一类椭圆方程Dirichlet问题弱解的全局Hölder连续性

佟玉霞 ,田润蓁 ,孟宪瑞 ,刘晓丽

(1.华北理工大学理学院,河北 唐山 063210;2.河北省数据科学与应用重点实验室,河北 唐山 063210;3.华北理工大学冀唐学院,河北 唐山 063210)

1.引言

A-调和方程

是一类研究广泛的椭圆方程,当映射A(x,h)|h|p-2h,即为p-调和方程div|∇u|p-2∇u0.形式各异的A-调和型方程在微分几何、拟正则映照、非线性弹性力学、控制论等方面有着广泛的应用.关于其弱解的性质已有很多文献[1-6]做过详细的讨论.

LI和Martio[1]考虑了具有很弱边值的椭圆方程(1.1)弱解的唯一性;FAN[2]建立了具有可变指数的散度型椭圆方程divA(x,u,∇u)B(x,u,∇u)的Dirichlet问题和Neumann问题的有界广义解的全局C1,α正则性;ZHENG等[3]基于密度引理和Moser-Nash讨论建立了具有自然增长条件的A-调和型方程−divA(x,∇u)B(x,u,∇u)弱解的优化正则性;YAO[4]考虑了具有可变指数的非齐次方程divA(x,∇u)div(|f|p(x)-2f) 弱解的加权Lq估计;JIA和WANG[5]考虑了拟凸域上具有W1,q(q ≥p>1)边界数据的椭圆方程divA(x,∇u)div(|f|p(x)-2f)的边值问题,通过使用极大函数、Vitali覆盖引理和紧性方法,获得了其弱解的全局正则性;GAO等[6]使用广义的Stampacchia引理证明了方程−divA(x,u,∇u)f(x)的Dirichlet问题熵解的正则性.关于A-调和方程及其相关问题的更多结论可参见文[7-11].

设Ω为Rn中的具有C1,α边界的有界区域,(0,1],n ≥2.本文考虑具有可变指数的椭圆方程

其Dirichlet边界条件为

注特别地,当A(x,ξ)|ξ|p(x)-2ξ且B(x,ξ)0,(1.2)即为p(x)-Laplace方程

弱解的局部Hölder连续性.佟玉霞等[16]获得了变指数A-调和方程(1.2)弱解的梯度的局部Hölder连续性.本文主要借鉴FAN[2]建立全局C1,α正则性的方法,将文[16]中建立的局部Hölder连续性推广到全局.

下面是本文主要结论.

2.预备知识和引理

具有可变指数的Lebesgue-Sobolev空间

此时Lp(x)(Ω)为Banach空间.W1,p(x)(Ω)空间定义为

此时W1,p(x)(Ω)为Banach空间.

对于任意给定的x0常数R>0,开球B(x0,R){x:|x −x0|

下面给出边值问题(1.2)-(1.3)的高阶可积性结论.证明思想借鉴了文[2].对B0且u00的情况,可参见文[17].

令x0,考虑球B(x0,2R1),这里假设R1充分小,使得

下面分别估计(2.6)式两侧的积分.由条件(1.4)和(1.7),

由条件(1.8)和Young不等式,有

联合(2.6),(2.7),(2.9),(2.10)和(2.11),可得

注由引理2.1的证明易知,假设条件u01,∞(Ω)可以减弱为

下面的结论取自文[18],是证明定理1.2的基础.

这里α3(0,1),c1,c2,c3为仅与p∗,n,Ci(i1,2,3),˜γ有关的正常数.

引理2.3若u为椭圆问题(1.2)-(1.3)满足条件(1.4)-(1.10)的弱解,v是(2.19)的弱解,则存在仅依赖于n,p-,p+,αi(i1,2,3),σ0的正常数β,使得

其中C与n,p-,p+,αi(i1,2,3),Ci(i1,2,···,5)有关.

证若u为椭圆问题(1.2)-(1.3)满足条件(1.4)-(1.10)的弱解,v是(2.19)的弱解,在弱解的定义中取试验函数φu −v,有

估计I1.由(1.5),结合使用带τ的Young不等式和(2.22),我们有

于是由覆盖迭代讨论(见文[19]引理3.2),对每个(0,n),存在正常数Rλ,C>0使得对所有0<ρ ≤Rλ,有

3.定理1.1的证明

定理1.1的证明令2ρ

根据引理2.3,(3.1)和引理2.4可得