线性代数中两个重要定理的证明注记

王卿文， 杨建生， 张崇权

(上海大学 数学系，上海 200444)

1 引 言

矩阵的相抵标准形定理和Sylvester惯性定律是线性代数中的两个最基本的重要定理， 发挥着极其重要的作用， 譬如， 可用矩阵相抵标准形中数字1的个数定义矩阵的秩， 通过矩阵相抵标准形给出齐次线性方程组解空间基的简便求法和广义Sylvester矩阵方程可解的实用判定条件等; Sylvester惯性定律则表明几何中的二次曲面经过可逆线性变换不改变曲面原本的类别. 游宏和朱广俊教授首次利用矩阵分块的方法给出了唯一性的直接证明[1]. 关于Sylvester惯性定律， 传统的证明[2]是假定二次型的规范形不唯一， 构造具有非零解的线性方程组， 利用反证法给予证明; 文献[3]利用生成子空间和维数公式给出了一种证法; 文献[4]借助Courant-Fischer定理给出了一种变型后的Sylvester惯性定律的简化证明.

中国现代数学之父华罗庚曾说: 国外把我说成是玩矩阵的魔鬼……表面上你看我搞的是多复变函数、典型群、自守函数、偏微分方程等， 实际上骨子里还是我的矩阵技巧[5]. 矩阵的分块是以华罗庚为代表的中国代数学家从事科学研究的杀手锏. 矩阵的分块在其它领域也有重要的应用， 例如计算科学中， 对矩阵进行适当分块可显著减少计算的复杂度. 本文利用这一思想和方法， 给出了矩阵相抵标准形唯一性的一种直接证明. 较文献[1]， 笔者利用了矩阵相抵的传递性及矩阵分块技巧， 所给证明更为简洁. 同时， 基于矩阵的不同分块， 本文从不同角度给出了Sylvester惯性定律的非常简单的证明.

以下约定: r(A)表示矩阵A的秩.

2 矩阵相抵标准形唯一性与Sylvester惯性定律证明注记

2.1 矩阵相抵标准形唯一性的证明

定理1(矩阵的相抵标准形定理) 设A为m×n矩阵， 则A可以经过一系列初等变换化为

(1)

其中r是满足0≤r≤min{m，n}的整数， 且唯一.(1)称为A的相抵标准形 (或等价标准形).

证仅证唯一性.若矩阵A的相抵标准形(1)不唯一， 即还有一个相抵标准形

不妨设r≥s， 由相抵的传递性， 则必有可逆矩阵P，Q使得

(2)

对P，Q作适当地分块

其中P1，Q1均为s阶方阵.将上式代入(2)得

于是

由于P1可逆， 故由P1Q2=O得Q2=O， 从而P3Q2=O， 所以r=s.

2.2 Sylvester惯性定律的证明

先回顾一下齐次线性方程组的一个常用结果:

引理[1]设A为n×m矩阵， 则齐次线性方程组xA=0有非零解的充分必要条件是r(A)

定理2(Sylvester惯性定律) 设任意n阶实对称矩阵A分别相合于

其中r=r(A)， 则p=q.

证用反证法， 不妨设p

PUPT=V.

(3)

根据对P的不同分块， 可产生如下证法:

法1设

其中P1为q×p矩阵， 则r(P1)≤p

同时又有

由此得

矛盾.

法2对(3)中的P作如下分块:P=(P1，P2)， 其中P1为n×p阶矩阵.令

则有r(Q)≤p+(n-q)

x0P1=0，c2=0，c1≠0.

于是

注意到

矛盾.

若令(Iq，O)P∶=(P1，P2，P3)， 其中P1，P2的阶数分别为q×p，q×(r-p)， 则可得另外一种简单证明， 请读者自行完成.

3 结 论

矩阵的分块是线性代数中的一个重要工具， 但一般线性代数教材未能充分用其处理相关重要问题. 本文给出了矩阵相抵标准形唯一性定理和Sylvester惯性定律的非常简捷的证明， 进一步凸显了矩阵分块思想的强大威力.

致谢作者感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.