压电悬臂梁振动模糊滑模控制

2023-01-30陈红霞刘文光方孟翔吴兴意高铭阳冯逸亭

压电与声光 2022年6期

陈红霞,刘文光,方孟翔,吴兴意,高铭阳,冯逸亭

(南昌航空大学航空制造工程学院，江西南昌 330063)

0 引言

振动存在于飞行器的滑跑、起飞、飞行直至降落的整个过程。由于日益追求高性能、长续航和高稳定性，故现代飞行器要求应用轻质和低阻尼结构[1-2]。飞行器结构(如飞机壁板和机翼)服役时，不但受振动载荷作用，且结构振动自由衰减速度较慢，由此导致疲劳损伤，严重危及飞行器结构的安全可靠性[3-4]。因此，为保障飞行器结构的工作稳定性和延长其使用寿命，研究结构振动控制方法具有重要意义。

滑模控制是通过控制量的切换使系统状态沿滑模面滑动[5]，使系统在受到参数摄动和外界干扰时具有良好的鲁棒性，因而被研究者广泛应用于结构振动控制中。潘成龙等[6]针对柔性自旋导弹振动问题设计了模糊滑模控制器，有效地抑制导弹尾部振动。董彬等[7]采用准滑模控制方法减小了风力机叶片在风载荷作用下的振动位移，在结构参数不确定情况下该方法具有良好的鲁棒性。Do等[8]开发了模糊滑模控制器，有效地抑制了汽车座椅悬架的振动，增强了系统对不确定性和干扰的鲁棒性。Qiu等[9]提出了滑模预测控制方法，实现了压电柔性悬臂板振动的快速抑制。与PID控制相比，该方法具有更好的控制性能。Qi等[10]提出了滑模控制策略，在存在时变测量延迟的情况下有效地抑制了亚音速压电复合板的振动。袁明新等[11]设计了带滤波的滑模控制器，并采用融合云模型和反向学习的克隆算法优化滑模参数，有效地抑制锻压机冲击对锻造机器人造成的残余振动。Li等[12]研究了受扰离散系统中存在的各种未知不确定性抖振问题，提出了基于切换的离散时间模糊滑模控制方法，提高欠驱动机器人系统的控制性能。Xie等[13]设计了基于创新强化学习的模糊自适应滑模控制器，在保持鲁棒性的同时减小了抖振效应。Song等[14]开发了分数阶积分模糊滑模控制方案，利用神经模糊网络系统逼近分数子系统中存在的不确定非线性函数，使系统状态轨迹在有限时间内收敛。Suilun等[15]针对具有障碍物约束、模型不确定性和分布扰动的非线性柔性悬臂梁系统，发明了基于自适应非对称障碍函数的滑模控制律，实现了分布式干扰抑制和模型不确定性补偿。Tian等[16]开发了积分终端滑模鲁棒控制方法，抑制空间智能桁架结构的受迫振动。

对振动滑模控制已有大量研究，但是对如何消除滑模控制带来的抖振现象研究较少。抖振不仅影响控制的精确性，而且易激起系统其他模态振动，破坏系统性能。因此，本文在采用滑模控制抑制悬臂梁振动的基础上，引入模糊规则调节切换增益，利用饱和函数替换符号函数，以减小滑模控制带来的抖振问题。

1 压电悬臂梁的有限元建模

1.1 压电梁单元的建模

图1为压电悬臂梁几何模型。在梁的根部上下表面贴压电陶瓷分别作为作动器和传感器。将压电悬臂梁分为若干个梁单元，包括压电梁单元以及基于Euler-Bernoulli理论假设的均质梁单元。梁的总长为L，压电梁单元长为le，压电梁单元用于模拟压电元件作为传感器/作动器结合的区域，而梁的其余部分由均质梁单元模拟。

图1 压电悬臂梁几何模型

根据拉格朗日方程，可推导出均质梁单元的运动方程[17]为

(1)

式中：fb为均质梁单元受到的外界力；qb为梁单元节点的位移矩阵；Mb，Kb分别为均质梁单元的质量阵、刚度阵，且有：

(2)

(3)

式中：ρb为均质梁的密度；Ab为均质梁单元的表面面积；Eb,Ib分别为均质梁单元的弹性模量和转动惯量；x为梁长度方向坐标；N为梁单元形函数向量。

同理，可推导出压电梁单元的运动方程

(4)

式中：fp为压电梁单元受到的外界力；qp为压电梁单元节点的位移矩阵；Mp，Kp分别为压电梁单元的质量阵、刚度阵，且有：

(5)

(6)

式中：EI为压电梁单元的等效抗弯刚度；A为压电梁单元表面面积；ρ为压电梁单元的密度。

1.2 压电传感与作动方程

悬臂梁振动时，传感器层不受外场作用，粘贴于梁表面的压电传感器将会产生电荷，压电传感层两个表面电极间的电压Vs(t)为

(7)

(8)

式中:Cp为压电传感器电容;Q为电荷；b为宽度。

在压电作动器上施加外部电压Va，压电片将产生形变抑制梁的振动，压电梁单元产生的弯矩Ma为

(9)

作动器施加在压电梁单元上产生的控制力为

fctrl=hVa

(10)

(11)

1.3 压电悬臂梁的动力学方程

将压电悬臂梁的单元刚度阵、单元质量阵组装成总质量阵、总刚度阵，可推出考虑比例阻尼的压电悬臂梁的运动方程[18]为

(12)

式中：M,K分别为压电悬臂梁总质量矩阵和刚度矩阵;Fctrl为悬臂梁所受控制力。

整体节点位移列阵q和模态阻尼矩阵D分别为

(13)

D=αM+βK

(14)

式中：α，β为结构阻尼常数；m为单元节点个数。

(15)

式中：系数A，B，C分别为输入矩阵、输出矩阵和传输矩阵；u(t)为输入电压；y(t)为输出电压。

2 压电悬臂梁有限元模型的降阶

利用平衡截断法简化压电悬臂梁模型可得到相应降阶模型。当方程(15)可控、可观且渐进稳定时，则其可控Gramian矩阵Wc和可观Gramian矩阵Wo都是正定的，且满足Lyapunov方程[20]：

(16)

假设存在非奇异矩阵T1，使Wc=Wo且为对角阵，则系统内部平衡，方程(15)可转换为

(17)

当系统内部平衡时有：

(18)

且λ1>λ2>…>λn，对角阵可写成两组奇异值的形式:

(19)

式中：λ(1)为要保留的可控性和可观测性强的子系统；λ(2)为要删除的可控性和可观测性弱的子系统。

当λ(1)取合适的阶数时，该“强”子系统保持了原始系统的固有属性。

将降阶模型和残差模型简化为

(20)

式中(A11,B1)为最高可控性和可观测性对。

3 模糊滑模控制策略

3.1 滑模控制

利用滑模控制对建模误差的不灵敏性设计主动控制器，存在线性时不变系统[21]：

(21)

式中A12X2为建模误差。

滑模控制律由等效控制ueq和切换控制usw构成。切换函数设计为

(22)

式中Cs为滑模面参数。

ueq=-KeqX1(t)

(23)

式中Keq为等效控制增益，且：

Keq=(CsB1)-1CsA11

(24)

定义Lyapunov函数：

(25)

到达条件为

(26)

usw=(CsB1)-1(-εsgns-ks)

(27)

式中：ε>0，k>0，ε为增益系数；k为指数趋近参数。增益系数ε必须满足以下条件：

ε>‖CsA12X2‖

(28)

等效滑模控制律为

u=ueq+usw

(29)

则：

sCsB1[-KeqX1+(CsB1)-1(-εsgns-

ks)]+sCsA12X2+sCsA11X1=s(-

εsgns-ks+CsA12X2)≤-ε‖s‖-

k‖s‖2+‖s‖‖CsA12X2‖

(30)

3.2 模糊滑模控制

选用饱和函数sat(s)代替符号函数以降低滑模抖振。饱和函数为

(31)

式中饱和函数参数δ>0。

(32)

(33)

式中：NB为负大；NM为负小；ZO为零；PM为正小；PB为正大。

模糊系统的输入输出隶属函数如图2、3所示。模糊控制规则设计如表1所示。

图2 输入隶属函数图

图3 输出隶属函数图

表1 模糊控制规则表

(34)

式中G为比例系数，根据经验确定。

根据式(30)可得：

k‖s‖2+‖s‖‖CsA12X2‖

(35)

图4 模糊滑模控制系统结构图

4 结果与讨论

通过COMSOL软件建立压电悬臂梁的有限元动力学模型，将压电梁划分为6个单元，对压电悬臂梁的一端进行完全固支，形成悬臂梁边界条件。压电悬臂梁的材料参数如表2所示。表3为计算与仿真固有频率结果比较。由表可知两者基本吻合。

表2 压电悬臂梁的材料参数

表3 计算与仿真固有频率结果比较

图5为原系统和降阶模型频响曲线。由图可知，压电悬臂梁模型状态从24阶降到8阶，两者频响曲线基本一致，说明降阶模型与原系统具有相似的输出特性，并保留了原系统的主要模态，该降阶系统在频域上对原系统有很好的近似效果，验证了降阶方法的有效性。以降阶模型为对象，在梁的自由端施加15 mm的初始位移激励，利用仿真验证模糊滑模控制器的有效性。

图5 原系统和降阶模型频响曲线

图6为未控制时仿真结果。由图可知，压电悬臂梁在受到外界初始激励作用下会产生较大振动，在自身阻尼的影响下2 s后停止。随着振幅的减小，传感器电压逐渐减小。图7为滑模控制参数k不同时曲线比较。图8为滑模控制参数ε不同时曲线比较。由图7、8可知，压电悬臂梁施加滑模主动控制后，振动得到明显抑制。当ε=3时，指数趋近参数k值越大，振动抑制效果越好，但不能改善滑模抖振现象。k=5时，ε越大，曲线趋近于0时速度越快，振动抑制时间越短。

图6 未控制时仿真结果

图7 滑模控制参数k不同时曲线比较

图8 滑模控制参数ε不同时曲线比较

随着ε的增大，施加在作动器上的控制电压产生的抖振越明显。指数趋近参数k主要影响趋近模态，ε主要影响滑动模态，当系统状态远离滑模面时，k值越大可使其快速到达滑模面。ε值越大,使系统状态趋近于滑模面时的速度越大，且在滑模面滑动时抖振也越大。因此，选取合适的k和ε可使系统状态快速到达滑模面,并减小抖振。

引入模糊规则适时调节切换增益ε，设置ε=3,k=5,G=900。图9为滑模控制和模糊滑模控制比较。由图可知，单纯使用滑模控制时振动抑制时间更短，但抖振较大，引入模糊规则后，施加在作动器上的最大控制电压减小，且能有效地降低抖振，但调节时间增加。由于符号函数不连续，因而模糊滑模控制时作动器输入电压还是存在较小的抖振。