中学生数学思维灵活性的培养

李 瑾

（陇川县教科中心，云南 章凤 678799）

现实的中学教学中，存在着学生拘泥于已有数学现实，按步就班，解决问题的过程中缺乏必要的灵活性。他们不会从不同角度、方法、层次等方面根据新的条件迅速确定思考问题的方向；难以灵活地运用所学的公式、定律、法则从一种解题方法转向另一种方法，举一反三、触类旁通的意识和能力偏弱。只有培养起学生良好灵活的思维能力，学生才能对具体的数学知识进行有效的学习。如何培养学生数学思维的活性，是一个宜不断深入的进行教学研究的现实问题。

一、数学思维的灵活性

数学思维的智力品质是衡量主体的思维发展水平的重要标志，它主要表现于思维的言广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、独创性和批判性等六个方面。这六个方面既有各自的特点，但又互相联系、互相补充的。[1]

首先，我们看下述问题的解法:

案例1:已知函数f（x）对x ＞0 有意义，且f（2）=1，f（m×n）=f（m）+f（n），则 下列答案正确的是:

思路一:注意到已知条件，由个人的经验和直觉，不妨令f（x）=log2x，

|f(4)|=|log24|=2，选（B）。

思路二:令m=n=1，则f（1）=2f（1）⇒ f（1）=0，

类似地，偶函数f(x)在[-2，0]上是单调递减函数，则的大小关系是

以上例子我们可明显地看出，思路一具有鲜明的灵活性，而思路二多少带有解题模式的色彩，且在某种程度上有些费时费力。类似此类的问题在中学数学各类问题中并不少见。

关于思维的灵活性，它是指思维活动的灵活程度。表现为对知识的运用自如，流畅变通，善于自我调节。思维不囿于固定的程序或模式，能够根据情况及时换向，灵活调整思路以克服思维的定势。在解决数学问题时，善于运用辩证思维对具体问题分析是思维灵活性的重要特征和。[1]

二、培养学生数学思维灵活性的途径

本文认为，中学生数学思维灵活性，主要是指在解决具体问题时，能据条件及解决问题的要求，将对自己来说陌生或较复杂的问题，逐步转化为熟悉的问题或基本的解题模式求解，而在直接应用模式不能奏效或虽能奏效但费时费力时，能迅速摆脱模式的束缚，寻找转化的途径和办法。

如何看待学生数学思维的灵活性的培养，尽可能地让学生变得聪明些呢？我们以为在现实的教学中，宜关注以下几个途径。

（一）关注学生已有的数学认知结构

斯托利亚尔指出:“在教学的每一步，不估计学生思维活动的水平、思维的发展、概念的形成和掌握教材的质量，就不可能进行有效的教学。”

教师对教材与课程标准不可谓不重视。可为什么教学效果总不尽人意呢？固然原因是多方面的，但现实的中学教学中，无论是主观还是客观上，我们不得不面对的一个直接的问题是对学生的研究不够或严重不够，这是个不宜忽视的问题。

思维的灵活性，是以学生主体必须具备一定的思维水平，并对教材中的基础知识和技能的掌握为前提条件的，学生需要积累自己基本的数学活动经验、理解基本的数学思想方法。教师需要分析研究自己所处教学环境条件下的学生实际状况，在数学学习过程中，例如学生数学“四基”学习所面临的主要障碍是心理因素、还是表达能力方面，或是思维方面；对数学题型及解题模式的实际掌握程度怎样等，是否达到教学目标、学生是否形成了良好的认认知结构，为后继的学习奠定了必要的先备知识和技能、思维方法，倘若知识结构残缺，培养学生解决数学问题思维的灵活性的努力就成了无本之木。

因此，只有充分研究施教对象，既重视教案的准备，又更要注重教法的研究，才能在对学生数学思维的灵活性培养方面有所成效，也才能不至于本末倒置。目前，随着新课程的展开，各种教学模式的探讨、尝试如雨后春笋。但我们必需清醒的是，任何人成功的教学方法、经验，都是其所处特定教学环境条件下的产物。

（二）深入研究题型和解题模式与思维灵活性关系

日常的教学中，教师结合学生实际，日积月累，精选一些紧扣教材基础知识、基本技能和方法、灵活性比教材要求稍高，又利于培养学生多角度观察和解决问题的题目，教师指导学生对题型进行归类，有较强针对性地来加强学生思维灵活性的训练，并通过实际训练对一些问题摸索解题模式，此种做法无疑为学生解决同类问题有着积极的指导意义，因为许多数学问题的最终解决，仍需归结到基本的题型和解题模式上去。

但是，无论是中考还是高考，对学生数学能力的考察已成为大势所趋。而这种能力在学生思维的灵活性方面得到了体现。因此在重视指导学生概括解题模式的同时，对学生思维的灵活性的培养也应视学生情况在某种程度上不失时机地予以加强。所谓时机，正如我们所熟知的教学阶段（章节、单元、学期、学年等）结束之时，也往往是题型、解题模式为学生已基本掌握之机，这时不仅要进行知识系统化的复习，而且更要注重思维灵活性的训练，这对于不断提高学生数学思维的能力，有着积极的现实意义。

案例2 解方程 0.2x=3

同一问题，学生是采取两边同除以0.2 还是乘以5 仅仅是手段而已，其目的在于使x 的系数变为1。因此两种方式可认为都是“通法”的活用。

案例3 :已知 ｛2x+3y=3 x-2y=5 求x+y的值。

若分别解出两个求知数再进行求和，则做这类型三五题与十题八题是没有什么差异的。事实上，在学生对方程组会解（即通法）的基础上，要转入进行初步的整体思想、方法的渗透，树立对数学问题的结构的洞察和概括意识。事实上，｛2(x+y)+y=3 。(x+y)-3y=5 将视x+y 为一整体求出即可达到目的。

类似地 解方程｛3x-2y=3 xy=3 →｛3x+(-2y)=3 3x(-2y)=-18

将3x 和–2y 视为方程T2-3T-18=0 的两个根进行求解。

（三）适度解决问题训练与思维灵活性

日常的教学甚至于部分的公开课中，课堂的大容量、快节奏的过度技能训练充分彰显了教师教学的智慧与“聪明”，极少给乃至不给学生留有思考余地的现象并非鲜见，学生对于老师对问题的剖析、讲解及结论的获得，常不由自主地感叹“我怎么（简直）想不到呀” ？“老师怎么想到的” ？这一现象的成因，从教学方面来看，这是部分教师或是赶进度，或是存在着“多讲比少讲好”的认识，从学生学习方面来看，学生习忙于记笔记、照猫画虎地进行解题，自己运用观察、实验、归纳、类比、联想、猜测、试误等合情推理方法，探索未知所进行的思考，进而来领会数学的基本思想的时间较少，在一定程度上丧失了数学活动经验积累过程的机会。对此现象，史宁中教授也认为，“现在，很多中学提出来，数学问题‘一看就会，一做就对’。怎么能这样呢，不经过思考的不是数学，数学不是技能训练。一定程度的熟练是必要的，但过分强调就走向反面。”[2]

因此，教师要给予学生一定的时间和思考机会，开展适度的针对性训练是必要的，但要从学生的实际出发，把握好一个度，这个度来自于对自己所教班级学生数学认知结构的了解和理解。

（四）通过变式教学培养学生数学思维的灵活性

数学变式教学，是在建构主义等理论指导下的教学。具体而言就是在数学教学过程中，变换问题的条件或形式，而问题的实质不改变，或通过引入新条件、新关系，将所给问题或条件变换成具有新形态、新性质的问题或条件，以达到改善学生的认知结构，训练学生思维和提高能力的目的。变式教学的途径有着很高的教育价值，同时是一种重要的思想的方法。通过变式可使封闭式问题变为开放式问题；使常规问题变为非常规问题，促使收敛性思维转向发散思维。变式教学对学生数学思维的灵活的培养有着直接而现实的意义和作用。

教材中的例题、习题、思考题等从不同的角度进行改变条件等等方式的引申、改编，将一个单一性问题变化为多种形式、辐射成具有多种内容的问题。此类变式使问题层层深入，有助于学生的思维灵活性。

案例4:在复数集中解方程 X2－4X＋5＝0

笔者以为，在不增加学生的学习负担的前提下，可对此例的要求进行如下内容变式教学:

题型1 若方程x2-4x+5=0 的一根为2+i，则另一根是（）；把x^2-4x+5 分解因式结果为（）

题型2 （a）若方程x2-4x+k=0 的一根为2-i，则实数k 值为（）

（b）若方程x2+2kx+5=0（k ∈R）的一根是2-i，则k=

（c）若方程2kx2－4x+5=0 的一根为2－i，则实数k ＝

（d）若方程x2+px+q=0 的一根为2-i，则实数p 值是: 实数q 值是:

（此类题可用虚根成对原理与韦达定理求解，也可将根代入求解）

题型3 若方程x2－2x+k=0 的一根是i，则另一根是:

（此类题型学生易套用虚根成对原理而出错）

题型4 方程x2－4x ＋k+1=0（其中k ∈R）的一个虚根的模是√5 ，则k值为

题型5 若方程x2-4x+k=0 的有两个虚根X1 和X2，│X1－X2│＝2，则实数k=

题型6 两根为2＋i 与2－i 的最简一元二次方程是:

此例的变式，是对本章涉及的相关内容的辐射及已学过知识的灵活应用，对于学生的思维训练起到了积极作用。

各类水平测试中，公式恒等变形后的应用、性质、定理的等价表述、逆向思维的考查等都属于内容变式，可以说内容变式反映了在教学中要使学生有相应的应变能力。

三、结束语

培养学生数学思维的灵活性，这一工作过程本身对教师的教学提出了较高的要求。是否能在开放中培养学生思维的灵活性，关键是教师的观念要更新,要给学生创新求异的机会,要鼓励学生敢于与众不同，引导学生多角度、多方位地灵活思考问题[3]。教师要在教学实践中深刻感悟中学数学教学法的特征，真正地让学生拥有数学活动经验积累过程的机会，结合自身所处教学环境条件，不断创新，超越自我，形成自己所处条件下的一套教学风格，才能使学生数学思维的智力品质不断得到优化和提升。