“高等数学”课程提升学生审美能力和人文素养实践探索

陈 辉，倪 岚，潘晓丽

（黑龙江科技大学 理学院，黑龙江 哈尔滨 150022）

引言

“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”华罗庚先生的这句话，高度概括了数学的广阔应用。数学作为基础学科，是各个学科发展的根基。从基础研究到科技创新，从信息技术的发展到新型材料的开发，科技发展的每一步都离不开数学的支撑，每一个关键问题的攻克都与数学问题密不可分。高等数学作为各学科的公共基础课，不仅承担着大学生入学后第一门课的重任，还肩负着“培养什么人、怎样培养人、为谁培养人”的重要责任和时代使命。高等数学课程思政建设水平直接关乎一个学校的课程思政建设水平和“双一流”建设的水准。

拓宽高等数学课程思政教学内容，是高等数学课程思政建设的重要任务。在高等数学课堂引入美学理念和人文思想，可以有效丰富高等数学课程思政教学内容［1］。学生在学习高等数学课程的同时，领悟数学美，发现数学美与自然美是密不可分的，增强学生发现美和欣赏美的能力，提升学生的审美能力，提高思想道德修养。在高等数学课堂引入中国诗词，学生在学习数学知识时领略中国诗词的意境，能够缓解学生的学习疲劳，激发学习兴趣，让中国诗词优美的韵律和意境引领学生积极思考，提升学生的人文素养，培养学生的文化自信和家国情怀。

一、用数学的科学美提升学生的数学审美能力

数学美是艺术美和审美的重要依据和尺度。数学美具有独特的特点，主要体现在数学思想严密的逻辑性、数学语言的简洁性和数学独到的思维方法。因此，数学美在结构上，美在语言上，美在方法上。我国著名数学家徐利治说：“作为科学语言的数学，具有一般语言文字与艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构上和方法上都具有其自身的某种美，即所谓数学美。”数学美从“数”和“形”的角度可以分为形态美和理性美，无论是形态美还是理性美，数学美都是和谐的、简洁的和对称的［2］。

1.和谐美是数学美最基本、最普遍的一个特征。数作为数学的基础语言，充满了和谐美。我国研究数的和谐美的历是非常悠久的。相传大禹治水时，在洛水发现了一只神龟，龟背上有一个由圈圈点点组成的图案，这就是有名的洛书。它是由三行三列数组成的一个方阵，我国古代称之为“纵横图”（见图1）。

图1 纵横图

别小看这9个数，它们所体现的和谐性是非常奇妙的。首先，每一行、每一列及两条对角线的三个数相加，和都是15；其次，如果分别沿“、”形路线相加，数字之和都是25。在洛书中，九个数大小、奇偶分布如此匀称，关系如此和谐，是数学宝库中一件难得的珍品。我国历朝历代的学者都对它非常重视，甚至有人认为洛书中包含了强兵富国之道。在现代科学中，已有人将它运用在经济、军事上—─对策论，还有人用它研究自动控制中的网络设计［3］。

著名画家达·芬奇不仅是艺术巨匠，还是数学家、科学家。达·芬奇利用数学、透视学和力学原理研究素描和绘画，并进行艺术创作。《最后的晚餐》就是达·芬奇运用透视学和几何原理创造的巨作，画面层次分明，让观众仿佛身临其境；他利用等角螺线和黄金三角形定律创作了举世闻名的《蒙娜丽莎》；《维特鲁威人》是他运用黄金分割法和几何学进行绘画的典范，画中张开四肢的男子，分别以头、足、手为端点，正好外接于一个圆形。黄金分割法在现实中应用非常广泛，如舞台最具表现力、最和谐的位置在舞台宽度的黄金分割点上；在琴弦的黄金分割点附近伴奏，琴声最为悦耳；长方形的宽是长的0.618倍时，长方形看起来最和谐；一堂课讲授时间是整节课时间的0.618倍时，教学效果为最佳；进行科学试验时采用0.618法，能够有效地减少试验次数。

2.简洁美是数学最独特的美。数学的简洁美蕴含在简洁的数学语言、简洁的思维方式和简洁的外形上。爱因斯坦曾说：“美，本质上终究是简单的。”他认为，只有借助数学才能达到简单的美学准则。数学的简洁美体现在数学语言上，一个数字简单扼要，却含义无穷，例如数字“1+亿”表示100 000 000，“1+万”表示10 000，“1+吨”表示物体的质量，“1+毫升”表示体积，数字加上不同的单位，含义各不相同。一段表述冗长的话，用数学符号或公式表述就很简洁明了。例如圆的周长等于圆周率与直径的乘积，而用数学公式表述就很简单：C=πd。这只是一个最简单的公式，对于更复杂的表述，数学语言更能体现其简洁性，比如反映电磁世界的麦克斯韦方程组表述含义就非常复杂，但是用数学语言表示就是四个方程［4］。数学的简洁美还体现在思维方式上。数学的解题和证明过程都非常简洁，在整个解题或证明过程中要求逻辑严谨，避免繁难，在计算上尽量解得巧妙，在证明上要简洁明了。这培养了学生抽丝剥茧的能力，能够快速准确地找到解决问题的方法，培养学生严谨的逻辑思维能力，同时提升学生快速找到主要矛盾和解决问题的能力。数学的简洁美体现在外形上的同时，更能表现出数学的对称美。

3.对称美在数学中随处可见，图形的对称、变化的周期和结构的匀称等。如代数学上的共轭根式、共轭复数、对称多项式、轮换对称多项式、线性方程组的克莱姆法则、对称矩阵、反对称矩阵、厄米特矩阵、反厄米特矩阵等，几何学上的轴对称、中心对称、平面对称等，数学方法上的同构、同态、映射、反演、互补、互逆、相似、全等等，这些都充分反映了数学的对称美。莫比乌斯环是数学对称美的典型例子，德国数学家莫比乌斯发现，将一个纸条的一端旋转180°与另一端对接，就形成了一个奇妙的环，这个环只有一个面，虽然在每个局部有正反面，但整体上无法分隔正反面，即单侧曲面。这个曲面循环往复、无休无止，无穷符号∞就来源于此，象征着亘古永恒［5］。艺术家和设计师都喜欢将莫比乌斯环运用到自己的艺术创作中，例如，四川省雅安市中国保护大熊猫研究中心的园区设计就来源于莫比乌斯带，又如河南省科技馆的外形设计也来源于莫比乌斯环，还有各种首饰、工艺品和园林景观设计灵感也都源于莫比乌斯环。

数学的对称美不仅体现在几何图形上，代数学也呈现出了数学的对称美。“回文数”就很好地诠释了代数学上的对称美。一个数字关于中间数位对称即为“回文数”，比如12321、1234321，典型的算式为：11×11=121，111×111=12321，1111×1111=1234321。

我国宋代著名数学家杨辉提出的杨辉三角，即二项式展开式的系数就充分展现数学公式的对称美。二项式定理：

数学的美是和谐的、简洁的、千姿百态的，只有让学生认识数学的符号美、公式美和曲线美，发现数学的证明美、方法美和理论美，才能进一步提高学生的审美能力，净化学生心灵，陶冶情操，提升思想道德修养。对数学美的不断追求，是数学发展创新的动力来源之一。

二、在高等数学课堂引入中国古诗词，提升学生的人文素养

1.数学之美与诗词之美有异曲同工之处，都具有简洁性。诗词中巧妙运用数学中的数、形和思维，不仅能够表达诗词的意境，而且能够充分表现数学的力量和美。数学情感教育最大的特点就是具有“人文性”，通过情境等教育手段，促进学生认知的发展和知识的构建，这便能形成一种对数学学习的新理解。在浩如烟海的中国古代诗词中，古诗词与数学邂逅的例子比比皆是、数不胜数。当数学和古诗词“联姻”后，数字生情，并蒂花开。

宋代数学家、诗人邵雍的《山村咏怀》：“一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花。”一眼看去有二三里远，轻雾笼罩着四五户人家。亭台楼阁有六七座，八九十枝的鲜花在绽放。邵雍仅用十个数字便把一个山村生机盎然的画面勾勒得淋漓尽致，这也充分说明了数字的力量［6］。又如清代文学家郑板桥的《咏雪》：“一片两片三四片，五六七八九十片。千片万片无数片，飞入梅花总不见。”全诗巧妙地运用数字，从一至十至千至万至无数，一字未提“雪”字，却让读者仿佛置身于漫天飞雪之中。此诗虽没有数学原理，但充分体现了数字的力量，在讲解数理逻辑时可引入此诗，调动学生的学习兴趣，培养学生的人文素养。

2.诗词中不仅运用了数字，而且运用数学的形增添诗词的魅力和意境。诗圣杜甫的《绝句》：“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船。”“两个黄鹂”为两个“点”；“一行白鹭”为“一条线”；“窗含西岭千秋雪”，描写的是一个“面”；“门泊东吴万里船”是一个“空间”的描写。杜甫把数学中的点、线、面和空间有机融合，每句诗都是一幅画，整首诗刻画出一幅咫尺万里的壮阔山水画卷［7］。唐代诗人王维的《使至塞上》：“单车欲问边，属国过居延。征蓬出汉塞，归雁入胡天。大漠孤烟直，长河落日圆。萧关逢候骑，都护在燕然。”“孤烟”可看作一条直线，“大漠”为一平面，并且“孤烟”与“大漠”是垂直的关系，通过描述太阳与地平线的位置关系，刻画出圆与线的位置关系，从相离、相切到相交。一个“圆”字，一个“直”字，不仅准确地描绘了沙漠的景象，而且深切地表达了作者的孤寂之情。

3.诗词中除了运用数和形，更有趣的是有数学题。“卷尺之父”明代数学家程大位的《以碗知僧》：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧。三百六十四只碗，恰合用尽不差争。三人共食一碗饭，四人共尝一碗羮。请问先生能算者，都来寺内几多僧。”程大位将枯燥的数学问题写成朗朗上口的诗歌，有助于激发人们解决数学问题的兴趣。他将很多数学问题写成这样的诗歌，著成《算法宗统》。

4.数学思维方式在诗歌中的运用非常普遍。唐代李白的《黄鹤楼送孟浩然之广陵》：“故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州。孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。”此诗把极限的意境表现得淋漓尽致，如身临其境一般，有助于学生感悟极限的意境，体会极限的思想。又如杜甫的《登高》：“无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来。”前句指的是所有的落木被我们一览无余，充分展现了无限集这个概念；而后一句的“滚滚来”又充分说明了无限解的无穷无尽性，永远不会停止。这首诗能够让学生在学习无穷概念时充分感悟无限的意境，让数学和人文性有机地融合，让诗词帮助学生理解数学概念，同时在数学课堂提升学生的人文素养，一举两得。

贾岛的《寻隐者不遇》：“松下问童子，言师采药去。只在此山中，云深不知处。”这首诗的意境与存在性定理含义相通，诗中“只在此山中”的意境与存在性定理的存在性含义相一致，而“云深不知处”的意境又与存在性定理的不确定性含义相符。在讲解存在性定理时如能引入此诗，定会让学生耳目一新，茅塞顿开。韩愈的《早春呈水部张十八员外》中：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无。最是一年春好处，绝胜烟柳满皇都。”这首诗的“遥看近却无”与拓扑学上的整体与局部的含义相通。例如球体和环体，“遥看”时都可以是一个“圆片”，而近看时却是完全不同的物体。这与诗中的“草色遥看近却无”的意境完全一致，因此，此诗有助于学生理解局部和整体的概念，让学生在学习数学知识的同时感悟文学意境，产生共鸣，从而提升学生的文化素养。

用诗词的形式引出晦涩难懂的高等数学概念和定理，让数学与诗词有机融合，极大地丰富了高等数学课程思政教学内容，让学生学习数学知识的同时品味中国古诗词的韵味，感悟人生哲理，提升学生的人文素养，能够有效地提升教学效果，调动学生的学习积极性。

数学中“数”与“形”的美十分丰富，这些美并不是由构成它的材料和颜色所赋予的，而是其自身固有的特性，虽“貌不惊人”，但朴实无华。当学生能够充分领略到它内在品质的美妙，就一定会感受到数学的魅力，提升发现美和欣赏美的能力，陶冶情操。

在高等数学课堂引入中国诗词，让数学和诗词相互贯通，加强高等数学课堂的实践性和人文性。通过对中国诗词的引用，能够更清晰地讲解高等数学知识，有效调动学生的学习兴趣，扩充高等数学课程思政教学内容，提高学生的人文素养，增强学生的文化自信和家国情怀。