对线性代数习题客观化的设计与创新

■ 太原工业学院 马 淼 李岸巍 宁 健

单项选择题是对知识点测试非常有效的题型，好的题目不仅可以帮助学生正确理解数学概念，牢固掌握数学规律，而且可以全面提升学生的数学能力。单项选择题也是各类考试中不可或缺的题型之一，具有评分简单、客观，便于分析错误的特点。在近年全国硕士研究生招生考试数学试题中，单项选择题达到10个，分值占试卷总分数的。

线性代数具有计算与论证的特点，为单项选择题的设计与创新提供了更为广阔的探索与实践的空间。作者团队历时多年，对课程习题进行了详细的整理并引入了计算机辅助设计进行了优化设计和创新，并在设计过程中，秉承了以最简单的运算掌握最多知识点的设计理念，几乎为每个习题都设计了MATLAB运算程序。

1 根据测试内容确定习题测试类型

1.1 基本概念类

基本概念类习题侧重于对基本概念的测试，力求帮助学生正确理解数学概念、牢固掌握数学规律。

A.-4 B.-1 C.1 D.4

例题1是一道比较成熟的单项选择题，伴随矩阵的定义以及伴随矩阵中元素的排列顺序是该习题的核心测试目的，本文对其进行了优化设计。在题干设计过程中，选择了伴随矩阵中行标加上列标为奇数的元素，为干扰选项设计预留了充足的空间。

1.2 计算方法类

计算方法类习题是针对课程中的公式和典型的计算方法设计的习题，侧重于对公式和典型计算方法的强化训练。

A.1，2 B.1，2，3 C.1，2，4 D.1，2，3，4

使用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵是非常重要的计算方法，在教材中与之相关的典型习题有20余个题目。因使用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵的过程具有复杂性和灵活性，很难通过过程检验其运算的准确性，但与矩阵行等价的行阶梯形矩阵的非零行行首非零元素具有唯一性，故而可以采用单项选择题对学生进行强化练习。例题2正确选项为B。

1.3 证明类

证明类习题是对主观性性证明题的客观化，往往可以使用拓展测试知识点、延伸习题测试目的的技术手段实现客观化。

例题3设矩阵A满足A2＋3A-5E＝0。若，则（A＋4E）*-（A＋4E）＝（ ）。

A.-4A B.-5A C.7A D.9A

例题3的原形习题为：设矩阵A满足A2＋3A-5E＝0，证明矩阵A＋4E可逆，并求出其逆矩阵。此题需要学生在条件 A＋4E的前提下，由A2＋3A-5E＝0得到（A＋4E）与（A-E）互为逆矩阵。若使用选择题形式，势必在选项中有正确选项，学生可以通过选项反验的应试技巧将求得正确答案B。为此，本文将测试知识点进行拓展并将习题测试目的进行延伸，并杜绝使用选项反验求得正确答案B的可能。例3需要学生在求得逆矩阵的条件下得出（A＋4E）*＝-4A＋4E，从而算出正确答案。

1.4 综合提高类

综合提高类习题侧重于对学生综合运用知识能力的培养以及逻辑思维的训练，此类习题整体求解难度较大。

例题4已知A2＝E，则B＝8A3-6A2-8A＋7E必有一个特征值（ ）。

A.-5 B.-3 C.-1 D.1

例题4是由两个原形习题复合而成的。其一，证明A2＝E的特征值只可能是±1；其二，若λ＝1是矩阵A的特征值，则矩阵8A3-6A2-8A＋7E必有特征值。根据简单的矩阵方程求矩阵的特征值，以及根据方阵A的特征值求矩阵A的多项式φ（A）的特征值是方阵的特征值部分两类基本习题。因前者的求解难度稍微偏大，往往以证明题的形式出现。例题4的求解关键在于求出A的特征值 λ＝±1，则 φ（A）＝8A3-6A2-8A＋7E，φ（±1）＝1，从而求出正确答案 D。

2 探索与创新

2.1 原有习题客观化的弊端

很多单项选择题的设计过程实际是对成熟的主观化试题进行客观化再设计的过程。当然，如果仅仅为了客观化而客观化，那么设计出的习题只是表述形式的变化，并没有实质性的创新。例如下面的例题5和例题6，并没有达到真正的测试目的。

A.-5，-6 B.-5，2 C.-3，-6 D.-3，2

例题5是比较重要的一道习题，其目的是引导学生深刻掌握行列式展开定理，并为后续课程中的公式的证明做好知识储备。然而，在教学过程中发现，还是有很多学生的计算过程是通过“强算”各个余子式和代数余子式进行计算的得到正确答案D。从普遍意义讲，例题5没有完全达到测试和训练的目的。

A.x1＜x2＜x4＜x3B.x4＜x1＜x3＜x2

C.x4＜x3＜x1＜x2D.x3＜x1＜x4＜x2

例题6的主要测试目标是使用克拉默法则求解线性方程组，次要测试目标为高阶行列式计算。虽然在选项设计中杜绝了选项代入方程组验算的可能性，但是还是有大量学生在使用中学方法求解也可以求解出正确选项B，因此，并没有真正达到测试目的。

2.2 创新设计

以例题6为突破点，经过反复尝试与实践，创新性地形成了综合提高类习题例题7，从而弥补了例题5和例题6的缺点，这也是在习题设计过程中的创新性收获。

A.x1＝A11＋2A21＋2A31＋A41

B.x2＝-2A12-4A22-4A32-2A42

C.x3＝-A13-2A23-2A33-A43

D.x4＝2A14＋4A24＋4A34＋2A44

虽然使用克拉默法则求解线性方程组是应知应会的计算方法，但其理论价值更为重要，其证明过程更是精华所在，更能够从本质上表达克拉默法则的实质。本文将克拉默法则重新表述如下：

3 结语

本文结合教学实践，通过计算机辅助设计对课后习题进行了详细的整理和再设计。主要介绍了如何将基本概念类、计算方法类、证明类三类题型设计为单项选择题。在设计过程中考察了学生对基本概念的理解，选项涉及也加入了混淆项以提醒学生注意容易忽视的问题，并且要控制计算量，在综合提高类部分有加入了综合体以提高学生的综合运用能力。另外在设计习题过程中发现很多主观题转化后可以将选项代入或者采用中学的计算方法求解，因此在设计习题过程中避免了此类现象的出现。