单元教学统领下的乘法公式教学设计*

刘 健

（黑龙江省大庆市教师发展学院 黑龙江大庆 163000）

单元教学是实现深度学习的一种有效途径。初中阶段如何利用单元教学范式开展公式课学习，“乘法公式”是一个代表。公式也是一种命题，是用数学符号表达几个量的关系及规律的命题形式。公式课学习不是简单地让学生记住公式，而是要让学生经历发现问题再创造的过程，在过程中体现公式的意义和本质，感悟其中蕴含的数学思想。“乘法公式”的学习过程为后续学生独立自主地研究陌生的公式提供了一个研究范式。本文以“乘法公式”（参考北师大版本）为例，设计一个单元的教学。

一、教材解析

从教材内容分析：乘法公式是整式乘法的特殊情形，是整式乘法的延续和发展。教材一般采用分课时依次学习两个公式，先学习平方差公式，再学习完全平方公式。这样分课时的学习虽然有利于分散难点，逐个突破，但容易忽略知识之间的联系，使得所学习的知识是碎片化的，缺乏整体性，不利于学生形成良好的知识结构。单元教学可以在知识的整体性上抓住研究路径和方法，引导学生主动建构知识结构，利用原有的知识探索发现新知，进而同化和顺应新知识的过程。

乘法公式在教学中的难点是对乘法公式结构及公式中等号的再创造、再认识。突破难点的关键是让学生在乘法运算及几何图形解释过程中理解结构特征及等号存在意义。两个多项式相乘的公式结构特征的不变性是统领本单元研究问题的大概念。

二、目标定位

第1课时：主要引导学生探索并推导平方差公式和完全平方公式，重视学生对公式的认识，理解算理及几何推理。渗透分类讨论、数形结合的数学思想。

第2课时：能够在符号变化中正确辨析公式，体会字母可以是数也可以是式，加深对字母广泛性含义的理解。

第3课时：设计综合性习题，进一步增强辨析能力，能够在复杂的题目中找到符合公式结构且能运用公式的式子，体会利用公式结构的不变性解决问题的简洁性。

教学重点：①探索并推导乘法公式，理解公式的本质，体会乘法公式结构的不变性。

②灵活运用公式进行简单的计算。

教学难点：①对乘法公式结构的不变性的再创造、再认识的过程。

②理解公式中的字母含义的广泛性，能正确辨析要计算的代数式是否符合公式结构。

三、教学过程

第一课时

1.复习引入

活动1：发现多项式乘法的特殊形式。

问题1：完成下列计算，观察式子及结果，你有什么发现？

（1）(4a+1)(a+b)（2）(2x+1)(x-2) （3）(x-3)(x-3)

（4）(x+1)(x-1)（5）(m+2)(m+2)（6）(2m+1)(2m-1)

问题2：你能将上述式子进行分类吗？说出你的分类标准。

处理方式：问题1，独立完成计算。问题2，学生先独立完成，再小组交流，重点交流你是怎么分类的，分类标准是什么？

设计意图：问题1的设计让学生先经历从一般到特殊的过程，在计算过程中发现多项式乘法的特殊形式。问题2，引导学生观察式子的结构特征进行分类，并语言描述分类标准，发现规律，引发猜想，进而激发学生的研究热情，探索具有特殊形式的多项式乘法，自然、合理地引出新知。

2.探索新知

活动2：公式探究

（1）探究平方差公式

问题3：请你举出形如式子（4）（6）的多项式乘法，并计算结果，观察式子，你有什么猜想？验证你的猜想。

（4）(x+1)(x-1) （6）(2m+1)(2m-1)

归纳1：文字叙述：__________________________

乘法公式1：(a+b)(a-b)=a2-b2

问题4：如图1-1、图1-2所示，你能根据图形的面积解释平方差公式吗？

图1-1 几何解释

图1-2 几何解释

设计意图：学生举例的过程就是学生对平方差公式结构特征再认识的过程，能正确举例就说明初步掌握了公式特征，为归纳一般性结论做好铺垫。举例过程中，让学生体会从特殊到一般的研究思路。利用几何图形解释公式对有些学生有难度，所以采取先独立思考再组内交流的学习方式，目的是让学生在交流过程中深挖掘自己思考的过程，培养学生高阶思维。利用整式乘法运算法则和几何图形两种方式说明了公式的正确性，建立起代数与几何内在的联系。GeoGebra辅助教学，让学生能够在图形动态变化的过程中解释公式的正确性，直观的动画效果能够让学生更深入理解公式。

（2）探究完全平方公式

问题5：类比平方差公式的研究过程，完成形如（3）（5）式子的研究过程。

（3）(x-3)(x-3) （5）(m+2)(m+2)

归纳2：文字叙述：________________________________

乘法公式1：(a+b)2=a2+2ab+b2

问题6：如图2-1、图2-2所示，利用图形的面积解释完全平方公式。

图2-1 几何解释

图2-2 几何解释

处理方式：学生先独立推导，然后合作交流、展示，教师用GeoGebra（图形计算器）。

设计意图：问题5，类比平方差公式的研究过程，学生独立开展研究完全平方公式，目的是培养学生的迁移能力，进而发展到遇到一个新的公式能够类比曾经研究公式的经验独立研究问题的能力。

3.例题

利用乘法公式进行计算。

（1）(3x-2y)(3x+2y)（2）(4m+n)2

4.巩固运用

（1）将下面各式按要求填空（填序号）。

（1）(m+1)(1+m)（2）(-a+b)(-a+b)（3）(2a+b)(b-2a)

（4）(3+2x)(-3+2x)（5）(1-2y)(1+2y)（6）(2-x)(-x+2)

符合平方差公式结构的式子：_______________；符合完全平方公式结构的式子：_______________。

（2）分别利用乘法公式进行计算。

（1）(2a-3b)(3b+2a) （2）(x-3y)2

设计意图：在学生独自完成题目的过程中，教师要观察学生能否准确找到公式中的a和b对应的数或者式，并运用公式进行计算.同时让学生总结运用公式的经验，以及运用公式解决问题应注意的事项。

（3）学生自编题目，要求其他同学辨析乘法公式，并能给出正确答案。

设计意图：学生只有明晰公式结构才能编出合理的题目，自编题目的过程可以加深学生对公式结构的进一步认识。

5.归纳小结，思维提升

（1）平方差公式和完全平方公式的结构特征？（2）运用平方差公式和完全平方公式的注意事项？（3）你还有什么收获？

设计意图：通过总结归纳，能够让学生归纳本节课的内容，进一步记忆完全平方公式和认识公式的特征，为运用公式积累经验。

6.布置作业

研究性作业（选做）：多项式乘法的法则是(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，你能否从多项式乘法法则中式子a，b，c，d的特殊情形出发，如a=c或者b=d，开展研究多项式乘法的特殊情形，观察研究成果，你有什么发现？回顾研究路径，你有什么收获？

设计意图：让有能力的学生展开研究，体会研究数学问题的一般思路——一般到特殊。引入新知之所以没有这种方式，是因为这种引课过于抽象，分析过程对于七年级的大多数学生有困难。

第二课时：1.复习回顾

问题1：上节课我们学习了几个乘法公式，请你说出来，并用你喜欢的方式描述公式的特征。

问题2：下列各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？

（1）(a+3)(a-3)=a2-3 （2）(-x+y)(x+y)=y2-x2

（3）(2-x)2=4-x （4）(5+m)=25+m2

问题3：利用乘法公式进行计算

2.例题

例1：利用乘法公式计算，指出对应公式中的a和b分别是什么？

（1）(m-n)(-m-n) （2）(-a-b)2

例2：利用乘法公式计算，你是怎么做的？

（1）(2a-b-1)(2a-b+1)（2）(x+y+z)2

例3：利用乘法公式计算：

（1）61×59（2）1012

3.巩固运用

练习1：运用乘法公式计算：

练习2：运用乘法公式计算：

（1）(2m-n-2)2（2）(x-y-1)(x-y+1)

（3）582（4）103×97

4.归纳小结

①请你说一说对乘法公式中a，b的广泛含义的理解。②乘法公式都有哪些应用？③关于乘法公式你还有什么疑惑的地方？

5.布置作：选做题

（1）如图3所示，请你设计一个几何图形解释(x+y+z)2=x2+y2+z2+2yz+2yz+2xz。

图3 几何解释

（2）思考：(a+b)2与(-a-b)2相等吗？(a-b)2与(b-a)2相等吗？(a-b)2与a2-b2相等吗？为什么？

第三课时

1.复习回顾

①请你写出乘法公式，指出公式结构的不变性的含义。②请你说一说公式中字母a，b的广泛含义。③利用乘法公式计算：

（1）(9xy-2)2（2）

（3）732（4）9972

2.例题

例1：计算：

（1）(2x-1)2-2(x+3)(x-1) （2）(x+3)(x-3)-(x-3)(x-2)

例2：利用乘法公式计算：

（1）(x+3y-1)(x-3y+1) （2）(a+5)2-(a-5)2

3.巩固运用

练习1.计算：

（1）(m-1)(m-2)-(m+2)(m-2)（2）(2-x)2+(2+x)2

练习2.利用乘法公式计算：

（1）(x+y-1)(x-y+1) （2）(2-x)2-(2+x)2

（3）4(a-2b)2-4(a+b)(a-b) （4）(x-y)(x+y)(x2+y2)

4.归纳小结

①乘法公式与整式乘法有什么联系？②关于乘法公式的学习过程中你有什么收获？③对于整式的乘法，你还能发现哪些多项式相乘的式子和结果有规律？你将怎样展开研究？

5.布置作业

选做题：我们知道，(a+b)2=a2+2ab+b2，由多项式的乘法你能计算：(a+b)3=？

观察计算结果的项数和系数，你有什么发现？你能直接写出(a+b)4的运算结果吗？

结语

乘法公式教学利用单元教学的范式，将两个分属不同课节的平方差公式和完全平方公式放到一起进行研究，在整式乘法运算的基础上，通过对研究对象的分类，完成两个乘法公式结构的认知过程，教学过程始终建立在整式乘法的基础上，形成相对完整的教学单元，打破了以往的教学模式，研究对象间的紧密联系得到凸显。本单元设计了三课时，围绕大概念---乘法公式结构不变性开展教学研究，力图表达清楚如何在单元统领下开展公式教学，引导学生自己构建数学知识结构，让学生在学习数学的过程中润物细无声地落实数学核心素养。