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可测函数序列的三种收敛及之间的关系

2014-04-29张勋尘强国艳

数学学习与研究 2014年19期
关键词:实值测度强国

张勋尘 强国艳

一、可测函数列的三种收敛定义

设(Ω,μ,E)为一测度空间,{fn}n≥1,f均为实值函数.

(1)如果存在一零测集N,使得ω∈Nc有limn→∞fn(ω)=f(ω),则称{fn}几乎处处收敛于f(或a.e.收敛于f),记为limn→∞fn=fa.e.,或fna.e.f.

(2)如果对任给的ε>0,存在N∈E,μ(N)<ε,使得{fn}在Nc上一致收敛于f,则称{fn}几乎一致收敛于f,并记为limn→∞fn=fa.un.,或fna.un.f.

(3)如果对任给的ε>0,limn→∞μ([fn-f>ε])=0,则称{fn}依测度收敛于f,并记为fnμf.

二、三种收敛之间的关系

如图所示:

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