关于树指标马氏双链随机矩阵的一个强偏差定理

金少华 ,田雪然 ,王丽君

(1.河北工业大学理学院,天津 300401;2.保定学院数据科学与软件工程学院,河北 保定 071000)

1.引言

树指标随机过程已成为近年来发展起来的概率论的研究方向之一.强偏差定理一直是国际概率论界研究的中心课题之一.文[1]研究给出了关于树指标非齐次马氏链的广义熵遍历定理.文[2]首先引入渐近对数似然比作为二叉树上任意随机场与分叉马尔科夫链偏差的度量.然后,通过构造一个非负鞅,建立了二叉树指标分支Markov链随机场的一类强偏差定理.作为推论,得到了二叉树指标分叉马尔科夫链的强大数定律和渐近均分性.文[3]研究给出了非齐次树上马氏双链的一个强极限定理.文[4]给出了连续状态非齐次马尔科夫链滑动平均的强大数定律.文[5]研究了随机环境下具有一致有界度的树上随机场泛函的一类小偏差定理.文[6]给出了关于树指标非齐次马氏链的一个强偏差定理.本文通过引入非齐次树指标马氏双链样本相对熵率的概念和构造非负鞅,研究给出了关于非齐次树指标马氏双链的一个强偏差定理.

2.基本概念

设{Nn,n ≥1}是一列正整数集,T是一个具有根顶点O的无限树,如果T的第n(n ≥0)层上的每个顶点均与第n+1层上的Nn+1个顶点相邻,则称T为广义Bethe树或广义Cayley树.特别地,若对非负整数集N,用模m的同余关系对其分类得到模m的剩余类

定义2.1设I1{0,1,2,···,N}和I2{0,1,2,···,M}为两个有限集,{Xτ,为定义在概率空间{Ω,F,P}上取值于I1的随机变量族,{p(x),1}是{Xτ,的概率分布.{Yτ,是定义在概率空间{Ω,F,P}上并取值于I2的马氏链,其转移概率分布列为{ln(y1,y2),y1,y22}.若{Xτ,和{Yτ,满足

则{Yτ,为马氏环境,{Xτ,是马氏环境{Yτ,中的马氏链,此时称{(Xτ,Yτ),为马氏双链,其随机矩阵列为

设G是{Ω,F}上的另一概率测度,{(Xτ,Yτ),在概率测度G下的联合分布为

称r(ω)为概率测度P相对于概率测度G的样本相对熵率.

定义2.2对于一组定义在上且取值于非负区间[0,b](b>0)的实值函数列{fn(Xξ0,Xξ1,···,Xξn)},令

则称{Zn,n ≥0}为广义赌博系统.(传统的赌博系统取值于两点集{0,1}).

3.关于树指标马氏双链的一个强偏差定理

引理3.1设{(Xτ,Yτ),为如前定义的树T上的马氏双链,{fk(x,θ,y,β)}是定义在I1×I2×I1×I2上的四元实值函数列,{Zn,n ≥0}如前定义,λ>0为一常数,令

证由(2.5)式,有

又由(3.1)式、(3.2)式、(3.3)式和(3.4)式,有

由(3.6)式与(3.7)式,有

定理3.1设{(Xτ,Yτ),为如前定义的非齐次树T上的马氏双链,{fk(x,θ,y,β)}是定义在I1×I2×I1×I2上的四元实值函数列,{Zn,n ≥0}与r(ω)均如前定义,设c ≥0为一常数,α>0为一常数,且

当−α<−t

因P(A∗)1,故(3.10)式在c0时也成立.

故由(3.21)式和(3.22)式知(3.11)式成立.从而定理3.1成立.