力密度法在空间索面人行悬索桥主缆找形分析中的应用

朱友铠

（西华大学建筑与土木工程环境学院，四川 成都 611730）

0 引言

近年来，随着我国旅游业的高速发展，人行悬索桥由于其强大的跨越能力和优美的结构形式广泛地应用于中西部山区和部分旅游景区。目前,对悬索桥主缆线路形的计算基础理论研究,大致包括了传统的抛物线基础理论、分段抛物线基础理论、分段直线基础理论以及分段悬链线基础理论等,在忽视了主缆抗弯刚度的因素下,以分段悬链线基础理论较为准确[1]。平行索面悬索桥几种设计方法的误差探讨已较完善，如唐茂林《大跨度悬索桥空间几何非线性分析与软件开发》[2]。而关于空间索面吊桥各设计理论的最大误差及其应用情况的探讨,目前国内研究尚缺乏。本文对力密度法在空间索面悬索桥主缆找形分析中的应用进行介绍。

1 力密度法

1.1 力密度法的概念

力密度法是一个高效的索膜结构找形方法,所谓“力密度”便是杆单元内力和长度之比，由H.J.Shcek首先提出，并用于索网与膜结构等建筑物的找形分析，后来针对膜结构的特点，L.Grunidg等人改进并推广了该理论[3]。通过对节点平衡方程组加以适当的变化,在引入力密度法后可以将非线性方程组化为一次方程组，在简化运算的同时，也提高了运算的速度和精确度。通过选取所预期的力密度值作为平衡方程中的已知值,从而获取有关节点位置的线性方程组,进而求出节点的三维坐标,便可得出所欲解析结构的几何线形,并同时求出各单元的内力及无应力长度,通过该方法规避了初始坐标系的设置和非线性控制系统的收敛两大问题。

1.2 力密度法的基本原理

在基于力密度法的找形计算中,主要基础技术参数包含:单元与节点之间的拓扑联系、边界约束要求、平衡内力分布和平衡条件下的结构几何形状，结构的拓扑联系确定了结构单元和连接节点之间的规律和次序[4]。

根据力密度的基本原理，将描述各单元与节点联系的拓扑矩阵定义为：

式中：e——单元编号，取值范围为[1，m]；

i——节点号，取值范围为[1，n](n为自由节点和固定节点之和)；

Ct——有m行和n列。

以x方向为代表,假设节点位置由n维向量{x}组成，则得到各节点的位置差矢量{u}为：

设单元长度和单元内力的m维向量分别为{l}和{t},外荷载向量为{P}。取属于{u}和{l}的对角矩阵[U]和[L]，即可表示各节点的合力均为零。其中[U]属于{u}的意义为将m维矢量{u}转化为m×m维的对角矩阵[U]。则结构平衡关系表达式为：

令：

则可以得到等效于式（3）的方程。

此时力密度为m维的矢量{q}为单元内力与单元长度之比。据式（4）可得出平衡方程为：

据：

式中：[Q]——属于{q}的对角矩阵，将式（6）代入式（5）后得：

令：

则式（7）改写为：

式（8）为力密度法的基本方程组。式中，n维方阵[D]是[Ct]的广义高斯变换，对角矩阵[Q]的元素为力密度，若结构中不存在孤立点，且q>0，则[D]为正定矩阵。

对于任何一个既定的荷载体系，就有一组与之相对应的力密度值，且在这组力密度下的荷载体系拥有其唯一平衡形态：

单元内力{t}为：

对于既定的结构内部关系即为拓扑矩阵，在已知的荷载和边界条件下，矢量{q}和平衡形态的改变保持同步。由此可见，根据力密度法对空间索面悬索桥主缆结构体系进行描述是适用的。

2 程序实现

2.1 力密度法找形基本假定

分析与设计程序中，假定：

（1）材料遵循胡克定律，应力-应变呈线性关系；

（2）主缆属于既不受压也不受弯的理想柔性，因主缆的截面尺寸与索长相比非常小，所以截面的抗弯刚度在计算中可以忽略不计；在索曲线有转折的地方，如果转折的曲率半径足够大，那么局部弯曲同样忽略不计；

（3）由于悬索桥主缆横截面积在外荷载作用下变化量十分微小，因此在计算缆索变形时主缆的抗拉刚度忽略这种变化带来的细微影响[5]。

2.2 空缆缆型求解

由于空缆主跨垂度为已知量，因此可以将主缆的垂度作为迭代求解的重要依据。在此过程中，其他所需基本参数如下：单元数、节点数、边界条件、节点荷载数、主缆自重集度、垂度、弹性模量、力密度区间及收敛限等。主缆线形求解流程如图1所示。

图1 主缆线形求解流程图

将上述参数进行编辑，利用Matlab软件的强大的矩阵运算功能进行编程求解。根据力密度法，则式（10）可改写为：

由式（12）~（14）则可以求出任意张力体系下自由节点的坐标，从而获得体系平衡状态的精确位置。当悬索桥主缆的荷载及约束条件确定后，主缆的最终状态也是唯一的。因此，在此方法中，以主缆垂度作为控制条件，找到一组合适的力密度值，进而完成各索段的循环分析。

3 工程算例与找形结果分析

本文以某空间索面悬索桥为工程背景（见图2），该桥仅在跨中495m长度范围内设加劲梁，两侧分别有55.0m和60.0m无吊索区。主塔为非对称设计，一侧主塔塔顶高程为891.0m，主缆横向间距为3.0m；另一侧主塔塔顶高程为911.0m，主缆横向间距为30.0m；中跨主缆跨中在恒载作用下成桥垂度为50.0m，成桥矢跨比为1/12。

图2 桥型布置图

该桥设置上游、下游两根主缆，主缆采用预制平行钢丝索股，每股由91根直径为5.3mm镀锌高强钢丝组成，钢丝标准抗拉强度不小于1960MPa，每根主缆由37股索股组成。

针对该桥空缆线形的确定问题，基本参数如下：索塔高差h=20m，主缆计算跨径L=600m，无应力长度分别为609.5841m和609.8555m，等效直径D=307.537mm，等效横截面积A=0.07428m2，弹性模量E=1.98E+5MPa，沿主缆弦线的自重均布荷载为q=5831.1N/m。单幅空缆状态线形计算结果见图3。

图3 悬索桥单幅空缆状态计算线形

为验证本文采取的力密度法应用于空间索面悬索桥主缆找形研究的正确性，根据计算结果采取Midas/Civil有限元软件对其建立有限元模型并进行自平衡校验。Midas/Civil有限元模型见图4，主缆位移分析结果见图5。

图4 中跨空缆有限元模型图

图5 单幅空缆状态位移分析结果

从主缆横桥向和纵向位移结果可以看出：基于力密度法理论建立的Midas/Civil有限元模型静力分析中主缆横桥向位移均小于0.01mm；主缆竖向位移最大值仅为3.047mm，表明力密度法应用于空间索面悬索桥主缆找形得出的计算结果精度高，且满足工程精度要求。

4 结束语

通过对力密度法的推演、程序实现以及依托工程的算例分析，得出以下结论：

（1）力密度法在空间索面悬索桥主缆进行找形分析中具有较强的适用性和可靠性，能将计算结果应用于施工流程中，同时成为施工作业的指导性资料，能更有效地帮助空缆架设的顺利进行。

（2）力密度法及本文基于力密度法的实现程序，对其他类型悬索桥同样适用，根据力密度法原理，力密度在结构体系各单元中的分布规律和相对值才是真正影响找形结果的因素，因此，通过计算迭代得出一组合适的力密度值，不仅规避了初始坐标问题和非线性系统的收敛问题，而且进一步证实了力密度法在空间索面悬索桥主缆找形分析中具有收敛稳定、高效率和高精度的特点。