。

上述案例，教师明确新知内容与已教学内容的关联，将二者相同的性质作为类比推理依据，组织学生在课上讨论、猜想，使学生在此过程中形成大胆设想的创造性类比思维。

（六）验证类比结论，发展数学抽象思维

类比推理是一个严谨的、富含逻辑的思维过程。由于类比推理的结论具有或然性的特征，为了避免学生形成错误的认知，教师需组织结论验证教学活动。在这一活动中，教师应用相关案例，让学生将类比推理的结论代入案例中，若应用该结论计算分析后得到的答案与原答案相同，说明类比结论正确，反之则不然。

以人教版高一数学必修第二册“用样本估计总体”一课的教学为例，教师将初中所学的统计知识应用到本课的类比推理教学中，让学生在回顾旧知的过程中推理频率分布表、频率分布直方图的绘制方法与作用。根据学生推理结果，教师引入实际案例：一个口袋有1个黑球和若干个白球，这些球除颜色以外，形状大小都一样，如果不许将小球倒出来，怎样估计其中白球的数目？让学生用推理出的结论解决问题，在得到问题答案后，将口袋打开，让学生数清白球的数量，以此验证学生所推理的结论是否正确。

在这一过程中，学生先通过类比推理得出结论，再进行案例应用验证结论，进一步总结所推理论的正误，提高了数学归纳、数学抽象思维能力。

（七）建构知识体系，提升类比建构能力

建构知识体系是类比推理教学的重要教学环节之一。在学生完成对知识结构、不同知识点内在关联的探究后，教师应指导学生完善自身知识体系，在课上组织类比实验，让学生在实验操作的过程中类比解题方法，从中推理、总结数学的一般性规律，进一步搭建数学知识框架，让学生在信息化教学工具的指导下完成对新旧知识点的关联类比，吸收、内化数学知识。

以人教版高一数学必修第二册“频率与概率”一课的教学为例，在完成初中统计知识的类比教学后，教师组织学生进行类比试验。试验1：把全班分成10个小组，每组分配两枚质地均匀的硬币，抛掷一枚硬币一次，统计“正面朝上”的情况；试验2：把全班分成10个小组，每组分配一个骰子，一次抛掷一个骰子，记录“点1朝上”的情况。这样，学生从两次试验中类比出概率的统计定义，明确事件A发生概率的估计值的含义，同时结合概率的性质0≤P（A）≤1、P（A）+P=1对“若事件A与B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B）”这一性质进行类比推理。在这一过程中，学生充分参与了数学理论的发现、推理、验证，对数学理论有了更深刻的认知，能够轻而易举地建构数学知识体系。