基于“一题一课” 探析习题生长——以一道九年级习题教学探究为例

许科挺， 毛孟杰

(海曙区集士港镇中心初级中学，浙江 宁波 315171)

众所周知，数学复习课具有数学知识系统化、基本技能熟练化、数学思想方法外显化等功能．浙教版《数学》教材中的复习课大多以“小结”和“目标与评定”的形式来呈现，其中“小结”主要罗列本章需要理解、掌握的基本知识与基本技能，“目标与评定”是以习题的形式来评估学生对基础知识和基本技能的掌握程度，以及学生综合运用知识解决实际问题的能力情况．事实上，复习课还可以用另一种课的形式——“一题一课”来演绎．“一题一课”就是教师通过对一道题或一个材料的深入研究，挖掘其内在的学习线索与数学本质，基于学情，合理、有序地组织学生进行相关的数学探究活动，以达成多维目标的教学过程[1]．

由此可见，“一题一课”是一个由“题”化“课”、对教材素材进行“二次开发”的过程．这个过程需要教师找出适当的材料或题目，通过改编、组合、加工和延拓，设计出一个彼此相关的“习题链”，从而达成学生数学知识系统化、基本技能熟练化、思想方法外显化和综合运用知识解决实际问题的能力等多维目标．因此，“一题一课”的目标能否有效达成，很大程度上取决于“习题链”的设计是否具有针对性．本文以一道二次函数的习题为母题，通过全方位、多层次的思考与探究，设计出一个可生长的、涵盖初中数学主要知识点的习题链．

1 母题呈现

例1如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C(0，3)，顶点为D(1，4)，求抛物线的解析式及点A,B的坐标．

图1

(答案:y=-x2+2x+3,点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(3，0).)

功能分析母题是由浙教版义务教育教科书《数学)九年级上册第一章第3节“二次函数的图像”的一道课后作业题改编而成．本题的价值主要体现在以下两点：

1)从代数角度来说，要确定抛物线的解析式y=ax2+bx+c，应由3个条件确定，如抛物线经过3个点，或抛物线经过2个点和它的对称轴，或抛物线经过顶点和另一点.因此，由“抛物线经过顶点和y轴上的一点，求其解析式”的问题是一道常规题.解决这类问题的方法有一般式、分解式和顶点式3种.根据题目给出的条件，显然用一般式和顶点式较为合适，采用待定系数法列方程(组)来解决．因此，母题不仅能巩固学生的基础知识、基本技能和数学思想方法，还有利于培养学生的解决问题方法的选择意识，从而提高学生解决问题的能力．

2)从几何角度来说，题目中“抛物线与坐标轴的交点和它的顶点”的4个点构成四边形，坐标原点O与点C,A构成直角三角形，坐标原点O与点C,B构成等腰直角三角形，抛物线的顶点D与点A,B构成等腰三角形，整条抛物线是以“抛物线对称轴”为对称轴的轴对称图形．若让点或线段分别在抛物线上或抛物线的对称轴上运动，再结合相关的一些点和线段，就出现一系列有关长度、位置、相似、特殊图形存在性等问题．这就有利于教师在设计习题过程中，把初中数学中的“代数与几何”两个重要领域有机融合起来，从而达到“一题贯通一片”的目的．

2 习题生长

生长1周长与面积问题.

例2如图2，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C(0，3)，顶点为D(1，4).联结AC，CD，BD．

图2

1)求四边形ABDC的周长;

2)求四边形ABDC的面积.

设计意图我们知道，长度、角度和面积等是平面几何重要的研究对象．从求点的坐标深入到求图形的周长和面积，是母题不断深化的过程．学生在求四边形ABDC的周长时，应先通过勾股定理求出线段AC,CD和BD的长度，体现“数形结合”思想；在求四边形ABDC的面积时，需要把一般四边形进行分割，化成熟悉的直角三角形和直角梯形来解决，这较好地体现了数学中的“化归”思想．而数学思想实质上就是数学的“本质”与“精神”．

生长2函数与角度问题.

例3如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A,B，与y轴交于点C(0，3)，顶点为D(1，4).联结BD，在BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH⊥x轴于点H，PH交BD于点Q，联结PB,PD,BC.设点P的横坐标为t，PQ的长度为s．

图3 图4

1)求s关于t的函数解析式;

2)当PD∥BC时，求s的值以及∠PBH的正切值．

1)解如图4，过点D作DE⊥x轴于点E，则

即

则

QH=6-2t，

从而

PQ=PH-QH=-t2+2t+3-(6-2t)

=-t2+4t-3,

于是

s=-t2+4t-3(其中1

2)欲求s的值，先求t的值．

方法1如图4，设DE与BC交于点M，PH与BC交于点N.由∠BOC=90°，OC=OB=3,知Rt△MEB和Rt△NHB都是等腰直角三角形，则

ME=EB=3-1=2,

NH=BH=3-t,

从而

DM=DE-ME=4-2=2,

PN=PH-NH=-t2+2t+3-(3-t)=-t2+3t.

由PD∥BC,PN∥DM,得四边形DMNP是平行四边形，则

DM=PN，

即

-t2+3t=2，

解得t=1(舍去)或t=2．下略.

方法2由PD∥BC得直线DP的斜率和直线BC的斜率相等，即

解得t=1(舍去)或t=2．

当t=2时，

s=-t2+4t-3=-22+4×2-3=1,

PH=-t2+2t+3=-22+2×2+3=3,

BH=3-t=3-2=1,

故

设计意图由BD上方的抛物线上的动点P，引起PQ,PN,QN和NH等线段长度的变化，从而使图形由封闭走向开放、从静态走向动态．在两个变化数量之间探索彼此相互依存的关系，这就是数学中重要的函数思想．在探究s与t的函数解析式的过程中，用到锐角三角函数或相似三角形性质；在探求“当PD∥BC时，求s的值以及∠PBH的正切值”的问题中，用到了等腰直角三角形、平行四边形和直线斜率等性质．学生在用图形的性质来简化数学运算的过程中，有利于提升自身的逻辑推理能力和数学运算能力．

生长3全等与相似问题.

例4如图5，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C(0，3)，顶点为D(1，4).设M是抛物线上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，联结AC与MB,若△MNB∽△AOC，求点M的坐标.

图5 图6

解由△MNB∽△AOC且∠MNB=∠AOC=90°,得

这样的点M有4处M1,M2,M3，M4，如图6所示.设点M的横坐标为t,则点M的纵坐标为-t2+2t+3.

1)对于点M1,有

M1N1=3BN1，

即

-t2+2t+3=3(3-t)，

解得t=2或t=3(舍去).由

-t2+2t+3=-22+2×2+3=3，

知点M1的坐标为(2，3).

2)对于点M2,有

M2N2=3BN2，

即

-(-t2+2t+3)=3(3-t)，

解得t=-4或t=3(舍去).由

-t2+2t+3=-(-4)2+2×(-4)+3=-21，

知点M2的坐标为(-4，-21)．

3)对于点M3,有

BN3=3M3N3，

即

3-t=3(-t2+2t+3)，

4)对于点M4,有

BN4=3M4N4，

即

3-t=-3(-t2+2t+3)，

评注当点M的坐标为(2，3)时，△MNB≌△AOC．

设计意图三角形相似是平面几何中一种只要求保角的图形变换，而三角形全等可看做相似比为1的相似变换，它是一种要求既保角又保距的图形变换，因此全等与相似是几何中重要的图形变换．在探求符合“与已有的Rt△AOC相似的△MNB”的点M坐标中，由于涉及两个相似三角形直角边不同的对应关系和直角边MN的不同表示方法，学生在解题中需要用到“分类讨论”思想．“分类讨论”思想不仅是数学的本质，更是学生逻辑推理素养的一种具体表现．

生长4最值与定值问题.

例5如图7，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A,B，与y轴交于点C(0，3)，顶点为D(1，4)，P是抛物线对称轴m上的一个动点，线段PQ=1(点Q在点P的下方).分别联结CP和AQ,求CP+AQ的最小值．

图7 图8

解如图8，过点Q作QE∥PC交y轴于点E，则

CP=EQ，CE=PQ=1．

联结线段BE交直线m于点G，由于点A,B关于直线m对称，从而

AQ=BQ,

于是

CP+AQ=EQ+BQ.

欲求CP+AQ的最小值，只需求EQ+BQ的最小值．根据“两点之间，线段最短”得:当点Q与点G重合时，EQ+BQ的值最小，最小值为线段BE的长度．由点C的坐标为(0，3)，CE=1，得点E的坐标为(0，2),从而

图9

证明设点M(x1,y1),点N(x2,y2),经过点M，N的直线解析式为

代入y=-x2+2x+3，整理得

由韦达定理,得

则

所以

生长5图形与存在问题.

例6如图10，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A,B，与y轴交于点C(0,3)，顶点为D(1,4)，问：在抛物线对称轴m上是否存在一点P，使△PBD是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

图10 图11

2)若BD=BP,则点P,D关于x轴对称，故t=-4；

3)若PD=PB，则

(4-t)2=(0-t)2+(3-1)2,

引申1把例6中的点P改为在y轴上，把“△PBD是等腰三角形”改成“△PBD是直角三角形”，其他条件不变，问：这样的点P是否存在？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明．

(答案：如图12，点P的坐标为(0，3.5)或(0，-1.5)或(0，1)或(0，3)，使得△PBD是直角三角形.)

图12 图13

引申2在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C(0,3)，顶点为D(1,4)，问:在平面上是否存在一点P,使得以P,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(答案:如图13，点P的坐标为(2，-1)或(4，1)或(-2，7)，使得以P,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形.)

设计意图学生探究特定图形是否存在的问题，属于探究性问题．它需要一定的构造方法，通过该类问题的解决能有效地发展学生的创新意识．例6和它的两个引申分别把所求的点放在抛物线的对称轴、y轴和平面上，探究等腰三角形、直角三角形和平行四边形是否存在的问题．学生解决这些题除了要用到等腰三角形、直角三角形和平行四边形知识外，还需要用到圆和线段中垂线的知识，更需要具备分类讨论思想和几何直觉能力．

3 3点思考

笔者认为，教师要进行“一题一课”的习题设计，需要注意以下3个方面．

3.1 注重素材收集，思辨母题功能

作为生长为“习题链”的母题，它的素材主要源自教材中的典型例题、习题、中考题或学生熟悉的学习与生活背景．这些素材由于较为经典或者广为学生熟知，素材也较为贴近学生现有的数学知识结构、学习经验和思维方式，因此它比较容易激发学生的兴趣，使学生进入积极参与探究活动的心理状态．

由收集得到的素材改编成为的母题，它应该具有习题的基本功能，比如母题既能有效考查学生的基础知识、基本技能和数学思想方法，又能提升学生解决问题的应用意识；它还应该具有潜在的生长功能，比如，母题由于具有良好的结构，因此可以适当改变它的条件，去探索结论的变化，或者给定一些特定的结论，去探索使结论成立的条件，或者它与数学其他领域相结合，在更大的空间中探求问题的变化等．

3.2 研究习题生长，关注题间衔接

我们认为，在将母题设计出一个习题系列时，一般有以下3种方法：1)从简单到复杂.当母题具有可以深化探究的可能时，设计习题可以从“简单到复杂”．例如，例2是从母题结论中“抛物线与x轴的交点坐标”出发，与已知条件中的两点结合，设计出“探求四边形的周长与面积”的问题.2)从静态到动态.当母题条件处于封闭、静止状态时，设计习题可以“从静态到动态”．例如，母题中的抛物线、对称轴、顶点、抛物线与坐标轴的交点等都是静态的、确定的，我们在抛物线上设置动点和在对称轴上设置动线段，就出现了相应线段长度的变化，从而为探求变量之间的函数关系和相关量的最值问题提供了可能.3)从单一到多维.当母题条件较为单一时，设计习题可以“从单一到多维”．例如，母题中的条件仅有抛物线的顶点和其他4个定点，我们可以分别加上“平行”“相似”“等腰三角形”“直角三角形”和“平行四边形”等元素，使习题变得更有韵味．

设计好一系列习题后，接下去应关注习题之间的衔接，使之成为层次分明的“习题链”．习题之间的衔接，主要是数学知识间的衔接、数学思想方法间的衔接和思维层次上的衔接．

3.3 彰显数学精神，提升数学素养

习题链设计要有针对性，有利于“一题一课”教学多维目标的达成.首先，每一道习题要有主干知识的考查，促使学生形成较为完备的数学知识体系；其次，习题要有重要数学思想的渗透，从而彰显数学精神；最后，习题更要有对学生核心数学素养的培养，尤其要突出对学生的逻辑推理、数学运算、几何直观等方面素养的提升[2]．