非线性项受导数影响的非局部二阶问题正解

宋春蕾,陈伟,张国伟

(东北大学数学系,辽宁 沈阳 110819)

1.引言

本文研究下面二阶边值问题的正解,其边值条件含有Stieltjes积分:

文[1]讨论了边值问题(1.1)正解的存在性,其中要求非线性项关于u,u′满足线性增长条件和与相应线性算子有关的谱半径条件.文[2]用类似的方法研究了如下更具一般性的二阶边值问题正解存在性:

其中a,b,c和d是非负常数,满足ρ=ac+ad+bc >0,是由有界变差函数B(t)给出的Stieltjes积分,但是文[1]和文[2]中定理的条件互不包含.最近,Webb在文[3]中利用文[4]证明的一个Gronwall型不等式,处理了(1.2)的非线性项中导数具有二次增长但函数没有增长限制的二阶非局部边值问题,这种新型的Gronwall不等式可以替代通常使用的Nagumo条件来得到关于导数的先验估计,但是要求A(t)和B(t)是单调增加的,即Stieltjes积分具有正测度.LI在文[5]中针对非线性函数具有二次增长的二阶局部边值问题给出了正解存在的条件.与本文相关的工作也可见文[6-7].

在前述工作的基础上,本文采用文[3]中的方法,讨论边值问题(1.1)正解的存在性,其导数项u′为二阶增长而对于函数项u没有增长条件的约束,特别地,不需要有界变差函数A(t)单调的条件,即Stieltjes积分可以具有变号测度.最后通过例子表明,文[1]中的结论对本文所研究的问题不适用.

我们需要如下的引理,可见文[8–11].

2.正解的存在性

本文作如下假设:

引理2.1[1]如果(C2)和(C3)满足,则存在非负连续函数Φ0(s),使得对于t,s ∈[0,1],

用C1[0,1]表示在[0,1]上具有连续导数的全体函数,在范数‖u‖C1=max{‖u‖C,‖u′‖C}下构成Banach空间.如果(C1)-(C3)满足,在C1[0,1]空间中定义算子S如下:

在C1[0,1]中定义锥

引理2.2[1]如果(C1)-(C3)满足,那么S:K →K是全连续算子,并且边值问题(1.1)的正解等价于S在K中的不动点.

引理2.3设(C1)-(C3)满足,存在正常数p0,p3以及函数p1,,使得当(t,x,y)∈时,

显然m

定理2.1设(C1)-(C3)满足,f满足增长条件(2.5).如果下面的条件(F1)成立,则边值问题(1.1)存在正解u ∈K,其中Q由(2.6)给出.

证 设(F1)满足.定义相对于K的有界开集

Ur1相对于K的边界∂KUr1⊂Ur1,0∪Ur1,1,其中

下面将证明Su/=λu,∀u ∈∂KUr1,λ ≥1.否则,存在u ∈∂KUr1和λ ≥1,使得λu(t)=(Su)(t).

于是根据引理2.3,‖u′‖C ≤Q(r1),从而u/∈Ur1,1.根据引理2.1和(2.7),当u ∈Ur1,0时,

在[0,1]上取最大值,可得矛盾λr1

根据引理1.1,不动点指数i(S,Ur1,K)=1.

定义相对于K的开集

令v0(t)≡1,注意到v0∈K.断言u/=Su+σv0,∀u ∈∂KVr2,σ ≥0.如果断言不成立,存在u ∈∂KVr2和σ ≥0,使得u=Su+σv0.于是根据引理2.3,‖u′‖C ≤Q(r2),从而u/∈Vr2,1.当u ∈Vr2,0时,根据(2.4)可得

于是r2a ≤u(t)≤r2,∀t ∈[a,b].故从引理2.1和(2.8)可知,

关于t ∈[a,b]取最小值,有矛盾r2a>r2a+σ.

根据引理1.2,不动点指数i(S,Vr2,K)=0.

根据不动点指数的可加性,中存在不动点,显然它是非平凡的,是边值问题(1.1)的正解.

定理2.2设(C1)-(C3)满足,f满足增长条件(2.5).如果下面的条件(F2)成立,则边值问题(1.1)存在正解u ∈K,其中Q由(2.6)给出.

(F2) 存在0

对(t,x,y)∈[a,b]×[r1a,r1]×[0,Q(r1)],

证设(F2)满足.由于Mr1

Ur2相对于K的边界∂KUr2⊂Ur2,0∪Ur2,1,其中

下面将证明Su/=λu,∀u ∈∂KUr2,λ ≥1.否则,存在u ∈∂KUr2和λ ≥1,使得λu(t)=(Su)(t).于是根据引理2.3,‖u′‖C ≤Q(r2),从而.根据引理2.1和(2.9),当时,

在[0,1]上取最大值,可得矛盾λr2

根据引理1.1,不动点指数i(S,Ur2,K)=1.

定义相对于K的开集

令v0(t)≡1,注意到v0∈K.断言u/=Su+σv0,∀u ∈∂KVr1,σ ≥0.如果断言不成立,存在u ∈∂KVr1和σ ≥0,使得u=Su+σv0.于是根据引理2.3,‖u′‖C ≤Q(r1),从而.当时,仍有(2.11)成立,于是r1a ≤u(t)≤r1,∀t ∈[a,b].故从引理2.1和(2.10)可知,

关于t ∈[a,b]取最小值,有矛盾r1a>r1a+σ.

根据引理1.2,不动点指数i(S,Vr1,K)=0.

根据不动点指数的可加性,中存在不动点,显然它是非平凡的,是边值问题(1.1)的正解.

3.几个例子

考察具有变号系数四点边值条件的二阶问题

再考察具有变号核积分边值条件的二阶问题

例3.1如果f(t,x,y)=20(x2+ty2),则边值问题(3.1)和(3.2)存在正解.

证显然(C1)满足.取p0=0.01,p1(t)≡20,p2(t)≡0,p3=20,g(x)=x2,于是当(t,x,y)∈时,f(t,x,y)≤p0+p1(t)g(x)+p2(t)y+p3y2,即f满足增长条件(2.5).令a=1/4,b=3/4,再取r1=0.01,r2=4,故r1

对于边值问题(3.1),m=160/83,M=80/21,于是当(t,x,y)∈[0,1]×[0,r1]×[0,Q(r1)]时,

当(t,x,y)∈[a,b]×[r2a,r2]×[0,Q(r2)]时,

对于边值问题(3.2),m=(1/2+1/π2)−1,M=(1/4+1/(2π2))−1,于是当(t,x,y)∈[0,1]×[0,r1]×[0,Q(r1)]时,

当(t,x,y)∈[a,b]×[r2a,r2]×[0,Q(r2)]时,

于是根据定理2.1,边值问题(3.1)和(3.2)存在正解.

于是根据定理2.2,边值问题(3.1)和(3.2)存在正解.

注对于例3.2中的非线性函数f,如果t=1,x=0,y →∞,那么f(t,x,y)≤a0x+a1y+C0不满足;如果x →0+,y=0,那么f(t,x,y)≤b0x+b1y不满足,其中ai,bi(i=0,1)和C0是正常数.因此文[1-2]中定理的条件不满足.