基于马尔科夫链对广州市各区的房价分析和预测

胡冰冰 刘卫国 广东财经大学统计与数学学院

引言

我国房地产市场交易金额数量庞大，对我国的宏观经济有重要意义，然而商品房价格一直居高不下，尤其是在一线大城市，对于在一线大城市打拼的“打工人”而言购房形势困难，各大城市想要留下人才也不可避免地要考虑住宅商品房的价格问题，严峻的房价压力同样也影响了年轻人的结婚生育计划，城市房价问题与社会民生问题紧密相关，房价问题一直以来备受关注，城市房价未来走势的预测对政府和社会都具有重要意义。

对于城市房价增长趋势的预测，有多位学者用不同的方法进行研究分析。武秀丽等[1]通过时间序列法预测房价；谷秀娟等[2]，胡振寰等[3]通过把商品房价格分为几个状态来根据马尔科夫链预测房价状态；侯普光等[4]把小波分析理论与时间序列ARMA模型结合来做房价预测；李圆圆[5]通过灰色关联度分析选取合适的房价影响因素，通过构建BP神经网络模型来做预测，并得到较高的拟合优度。

随着时间的推移，针对房价问题政府也出台了一系列政策去做调控，2019年8月央行提出完善贷款市场报价利率形成机制，将住房贷款利率与LPR挂钩，所以针对2019年8月之后的房价的波动进行时间序列分析，以马尔科夫理论为基础，构建马尔科夫转移矩阵可以更好地对房价未来状态做出预测，为房地产投资决策提供一定的理论借鉴，对宏观经济和社会民生问题的解决都有很好的辅助作用。

一、理论与方法

（一）贷款基础利率

贷款基础利率简称LPR，由我国境内最主要的18家银行每个月的最优质客户贷款利率的平均值，分为一年期与五年期以上两种，从2019年8月起，央行发布公告将个人住房贷款利率以最近一个月相应期限的贷款市场报价利率为定价基准加点形成，即浮动利率。由于我国经济的增长速度比较快，所以当前的利率水平较高，选择与LPR挂钩的浮动利率更有利于购房者，随着政策的提出，越来越多人选择LPR去替代以前4.9%的房贷基础年利率。

（二）马尔科夫法[6]

1.马尔科夫链定义

有一类随机过程具备“无后效性”，即要确定过程将来的状态，知道它此时的情况就足够了，不需要认识它以前的状况，这类过程称为马尔科夫过程。马尔科夫法把时间序列看做是随机过程，主要通过研究事物在不同初始状态下的状态之间转换的概率，从而判断该事物状态变化的情况，作出预测和判断。

2.状态转移概率矩阵

3.n步转移概率

根据马尔科夫过程的无后效性及Bayes条件概率公式有：

三、马尔科夫链在广州市天河区、白云区、从化区房价预测的应用分析

（一）数据的平稳性检验

分别选取2019年8月至2022年8月广州市天河区、白云区、从化区商品房价格的月度数据，通过构建马尔科夫预测模型，预测未来几个月的商品房价格的状态转移变化。文中数据来自安居客网站。

由于大多数的时间序列是不平稳的，如果直接进行分析，会有很大误差，因此在建立预测模型前，需要对数据进行预处理，即检验序列是否具有平稳性和纯随机性。序列的平稳性是指当序列的统计性质不随着时间而改变[7]。

序列的平稳性检验包括根据时序图和自相关图作出判断。通过R软件，画出广州市天河区、白云区、从化区房价数据的时序图和自相关系数图，如图1所示。可以根据图1看到天河区前期整体呈现增长趋势，2020年11月起商品房价格波动较大，从整体来看，该序列不在一个常数值附近波动，可以认为该序列不具有平稳性；白云区呈现先下降后增长的趋势，也不平稳；从化区整体上是呈现下降趋势，说明这几个区的房价序列都是非平稳序列。

图1 2019.8-2022.8年广州市天河区（左）、白云区（中）、从化区（右）商品房价格时序图

虽然一些时序图可以判断序列是否平稳，但为严谨还可采用单位根ADF检验来检验结果的真实可靠性。通过单位根ADF检验，天河区的P值为0.683，白云区P值为0.586，从化区P值为0.0769，三个区房价序列的P值大于显著性水平0.05，拒绝序列所有特征根在单位圆内的原假设，即可认为序列是非平稳序列。

（二）差分平稳

通过差分运算提取序列中蕴含的确定性信息，通过对原序列进行一阶差分，如图2所示，可以看出一阶差分后序列更平稳，再通过单位根ADF检验，检验得P值均为0.01，小于0.05，不拒绝序列所有特征根在单位圆内的原假设，即差分后的序列为平稳序列。因此，把一阶差分数据即数据的变化作为马尔科夫状态。

图2 2019.8-2022.8年广州市天河区（左）、白云区（中）、从化区（右）商品房价格一阶差分后时序图

（三）房价变化状态划分

在应用马尔科夫链前，需要对事物的状态进行分类，如果该事物没有明确的状态类别，则需要根据一定的规则进行状态分类。由于以前的房贷基准利率不够市场化，因此从2019年8月开始，央行推行利率市场化改革，采用房贷与LPR挂钩的政策。鉴于住房贷款一般年限较长，使用LPR五年期以上利率作为划分标准，2019年8月至2022年8月LPR的变化如图5所示，取三年的平均值为4.65%，月利率为0.39%。我国央行存款的基准利率时间最久为三年期利率2.75%，月利率为0.229%。

图3 2019.8-2022.8年LPR走势图

因此，根据央行存款利率与LPR利率将广州市商品房价格月度变化分类4个状态，为上升且高于LPR月利率，上升但不高于LPR月利率，平稳，下降，分别记为1，2，3，4。即月度价格变化高于0.39%的作为上升且高于LPR月利率的状态1，将月度价格变化幅度在0.229%至0.39%之间的作为上升但不高于LPR月利率的状态2，变化幅度在-0.229%至0.229%之间的作为平稳状态3，变化幅度低于-0.229%的作为下降状态4。

因此，2019年8月至2022年8月广州市天河区月度状态数据为：

2019年8月至2022年8月广州市白云区月度状态数据为：

1，3，3，4，3，4，3，1，4，4，1，4，1，3，4，4，4，3，4，4，1，4，3，1，2，4，4，4，1，4，3，1，3，1，1，1

2019年8月至2022年8月广州市从化区月度状态数据为：

1，1，4，3，3，4，3，4，3，3，3，3，2，3，1，4，3，3，1，4，4，4，3，2，4，4，3，4，3，4，1，1，4，1，3，4

（四）基于马尔科夫模型预测广州市天河区、白云区、从化区房价状态

由上述的转移概率可以得到天河区一步转移概率矩阵：

由于2022年8月天河区房价为状态4，因此将2022年8月的房价状态记为π=（0）=[0，0，0，1]，根据公式3可得2022年8月的房价状态概率：

所以2022年9月天河区房价可以根据一步转移概率矩阵进行预测，房价为上升且高于LPR月利率的概率为0.2000，房价上升但是不高于LPR月利率的概率为0，房价保持平稳状态的概率为0.4000，房价下跌的概率为0.4000。因此可以看到9月广州市天河区房价保持平稳和下降的可能性更大。

根据公式4，同样可以预测未来几个月的房价状态，如表1所示：

董仲舒认为，人主的政事活动，必须要依照阴阳、四时、五行的更替运行来安排和处理。天道决定人事，人事反过来也会对天发生影响，正是由于对这种互动关系的确认，董氏才能在政治文化层面构建灾异谴告论。[25]44-45,56

表1 广州市天河区2022年9月至2022年12月房价状态概率预测值

假设广州市天河区最终的房价状态概率为π=[π1，π2，π3，π4]，由平稳方程和规范性条件可以得到解得π1=0.2524，π2=0.0267，π3=0.4005，π4=0.3204

因此，矩阵经过n次转移后，达到平稳状态，且可以看出π3的概率最高，为0.4005，说明将来广州市天河区的房价处于平稳状态的可能性最大，且高于π1与π2的总和，即未来房价平稳的可能性比房价上涨的转移概率要高。说明对于一直以来政府想要降低房价增速，控制房价的相关政策制度有了一定的可行性。

同理，根据广州市白云区月度状态数据可以得到白云区一步转移概率矩阵：

由于2022年8月白云区房价为状态1，因此将2022年8月的房价状态记为π（0）=[1，0，0，0]，所以2022年9月白云区房价可以根据一步转移概率矩阵进行预测，房价为上升且高于LPR月利率的概率为0.2000，房价上升但是不高于LPR月利率的概率为0.1000，房价保持平稳状态的概率为0.3000，房价下跌的概率为0.4000。因此可以看到9月广州市白云区房价保持下降的可能性更大。

根据公式4，同样可以预测未来几个月的房价状态，如表2所示：

表2 广州市白云区2022年9月至2022年12月房价状态概率预测值

假设广州市白云区最终的房价状态概率为π=[π1，π2，π3，π4]，由平稳方程和规范性条件可以解得π1=0.2857，π2=0.0286，π3=0.2751，π4=0.4286

因此，矩阵经过n次转移后，达到平稳状态，且可以看出π4的概率最高，为0.4283，说明将来广州市白云区的房价处于下降状态的可能性最大，其次π1和π3的概率都低于状态4的概率，但两者相差不大，说明未来白云区房价上涨的可能性与房价平稳状态的可能性相差不大。

同理，根据广州市从化区月度状态数据可以得到从化区一步转移概率矩阵：

由于2022年8月从化区房价为状态3，因此将2022年8月的房价状态记为π=（0）=[0，0，1，0]，所以2022年9月从化区房价可以根据一步转移概率矩阵进行预测，房价为上升且高于LPR月利率的概率为0.1429，房价上升但是不高于LPR月利率的概率为0.1429，房价保持平稳状态的概率为0.3571，房价下跌的概率为0.3571。因此可以看到9月广州市从化区房价保持平稳与下降的可能性相同。

根据公式4，同样可以预测未来几个月的房价状态，如表3所示：

表3 广州市从化区2022年9月至2022年12月房价状态概率预测值

假设广州市从化区最终的房价状态概率为π=[π1，π2，π3，π4]，由平稳方程和规范性条件可以解得π1=0.1670，π2=0.0588，π3=0.4117，π4=0.3625

因此，矩阵经过n次转移后，达到平稳状态，且可以看出的概率最高，为0.4117，说明将来广州市从化区的房价处于平稳状态的可能性最大，且概率略高于下降的可能性。

结语

本文主要对采取LPR后这三年的数据进行分析，以广州市天河区、白云区、从化区为例，首先通过R软件分析原始数据和一阶差分数据的时序图，使用ADF检验进行平稳性分析，再通过马尔科夫链的转移概率矩阵进行预测分析，预测房价未来一段时间内的转移概率。结果显示广州市天河区未来房价处于平稳的概率最大，且高于两种增长状态的概率之和；白云区下降的概率最大，增长与平稳状态的可能性差不多；从化区平稳状态的概率最大。这在一定程度上体现出LPR的提出，一定程度上控制了房价增速快的问题。

文中仅对未来的房价状态进行预测，并没有准确的变化幅度的分析。马尔科夫链的运用需要对数据进行明确的状态划分，而不同的划分依据可能会有不同的转移概率。通过对广州市天河区、白云区、从化区房价分析，表明了达到了稳房价、稳预期的想法，在解决好大城市住房问题上、年轻人购房困难的难题、房地产市场平稳健康发展上有了进步。