变一变，让学习真正发生——以“商不变的规律”的教学为例

江苏省丹阳市新区实验小学 张雪峰

“商不变的规律”是苏教版数学四年级上册的内容。课本例题为我们呈现了一个表格。

⑦先按要求算一算，填一填，再比较算出的结果

?

在这一内容的教学中，教师通常按这样的方式进行教学：围绕教材提供的素材，引导学生观察、分析、举例等，发现“被除数、除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变”这一知识，通过练习使学生熟练掌握“商不变的规律”和解决相关问题的技能。纵观整个教学过程并深入分析，笔者发现，学生的探索与体验缺乏实质性的内在需求和理性思考，大部分活动都是在教师的引导或帮助下完成的，课堂上缺乏方法诉求、过程经历、沟通论证、道理领悟的过程，“教”的目的掩盖了“学”的需要，对知识技能的教学目标重于对核心素养的培养目标。

核心素养是学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。当教学不单纯以知识技能为主要目标，而是聚焦学生的核心素养的培养时，我们的教学设计和教学活动组织都可以“变一变”。

一、变“直接呈现探索素材”为“主动寻找探究路径”

【片段一】

师：（指课题）今天我们研究的是什么运算？你是从哪里看出来的？

生1：今天一定是研究除法运算，因为除法里面才有商。

师：那我们研究的是除法运算里的什么规律呢？

生2：商不变的规律。

师：商不变，那被除数和除数变不变呢？

生1：变。

生2：不变。

生3：如果商不变，被除数和除数也不变，那不还是原来的算式吗？那还有什么好研究的？（其他同学大笑）

师：根据你的经验，一般情况下被除数和除数变化时，商会怎样？

生1：商可能会变，也可能不变。

生2：商可能变大，也可能变小。

师：这节课我们一起来研究被除数和除数怎样变化，才能使得商不变。根据自己的经验，你先来猜一猜。

生1：被除数和除数可能要增加一个数。

生2：可能是被除数和除数减去一个数。

生3：也许被除数和除数都乘一个数，再相除，商不变。

生4：被除数和除数也可能要缩小几倍。

生5：被除数和除数可能要乘或除以一个相同的数。

师：同学们凭借自己的经验和直觉提出了几个猜想，是不是这样呢？我们怎样才能知道究竟哪个猜想有道理呢？

生：我们可以举几个例子，试一试。

师：是个好办法。那就请大家根据自己的兴趣选择一个或几个猜想，先用举例的方法独立验证，再在小组内交流你的想法。

【思考】在通常的教学中，教师直接呈现课本上的素材，让学生计算、观察、比较，引导学生自主探索、合作交流、亲历规律的形成过程，似乎已经很好地体现了新课程的教学理念。然而仔细推敲，我们不难发现，学生真的自主学习了吗？被除数、除数的变化是乘或者除相同的一个数，学生怎么想得到呢？教学一开始教师就不容分说将学生的思路定位在乘法和除法上，这是否限制了学生思维的广度和深度，是否符合学生对一个未知的新问题的探索路径呢？

除法算式的三个数中，“变”或“不变”是明显存在的，但“如何变”是隐藏的。对于“如何变”的探究涉及两个问题：一是商不变时被除数和除数变化规律的确定；二是如何才能发现被除数和除数的变化规律。前者是问题的具体内容，而后者则是问题解决的方法策略。所以说本节课的重点不仅仅是发现商不变的规律，而引导学生“执果索因”地学会探究才是教学的最终目的。那么在探索规律的过程中，探索的路径谁说了算？是由教师提出，学生被动接受，还是教师做适当引导，由学生自己主动寻找？从着眼学生未来发展的角度看，学会确定发现路径的方法一定比发现的规律更重要。本课教学中，教师大胆放手，让学生猜一猜，被除数和除数可能怎样变化，商是不会变的。继而探究猜想的合理性。变一变，就能立足学生的思维起点，发散学生的思维，就能收获不一样的精彩。

二、变“教师授意探究规律”为“学生自主摸索发现”

【片段二】

学生将自己的思考过程写在学习单上，再在小组内交流，教师巡视，并适时点拨引导。

师：通过举例和小组交流，你有怎样的发现呢？

生1：我把第一个猜想给“咔嚓”掉了。我举了个例子，20÷5=4，把被除数和除数都加上一个数，（20+10）÷（5+5），商变成了3。如果加上一个相同的数，也是不行的，（20+10）÷（5+10）=2，结果完全变了。

生2：我也是用举例的方法，把第二个猜想也淘汰了。因为……

生3：我验证了第三个猜想，我认为被除数和除数乘一个数，商就不变。我举例进行了验证。6÷3=2，（6×3）÷（3×3）=2。

师：好像有点眉目，如果不乘3，乘一个别的数，商变不变呢？

生3：也不变，我们组也试过了，（6×100）÷（3×100），（6×199）÷（3×199），……，结果都还是2。

生4：我们组也举了几个例子，被除数和除数都乘一个数，商确实不变，比如……

师：这个发现具有普遍性吗？你还能举这样的例子吗？再写几个，看看行不行。

师：很多的举例都证明了这个发现，我们先把它记录下来。被除数和除数乘一个数，商不变。

生5：我不赞同，因为我发现了一个问题，如果（6×4）÷（3×3）结果就不等于2了。

生6：是这样的，如果乘的不是同一个数，商就会变，只有乘的是同一个数商才不变。

师：好像有点道理，是这样吗？ 看来我们得把这个发现完善一下。（添上“同”）

生7：我发现了，不一定。我可以举出一个反例，如果被除数和除数都乘0，结果就是0，商不是变了吗？

师：了不起的发现！是啊，那还有别的反例吗？

生8：找不到别的反例了。

师：看来这“一个数”中不能包括0，所以我们要把0除外。（添上“0除外”）

师：还有别的变化规律，商也是不变的吗？

生9：还有被除数和除数除以同一个数，商也是不变的。比如……

生10：这里0也要除外，因为0作除数是没有意义的。

师：12÷4=3，如果（12×2）÷（4÷2），商会怎样呢？

生11：被除数和除数一个扩大一个缩小，商就变了，不行。要么都乘一个数，要么都除以一个数。

师：那么这个发现该加上一个什么词，更准确、更完善？（添上“同时”）

……

师：请同学们回顾一下，我们是怎样一步一步找到“商不变的规律”的？

……

【思考】我们要思考，站在学生的视角探究的点在哪里；为什么把被除数同时乘或除以同一个数，而不是加或者减一个数；为什么强调“同时”，这里的“同时”做何理解；为什么必须是同一个数，不同的数行不行；为什么把0除外……其实对这些问题的质疑和探索，正是学生经历“商不变规律”萌发、生长与形成的过程。本课中，在片段一的大问题驱动下，学生们用自己想到的方式去验证猜想。在验证的过程中，学生们不断尝试、淘汰、修正、完善自己的思考，或倾听或质疑或赞赏或感悟，使学习不断深入，对“商不变的规律”渐渐明晰，课堂变得精彩纷呈。在这个过程中，学生的活动方式是多样的，有独立思考，也有小组合作、全班交流，这样有利于学生自主探究，又能集思广益、思维碰撞、开阔思路。学生真正成为课堂的主人，感受到了学习的快乐。

三、变“技能训练的单一练习”为“完善认知的思维训练”

【片段三】

师：[出示（24÷2）÷（6○□）=4，（24○□）÷（6×12）=4，（24○□）÷（6○□）=4。]会填吗？你有几种填法？

……

师：[出示80÷80=1，（80+20）÷（80+20）=1，（80-20）÷（80-20）=1；80÷4=20，（80+80）÷（4+4）=20。]这两组算式举例，是不是说明猜想一和猜想二也可能是正确的？

生1：第二组算式，被除数和除数加的数和原来相同，其实就是被除数和除数同时乘2。

生2：第一组算式的情况是可以的，我们可以在“商不变的规律”中把这种情况添上去。

生3：我们一开始就用反例推翻了这两个猜想。

生4：我们总结“商不变的规律”的过程中，不也是有反例的吗？

生5：刚刚乘法和除法只有0这一个反例，所以只要把0除外，这个规律就是正确的。同时加和同时减，反例多的是，正确的情况反而不多。

生6：只有被除数和除数相同的时候才行，它们的商总是1。

师：看来我们的发现要具有普遍性，才能总结成规律，不能用少数特例来说明问题。

【思考】南京大学郑毓信教授说：“数学学习的一个主要价值就是有利于人们思维方式的改进，并能促使人们逐步学会更清晰、更合理、更深入地思考问题。”马云鹏教授认为，我们要围绕数学的核心内容，开展深度学习。我们可以通过精心设计问题情境，引发学生的认知冲突，引发学生全身心参与数学活动，围绕具有挑战性的学习主题深度探究，促使学生体验成功，把握所学内容的数学本质，从而收获关键能力与核心素养的发展。本课中，笔者出示了第一组算式，从答案的确定性到答案的开放性，强化了学生对“商不变的规律”的理解。课堂到这里没有停止，而是又出示了一组与学生头脑中已形成的规律有认知冲突的，被除数和除数加（减）一个数时商也不变的情况，引发学生深入思考。在师生的交流中，我们完善了对“商不变的规律”的本质的认知，积累了探索数学规律的经验。好的数学教学课堂必然是富于思考的，因为思维是数学能力之“核”，是数学素养之“魂”。