一种频率-相位混合编码的MIMO 雷达波形设计*

廖正龚，任渊，毕井章

（南京舰载雷达研究所，江苏 南京 210000）

0 引言

多输入多输出（multiple input multiple output，MIMO）雷达采用低增益宽波束同时照射进行探测，因此具有较强的抗干扰和多目标探测与跟踪能力［1-2］。其优良特性归功于它采用波形分集的收发处理方式。而正交波形是获得MIMO 雷达分集增益的重要前提。因此，正交波形集的设计和优化对MIMO 雷达系统具有重要意义。

相位编码信号因具有较高对冗余度和图钉状的模糊函数而广泛运用于MIMO 雷达系统。文献［3］综合了模拟退火算法和传统迭代选择算法，用于寻找一组适用于正交组网雷达的正交多相码集；文献［4］将遗传算法运用于多相码的优化，设计出适用于MIMO 雷达的正交多相码集；文献［5］将蚁群算法改进并运用于MIMO 雷达多相码集的优化，能够在相对原算法较短的时间内获MIMO 雷达正交四相码集，但自相关性能略逊于遗传算法的所得码集。上述文献讨论的都是常规单载频子脉冲相位编码波形，波形带宽是子脉冲时宽的倒数，受实际点路元器件限制，信号带宽有限，限制了目标距离分辨率。文献［6］设计了一种适用于MIMO 雷达的正交频分线性调频（OFD-LFM）信号集，但波形单一，适用范围有限；文献［7］构建了一种适用于MIMO 雷达的脉内线性调频、脉间相位编码（LFM-PC）的混合正交波形，使其具有大时宽带宽积，但该信号的模糊函数有较大的“栅瓣”，总体呈“钉床状”；文献［8-10］对LFM-PC 信号进行了优化，但栅瓣问题依旧存在。

在本文中，首先针对以上波形的不足，提出了一种基于换矩阵时频分布的频率-相位混合编码波形，其构型为脉内线性调频、脉间相位编码和置换序列频率编码混合调制（perm-LFM-PC，PLP）波形，相比于单载频子脉冲相位编码信号，该波形信号的距离和速度分辨率较高，且该波形的模糊函数无“栅瓣”现象。然后，通过对PLP 信号集的分析，建立了置换序列调频编码和相位编码双变量的非线性优化模型。最后，由于上述文献提到的算法只对单一相位变量序列进行优化，为此，提出了一种适用于多种变量条件寻优的多种群优化遗传算法来求解该优化问题。仿真结果表明，PLP 波形具有上述提到的优良性质，通过多种群优化算法优化后具有良好的相关特性，性能优于文献［3-7，11-13］。

1 信号模型的建立与模糊函数分析

1.1 PLP 信号模型的建立

假设MIMO 雷达发射信号的编码长度为M，置换矩阵频率编码信号时间和频率之间的关系可以用M阶置换矩阵AM×M=(aij)（aij=0或1，为矩阵第i行j列的元素）来表达，每个频率编码只出现一次、持续的时间都相同 。将置换矩阵AM×M的第m(m∈{1，2，…，M})列非零元素对应的列坐标记为am，则该置换矩阵对应的置换序列可记为{am}；记Δf为单位置换序列调频编码的调频大小，fm为经置换序列频率编码am调制后频率，则有fm=am·Δf。在置换序列频率编码调频子脉冲信号上调制LFM 信号和相位编码信号，得到目标波形，波形结构图如图1所示。

图1 PLP 波形结构示意图Fig.1 PLP waveform structure

设载频为f0，则置换序列调频信号的第m个子脉冲信号的表达式为

式中：tb为子脉冲宽度。记uPerm(t)为调频信号子脉冲的复包络，则有

伪码调相信号的复包络函数为

即伪码调相信号的采样函数uPC(t)为

复合调制信号uPerm-PC(t)为置换序列调频子脉冲信号uPerm(t)和伪码调相信号uPC(t)在时域上的卷积，即

对于每个子脉冲，都进行线性调频，最终得到目标信号

式中：μ=Δf/tb，为LFM 信号的调频斜率。

1.2 PLP 信号模糊函数分析

设χPerm(τ，fd)为uPerm(t)的模糊函数，则有

式中：χv(τ，fd)为矩形脉冲包络的模糊函数，

设χPC(τ，fd)为uPC(t)的模糊函数，则有

利用模糊函数的卷积性质，可得PLP 信号的模糊函数为

取相位编码码长M=40，子脉冲Δf=0.1 MHz，采样率160 MHz，子脉冲宽度tb=1 μs，模糊图像如图2 所示。相比于文献［6］的LFM-PC 模糊函数，仿真图2 表明，PLP 波形模糊函数图没有栅瓣，总体呈现图钉型，主瓣高而尖，旁瓣低而平，距离和速度分辨率较高［14-16］。

图2 PLP 信号模糊函数图Fig.2 Fuzzy function of PLP signal

令fd=0，式（12）为距离模糊函数，也即自相关函数

根据卷积和傅里叶变换的性质分析式（14）可知，设Bb为子脉冲的带宽，用Δτ表示PLP 信号的距离分辨率，则有

这表明PLP 波形的距离分辨率与子脉冲时宽无关，仅由子脉冲的调频带宽所决定，这样在工程上容易实现宽频带脉压波形。

速度（多普勒）模糊函数为

式中：C为常数；式（16）化简过程利用了傅里叶变换的频域卷积定理，即式（16）第2 行对应的变换域为3个矩形波的乘积；由式（16）可知，PLP 波形的速度分辨率Δfd为

2 PLP 正交波形集优化设计

2.1 PLP 波形集模型的建立

假设正交PLP 波形集包含N个信号组成，每个信号包含M个经过置换序列频率编码和相位编码调制的LFM 子脉冲，则信号集S可表示为

式中：∈{1，2，…，M}，且每行的M个元素互不相同，有且只有出现一次。

子集个数为N、码长为M、相位数L的多相码集P，可以用以下N×M相位矩阵表明为

式中：第n行为信号sn(t)的多相序列，矩阵中的所有元素只能从式（20）中的相集中选取。

PLP 波形集第n个波形sn的自相关函数为

式中：χPLP(τ，0)在式（14）已给出。下面将推导PLP波形的互模糊函数和互相关函数。

设χPerm，p，q(τ，fd) 为矩形子脉冲uPerm，p(t) 和uPerm，q(t)的互模糊函数p≠q；p，q∈{1，2，…，N}，由互模糊函数定义得

2 个PLP 波形的相位编码部分的互模糊函数可表示为

根据自模糊函数和互模糊函数定义可知，相同波形的自模糊函数等于互模糊函数，因此子脉冲LFM 波形的自、互相关函数相同，即

设sp(t)，sq(t)为PLP 波形集中的2 个波形，它们的互模糊函数可表示为

令fd=0，即可得sp(t)和sq(t)的互相关函数为

理想正交信号的非周期相关函数的自相关旁瓣和互相关函数为0，MIMO 雷达信号集要求具有良好的相关性能，将自相关函数峰值旁瓣和互相关峰值的总和作为代价函数，信号集优化问题就转化为代价函数最小化问题。代价函数如下：

式中：A(sn，τ)由式（14），（22）给出；C(sp，sq，τ)由式（23）～（27）给出；ω1，ω2为代价函数E(S)的加权系数。

2.2 基于改进多种群遗传算法的PLP 正交波形集优化

观察自相关函数式（14），（22）和互相关函数式（23）～（27）可知，PLP 信号的置换序列频率编码和相位编码共同影响着代价函数的取值，且二者与代价函数值均为非线性关系，所以必须对频率编码序列集和相位编码序列集进行联合优化。本文中的置换序列频率编码序列的优化是一个排列组合优化问题，属于典型的旅行商问题（traveling salesman problem，TSP）；而多相码序列的优化是一个非线性多变量（nonlinear-multivariable problems，NP）问题。

本文采用多种群优化遗传算法，根据频率编码和相位编码的优化种类，将多个种群分为2 个类别，对不同种类别种群采取不同的初始化、交叉和变异等策略，利用人工选择和移民操作，即让同一优化类别的各个种群的优秀个体进行种群间的转移，使多种群协同进化。例如，在传统遗传算法中主要通过交叉算子来产生新个体，用变异算子来辅助产生新个体。交叉概率Pc的取值（一般取值较大，常取0.7～0.9）和变异概率Pm的取值（取值较小，一般取0.001～0.05）决定了算法的全局搜索和局部搜索能力的均衡，但二者的取值方式有无数种，对于不同的Pc和Pm，优化结果有较大差异。多种群遗传算法弥补了传统遗传算法的这一不足，通过多个设有不同控制参数的种群协同进化，同时兼顾了算法的全局搜索和局部搜索。

联合优化算法步骤如下：

（1）编码

PLP 波形中置换序列调频编码采用整数编码方式，即对于M个调频编码的TSP 问题，染色体分为M段，其中每一段对应调频编码的序号。如5 个编码的TSP 问题｛1，2，3，4，5｝，则｛2|3|1|5|4｝就是一个合法的染色体。将上述编码方式记为“编码1”。

PLP 波形多相码采用串行编码，编码方式如下，记为“编码2”：

式中：为编码矩阵P的第n行m列元素。

（2）初始化种群，即在确认染色体编码方式后，产生对应的初始种群用作初始解。

编码1 对应的初始化种群记为“初始化1”，可表示为

式中：randpermsn(·)表示第n个波形的置换序列调频编码全排列中的随机一种。“初始化1”种群个数设为MP1。

编码2 对应的初始化种群记为“初始化2”，该类初始种群数个数设为MP2。

（3）适应度计算。代入式（28）即可得。

（4）选择根据适应度函数采用轮盘赌选择策略。

（5）交叉。相位编码对应个体采取两点交叉，该方式记为“交叉1”；置换序列调频编码需要采用部分映射杂交，即交叉后若同一个个体中有重复的子码，不重复的数字保留，有冲突的数字利用介于交叉操作中间段的对应关系进行映射消除冲突，以确保交叉后的子代符合置换序列性质，个体内子码没有产生重复，该交叉方法记为“交叉2”。

（6）变异。以某一较小概率改变种群中个体的某些基因，从而为新个体的产生提供机会。需要注意的是，为了保证变异后的置换性质，频率编码的变异策略为变异策略采取随机选取2 个点，将其对换位置，该变异方式记为“变异1”，相位优化种群对应“变异2”。

（7）移民。同一类种群间是相对独立的，相互之间通过移民算子联系。移民算子将各种群在进化过程中出现的最优个体定期地（每隔一定的进化代数）引入其他的种群中，实现种群之间的信息交换。

（8）人工选择。找出精华种群。

（9）算法终止。当适应度函数达到期望值，或遗传代数达到阈值，或者精华种群中最优个体保持代数达到设定值，算法终止；否则继续执行步骤（3）～（8）。

多种群优化遗传算法结构示意图如图3 所示。其中，GA1表示采用编码1、初始化1、交叉1 和变异1的遗传算法；GA2表示采用编码2、初始化2、交叉2和变异2 的遗传算法。

图3 多种群优化遗传算法结构示意图Fig.3 Structure of multi-population optimization genetic algorithm

3 仿真校验

根据第2 节所述过程，采用多种群优化算法对PLP 波形集进行优化，MIMO 雷达波形参数设置如下：波形个数N=4，码长M=40，相位数L=4，子脉冲宽度tb=1 μs，子带宽Bb=0.1 MHz；算法参数设置如下：个体数目400，各种群数目MP1=MP2=10，最优个体保持代数为30，采用两点交叉，每个种群交叉概率取值为区间［0.7，0.9］中的随机数，变异概率为［0.005，0.01］中的随机数。

多种群优化遗传算法的进化代数和代价函数曲线如图4 所示；优化得到的相位序列见表1，表中数字乘以π/2 即为相位；频率编码序列如表2 所示。所得PLP 优化波形集的自相关旁瓣峰值和互相关峰值如表3 所示。所得的波形的平均自相关旁瓣峰值（autocorrelation sidelobe peak，ASP）为 0.119 8（-18.43 dB），最大ASP 为0.109 8（-19.19 dB）；平均互相关峰值（cross-correlation peak，CP）为0.150 4（-16.47 dB），最大CP 为0.131 5（-17.62 dB）。

表1 PLP 优化相位序列Table 1 Optimized phase sequence of PLP

表2 PLP 优化置换序列调频编码Table 2 FM coding of PLP-optimized permutation sequence

表3 PLP 优化波形集的ASP 和CP 值（归一化）Table 3 ASP and CP Values（normalized amplitude）of PLP-optimized waveform set

图4 多种群优化遗传算法代价函数曲线Fig.4 Cost function curve of MSO-GA

将本文结果与同参数的文献进行对比，图5 和图6 分别为本文与文献［4，7，11，13］提到的遗传算法（genetic algorithm，GA）优化算法优化的各信号的ASP 对比图和CP 对比图；图7 和图8 分别为本文与其他算法［3，5，12］优化的各信号的ASP 和CP 对比图。表4 为对比结果。

表4 本文方法与其他文献平均 ASP，CP 值比较Table 4 Comparison of average ASP and CP values between proposed method and other literature

图5 MSO-GA 与其他GA 优化的ASP 对比图Fig.5 ASP comparison of MSO-GA and other GAs

图6 MSO-GA 与其他文献GA 优化的CP 对比图Fig.6 CP comparison of MSO-GA and other GAs

图7 MSO-GA 与其他算法优化的ASP 对比图Fig.7 ASP comparison between MSO-GA and other algorithms

图8 MSO-GA 与其他算法优化后的CP 对比图Fig.8 CP Comparison between MSO-GA and other algorithms

由图4 可知，本文的多种群优化遗传算法通过移民算子和人工选择操作保证了多种群间的优秀个体快速形成精英种群，不但可以同时对多个不同的目标进行优化，且进化和收敛速度较快。观察图5～8 和表4 可知，相比于文献［4，7，11，13］提到的GA优化算法，本文的算法平均自相关旁瓣分别优于它们0.038，0.024，0.019，0.028（转换为dB 值再求差为1.83 dB，0.93 dB，0.63 dB，1.27 dB）；平均互相关旁瓣分别优于它们0.059，0.027，0.069，0.056（2.87 dB，1.47 dB，3.27 dB，2.42 dB）。相比于模拟退火，蚁群算法等其他优化算法［3，5，12］，多种群优化遗传算法的自相关旁瓣分别优于它们0.043，0.020，0.056（2.13 dB，1.83 dB，2.84 dB）；互相关峰值分别优于它们0.049，0.057，0.006 3（2.47 dB，2.79 dB，3.04 dB）。

分别对PLP 信号、单载频相位编码信号、LFMPC 信号进行匹配滤波，匹配滤波输出如图9 所示。观察可知，在子脉冲宽度tb=1 μs，子带宽Bb=0.2 MHz 的同参条件下，PLP 信号匹配滤波的3 dB脉宽约为0.1 μs，远小于相位编码信号和LFM-PC信号的0.6 μs，距离分辨率优于它们。图10 中a），b）分别为同参条件下改变子脉冲tb和子脉宽Bb各信号输出的匹配滤波的有效脉宽。图10a），b）反映出单载频子脉冲和LFM-PC 混合调制信号受信号子脉宽的影响，受实际点路元器件限制，信号带宽有限，限制了目标距离分辨率；相比之下，PLP 波形不仅在这些参数下距离分辨率均优于单载频相位编码信号和LFM-PC 信号，其距离分辨率与子脉宽无关，仅由子脉冲的调频带宽所决定，这样在工程上容易实现宽频带脉压波形。

图9 各个信号的匹配滤波输出脉宽对比图Fig.9 Comparison of matched filter output of PLP，phase coding and LFM-PC signal

图10 各信号的匹配滤波输出与子脉宽、子带宽的关系图Fig.10 Relationship between the matched filtering output of each signal and the pulse width and bandwidth

4 结束语

本文提出的基于置换矩阵时频分布的频相复合调制MIMO 雷达波形具有大时宽带宽特点，其模糊函数没有栅瓣且为图钉型；在同参条件下，距离分辨率优于单载频相位编码信号和LFM-PC 混合调制信号，且其距离分辨率仅由子脉冲的调频带宽所决定与子脉宽无关，在工程上容易实现宽频带脉压波形。通过对PLP 信号的分析，得出该信号优化模型，最后利用多种群优化遗传算法对该波形集的频率编码和相位编码进行联合优化。仿真结果验证了PLP 信号的优良特性，表明了多种群优化遗传算法能够有效对频率编码集和相位编码集进行优化，使得PLP 波形集获得良好的相关特性。