带有分数阶耗散项的Magneto-Micropolar方程组的整体适定性
2023-02-19石婷张辉
石婷,张辉
(安庆师范大学数理学院,安徽 安庆 246133)
1.引言及主要结果
其中u(u1,u2,u3)表示流体的速度,ω(ω1,ω2,ω3)是微旋转速度场,b(b1,b2,,b3)是磁场,p(t,x)R表示流体的压力,µ,κ,σ,χ,ν是各种粘性系数,(u0,ω0,b0)是给定的初始值,且在分布意义下满足∇·u0∇·b00.
分数阶拉普拉斯算子Λ可以通过傅里叶变换定义,即
磁场微极流方程组已经被许多学者所研究,ZHANG,YAO与WANG[1]建立了Triebel-Lizorkin空间中三维磁场微极流方程组的正则性准则.Gala[2]建立了Morrey-Campanto空间中在三维情况下不可压磁场微极流方程组的正则性准则.YUAN[3]研究了三维不可压磁场微极流方程组弱解的正则性准则和光滑解的爆破准则.LIU,SUN和MENG[4]证明了在三维情形下带阻尼的磁场微极流方程组的整体适定性.
磁场微极流方程组是不可压缩流体力学方程组中一个相当完整的系统.在一定条件下,可以退化成一些经典的方程组.如NS方程组(ωb0;χ0),MHD方程组(ω0;χ0)和微极流方程组(b0).由于上述流体模型在数学和物理上有很重要的应用,数学研究者关于上述流体模型产生了浓厚的兴趣,其整体适定性问题受到了广泛的关注.对于MHD方程组的一些结果可参考文[5-9],微极流方程组的一些结果可参考文[10-14].对于二维情形下的磁场微极流方程组(1.1)其适定性问题已经得到了广泛的研究,如Yamazaki[15]利用方程组的特殊结构和Littlewood-Paley分解技术,成功得到了方程组解的整体正则性(σ0).SHANG和WU[16]研究了不同耗散情况下的二维广义不可压磁场微极流体方程组的整体正则性.
本文考虑三维情形下带有分数阶耗散项的广义磁场微极流方程组解的的整体适定性问题.最近,文[17]建立了当
时解的整体适定性.
受到上述研究的启发,本文通过对方程组的结构进行细致分析并结合能量方法建立了如下的结论：
5) 加强控制系统的密码管理，对操作系统、应用软件、控制设备等密码制订定期更改计划。加强口令强度，密码要求设置口令长度至少8位，由非纯数字或字母组成。
定理1.1假设(u0(x),ω0(x),b0(x))3(R3)且∇·u0∇·b00,则对带有分数阶耗散项的磁场微极流方程组
若α ≥则对任意的T>0,有(u,ω,b)(0,T;H3(R3))是方程组(1.3)唯一的整体解.
注1.1相对于文[17],本文的微旋度场和磁场没有耗散项,得到的结果可以看成是文[17]关于分数阶磁场微极流方程解的适定性结论的一个补充,即使对于分数阶微极流方程组(b0),定理1.1也是一个新的结果.
注1.2为了使计算简便,本文假设方程组(1.3)中的粘性系数µχ;κ1,函数的Lp-范数用∥·∥Lp表示,Hs-范数用∥·∥Hs表示.
2.定理1.1的证明
为了获得更高的能量估计,需要如下的交换子估计[18]:
引理2.1令s>0,1 其中q1,p2(1,∞)和p1,q2[1,∞]且满足 定理1.1的证明证明分成三步,第一步是对(u,ω,b)做H1估计;第二步是对(u,ω,b)做H2估计;第三步是对(u,ω,b)做H3估计.为了简便,令α 第一步：为了获得H1-估计,首先做L2估计,将方程组(1.3)的第一个方程乘上u,第二个方程乘上ω,第三个方程乘上b,在R3上积分,并结合分部积分方法,有 其次,对(u,ω,b)做H1-估计,将方程组(1.3)的第一个方程乘上∆u,第二个方程乘上∆ω,第三个方程乘上∆b,在R3上积分,并通过分部积分得到 下面利用∇·u0,并结合Hölder不等式,Gagliardo-Nirenberg不等式,Young不等式等对(2.6)式右边分别进行逐项估计 联立上面所有的结果代入(2.6),有 第二步:H2-估计,用算子∆作用于方程组(1.3)的前三个方程,然后将方程组(1.3)的第一个方程乘上∆u,第二个方程乘上∆ω,第三个方程乘上∆b,在R3上积分,并通过分部积分有 利用引理2.1,并结合Hölder不等式,Gagliardo-Nirenberg不等式,Young不等式等对(2.12)式右边分别进行逐项估计 综合上面的各项估计,代入(2.12)可得 第三步:H3-估计,用算子∇∆作用到方程组(1.3)的前三个方程,然后将方程组(1.3)的第一个方程乘上∇∆u,第二个方程乘上∇∆ω,第三个方程乘上∇∆b,在R3上积分,并通过分部积分得到 注意到∇·u0,利用引理2.1,并结合Hölder不等式,Gagliardo-Nirenberg不等式,Young不等式等对(2.20)式右边分别进行逐项估计 将上述不等式(2.21)-(2.25)都加到一起,代入(2.20)有 综合估计式(2.5)、(2.11)、(2.19)和(2.26),可得到 由经典的对数型Sobolev不等式[19]有 代入(2.27)可得到 由Gronwall不等式和基本能量估计(2.5),有 从而完成了定理1.1的证明.
