分析数学课程的可视化教学设计探讨

徐定华， 刘 单， 刘可伋

(1.上海财经大学数学学院，上海 200433； 2.浙江理工大学理学院，杭州 310018)

1 引 言

分析数学课程是大学阶段核心数学课程，主要包括数学分析、实变函数、复变函数、泛函分析、常微分方程、偏微分方程、傅里叶分析等，其思想、理论和方法成为了新时代培养学生创新能力、促进科技发展的主要动力源.

数百年的发展铸就了分析数学课程理论丰富、应用深刻的经典特征.分析数学课程的核心内容为抽象对象，具有完整、严格、精确的理论体系，且都蕴含了物理学、生物学、医学、材料学、军事学、天文学等学科中丰富的科学现象和深刻规律.学习计算数学、随机数学的新思想、新应用，都源于这些分析数学课程.

在新时代背景下，分析数学课程具备了思想性、应用性、交叉性的时代特征.分析数学课程中的众多数学思想为科技发展提供了源源不断的动力.以人工智能为例，其发展的根本是数据驱动核心算法的创新，算法的创新需要建立在对经典数学思想的深刻理解和数学模型特别是微分方程与动力系统模型之上.当前数学与科技前沿的诸多领域都存在深度的融合，数学学科的覆盖范围持续扩大，科技发展和升级将显现出对数学深度应用的强烈依赖.

这给“传统”的分析数学课程教学提出了新挑战、新要求.同时，分析数学课程难学难教，推证复杂，影响了数学思想与理论知识的掌握，影响了活学活用数学.笔者长期思考与实践，经过调研和分析，存在的共性问题主要表现在：传统教材偏重数学知识与理论方法的剖析，传统教学方法偏重知识传授与学习理解，往往是满堂灌、照本宣科，这与国家需求联系得不够紧密甚至脱节，难以满足国家需求，难以培养行业急需的人才，难以打通“最后一公里”.传统教学方法缺乏理论方法的源头分析、发展过程、应用案例与前景的启发式讲授，导致学生学习价值观发生偏斜，影响了良好学习效率和正确价值观的养成.分析数学课程的应用性与基础性如何并存和学生创新能力与实践能力如何培养等问题，往往没有很好地解决.

产生这些共性问题的根本原因主要是数学教学传统惯性大，与时俱进稍显不足，高校教师的创造性和学生的主动性没有充分发挥等.著名科学家、教育家钱伟长强调：“大学教育要改变目前这种因循守旧的状况，使教育培养出来的人都能带着满脑子的问题进入社会，在工作中创新、改革.大批具有创新意识的人不断地在实践中探索问题解决问题.国家就会兴旺，社会就会大步前进.”[1]

如何破解这些问题？分析数学课程教育应该顶层设计，方法独到，追求卓越，应构建并强化从理论方法到实际应用的创造性思维方式，增进学生对数学相关交叉问题的了解，培养学生数学建模、模型求解的能力[2].针对这些问题，数学界同行开展了系统、长期的教学改革与实践探索，积累了丰富的数学教育成果，其中可视化教学在近二十年得到了应有的重视，在可视化教学设计、可视化资源建设、可视化教学方法、学生创新能力培养、可视化资源应用等方面成果卓著[3-4].

本文将总结十余年来作者在分析数学课程教学设计与可视化教学的思考与探索，提出分析数学课程的教学设计思路、内容与要求，剖析可视化教学方法要点.基于自身的实践案例，例析若干门数学课程的可视化教学设计和相应教学策略，以期引发同行探讨和共鸣.

2 分析数学课程的教学设计思路与可视化教学策略

该如何开展分析数学课程的教学设计，如何在夯实学生数学基础的同时培养学生的实践能力和创新能力？教学设计思路至少包括以下三点：

第一，重源流分析.数学教学若只关注理论知识讲授，常常会陷入概念、定理、证明的“流水账”式灌输的怪圈，容易使学生产生厌学、放弃等消极态度.针对这种情况，在教学设计中应增加对数学思想方法的应用背景、形成过程、发展沿革、应用领域的源流展示，旨在激发学生的学习兴趣，增强自主学习动力，夯实数学基础，加深对数学理论与方法的理解.

第二，重交叉融合.数学教学若只关注数学学科内在知识体系，忽略了与其他学科专业之间的链接，容易让学生产生知识“孤岛”感，影响学生对数学理论与方法的理解.为弥补不足，在教学设计中应开发、应用案例，通过图像、动画等的展示，调动学生的感知感化和创造性思维，践行“应用导向，问题驱动”，促进学以致用，激发学生的创造力.

第三，重多样化教学方法.类比、联想、归纳、演绎等教学方法，在教学中起到非常重要的作用.在此基础上，应采用启发式、探究式教学方法，通过研究性课题、小组讨论、汇报等方式，培养学生的实践能力和创新能力.鼓励学生充分利用网络资源进行网上学习，扩展数学相关交叉学科的知识面，开阔眼界，培养学生的创新精神.

坚持教学设计思路，提出并实施了可视化教学.分析数学课程教学设计要秉承数学理论与交叉学科、数学建模、计算模拟相融合的设计理念[5].为此，教学设计已经成为一个愈发具有挑战性且多学科交融的复杂过程.在这一过程中，无论是数学思想的展示、模型的求解，还是研究性学习，都可通过多维度表达相互协作，依托可视化教学得以实现.可视化教学是从科学计算可视化等发展起来的一种教学手段.可视化教学(Visual Instruction)研究如何利用图形图像、动画视频等视觉表征手段和思维导图、知识地图等视觉认知辅助工具，将抽象的教学内容具体化，并经由相应的教学活动内化为学习者认知结构.可视化教学丰富了数学的表现形式，展示了数学的美及感染力[6-9].

在分析数学课程教学中，可视化教学细化到了知识可视化、数据可视化、结果可视化、物理规律可视化等.坚持可视化教学设计不是一种技术的应用和可视化研究领域的简单拓展，而是一种教学设计思维方式的转变.具体策略如下：

第一，强调数学内容的创意处理与数学理论的合适表达.瞄准学生认知激发、知识构建、创新能力培养的目标，增强学生的认知能力和构建知识间联系是可视化教学的基本目标，它贯穿于可视化教学设计的始终.据此，在数学内容处理上体现数学思想美和数学应用的巧妙结合，并在图形表达上力求生动、清晰、正确.数与形的结合让深奥内容易懂，学生透彻理解数学理论与方法，同时，数学思维能力和创新能力得到充分锻炼.

第二，搭建可视化教学环境，建设可视化教学资源，设计可视化教学策略，实现可视化教学互动.建成了可视化教学案例和可视化图库，并充分利用这些可视化素材，搭建课前导学模块和课后扩展模块，激发学生的学习兴趣，挖掘学生的创造潜力.在授课中穿插启发性思考题，以此激发学生的求知欲与数学思维能力.建立了研究性课题库，培养学生数学建模、模型计算的能力.

3 可视化教学设计案例举例及教学模式

选取四门分析数学课程中的典型教学案例来剖析可视化教学设计与实施策略，分别是Fourier级数求和公式、复变函数的图像、积分方程的不适定性、外力作用下的弦振动方程.

在传统的教学方式下，学生对这些概念、公式、性质、现象等存在较大认知难度.为了从根本上解决上述困难，基于可视化教学，采取了该教学模式[5](Background integration融合背景，Idea interpretation剖析思想，Multidimensional description多维表达，Multilevel training多层训练)，旨在“体现数学思想，提炼数学方法，剖析数学难点，展示数学应用”，寻求教学上的新突破.

案例1 概念公式的可视化——Fourier级数求和公式

Fourier级数理论在现代分析学中占有核心地位.它在Hilbert空间正交基的研究、电子技术、信号处理等众多领域都有广泛的应用，在微分方程、积分方程的求解方面更是起到了基础性的作用，但多数同学对Fourier级数的掌握程度较差.针对这一现状，通过可视化技术，呈现Fourier级数的“真实面貌”，旨在加深学生对这部分知识的理解.可视化教学设计如下：

(i) 追踪溯源.早在18世纪初，数学家Taylor用幂级数表示函数f(x)，称为Taylor展开.然而，函数的Taylor展开在工程应用中具有较大的局限性，表现在Taylor多项式

仅在x0附近才与函数f(x)吻合较好.在授课过程中，教师可以通过几个应用实例来强调逼近思想的重要性，即用简单函数(幂函数)近似代替复杂函数的数学思想，这在实际应用中具有非常重要的意义.

(ii) 通过类比与联想的方式讲授.基于此，启发学生思考：还有哪些函数是“简单”的？否能找到在更大区间上与复杂函数吻合较好的简单函数呢？在分析三角函数系的基础上，给出Fourier级数的定义、性质以及将一个函数展开为Fourier级数的方法，这样的处理自然、亲切、有启发性.

(iii) 采用对比分析和数值可视化方法，加深对Fourier级数的理解.回忆幂级数的部分和：有限个幂函数的线性组合，是一个多项式.这对学生而言，多项式的函数图像不难画出来.而对Fourier级数的表达式

图1 函数的Fourier级数逼近

学生很难看清其部分和的函数图像.因此，引导学生通过Matlab软件进行数值模拟，画出了函数的Fourier级数部分和的图像.例如考虑函数

其Fourier部分和为

对不同的N，画出Fourier级数的部分和图像.从图像上可以较为清楚地看到，与幂函数的逼近情况不同的是，Fourier级数的部分和在整个区间(-π，π)上与函数f(x)的吻合程度更高，并且N越大，逼近的程度越好.

(iv) 针对Fourier级数逼近思想，学生展开多层训练.鼓励学生利用数学软件实现其他函数的Fourier级数部分和的可视化，并启发学生思考：如何才能保证Fourier级数收敛到函数本身？引导学生查阅Fourier级数在电子通信、信号处理中应用的相关文献，学习建模方法和体会Fourier级数在模型求解中的重要作用.

案例2 抽象对象的可视化——复变函数的图像

复变函数课程内容抽象，侧重理论分析，给学生的学习带来诸多困难.从函数图像的角度来看，复变函数实质上是一个四维空间中的函数.因而，传统教学中，往往不通过作图的方式来理解复变函数.下面以初等解析函数与初等多值函数相关章节的内容为例，将数学分析中的实值初等函数在复数域上做推广.可视化教学设计如下：

(i) 理论剖析.运用启发式教学方式，引导学生思考如下问题：曾经学过的初等实值函数是否能推广到复数域中？推广后，函数的性质会发生什么样的变化？通过课堂的讲授，使学生掌握复值函数的定义和基本性质.

图2 复值正弦函数ω=sinz的函数图像 图3根式函数的函数图像

(iv) 实践能力培养.实现复变函数的可视化是具有一定技巧性的，除了需要学生有良好的数学基本功，对编程能力也提出了一定的要求.教师可建议学生在学习复变函数的过程中，经常使用复变函数的可视化技术，思考如何通过编程计算复变函数导数、复变函数的积分、复变函数的展开等相关问题，这样既锻炼了编程能力，又加深了对复变函数的理解.

案例3 计算结果的可视化——积分方程的不适定性

在常微分方程和偏微分方程课程中，为了拓展学生的知识面，培养学生的探索精神，引入了当代数学相关前沿问题——基于微分方程的反演模型专题，它的应用领域十分广阔，如资源勘探、海洋工程、金融数学、识别与控制等.这里，举例说明一元函数的高阶导数计算是一类经典的反问题，它是不适定的，该难点可以通过可视化教学设计让学生学习富有成效.

(i) 背景介绍.从一些应用实例中的模型引入，如无损探伤、边缘提取、参数识别等，解释微分方程与积分方程的相互转化、数值积分与数值微分的本质与适定性特征.介绍发展历史与应用领域，激发学生对数值导数、积分方程的学习兴趣.

(ii) 对比分析.回忆常微分方程中有关解对初值的连续依赖性问题，偏微分方程中解的稳定性问题之后，阐述反问题的最大差别在于其不适定性.具体说来，反问题的近似解不一定存在；即便存在也不一定唯一；在应用中反问题的解往往不连续依赖于输入数据.众所周知，输入或测量的数据都是有误差的，反问题的不稳定性直接导致了近似解与真实解的严重偏差.此时启发学生思考：这种“不稳定”的反问题能不能找到近似解的“稳定”算法呢？

比如，函数导数问题可以转化为第一类Fredholm积分方程：给定g(t)，由积分方程

确定函数φ(t).设gδ(t)=g+δsinnt是g(t)的近似，对应的近似解为φδ=φ+nδcosnt.取δ充分小，可以保证输入数据的误差很小，即‖gδ-g‖C=δ.但近似解φδ与真实解φ之间的误差为‖φδ-φ‖C=nδ，这说明当n很大时，误差会很大.

(iii) 可视化展示.以上理论推导缺乏直观性，为了加深学生对不适定性的理解，使用Matlab软件，对上述理论结果进行可视化.如图4所示，两函数曲线靠的很近，说明输入数据的误差是非常小的.但是，图5中的真实解与近似解的图像，解的误差非常大.

图4 输入数据真实值g与近似值gδ 图5 真实解φ与近似解φδ

(iv) 指导学生查阅文献，开展研究性学习.开设了课程讨论班、暑假研讨周，指导学有余力的学生学习反问题的正则化理论，并学以致用解决工程技术、数据挖掘、智能制造中的反问题.

案例4 物理规律的可视化——外力作用下的弦振动方程

在偏微分方程课程中，分离变量法是求解偏微分方程的重要方法，也是教学的重难点.以波动型方程为例，通过方程的求解来探究两端固定的轻弦在外力作用下的振动规律.可视化教学设计如下：

(i) 背景与建模.通过介绍问题背景和物理定律，建立如下模型：

启发学生思考如下问题：该问题的解是否存在？若存在，如何利用已学知识求解？

(ii) 通过课堂讲授，学生掌握分离变量法的求解过程，并强调其蕴含的数学思想，即将偏微分方程的求解转化为常微分方程的求解，得到级数形式解为

启发学生思考：所有的初边值问题是否都可用此方法？高维的初边值问题如何应用分离变量法？

(iii) 可视化展示.对于级数形式的解，因缺乏可视性，学生很难理解它所反映的物理现象，也无法理解外力对弦振动的影响.因此借助Matlab软件，可给出不同外力下弦振动的数值模拟结果.特别地，取f(x,t)=e-αtsinβπx，a=1，φ(x)=ψ(x)=0.图6给出了在时间段t∈[0,1]上，对不同的α，β，解的可视化结果.

图6 不同外力作用下的弦振动情况

(iv) 围绕分离变量法，让学生展开多层训练.通过布置基础训练题，让学生熟练掌握分离变量法.对于课堂上设置的思考题，教师可通过线上讨论等方式，引导、启发学生探究问题的答案，训练学生的创造性思维方式.通过设置应用性课题，如桥梁共振、声波传播、雾霾扩散等问题，训练学生使用数学软件求解并实现可视化.

上述四门课程的典型案例结合了分析数学课程的特点和可视化技术，融合了数学思想、数学理论、数学建模、计算模拟，充分发挥了可视化教学在概念理解、理论剖析、结果解释、思维激发方面的优势.

4 可视化教学成效

十余年的探索与实践，表明可视化教学设计与应用可以显著提升学生的学习热情和学习效果.

可视化教学可将复杂的过程形象化，巧妙地支持了教学内容的精湛设计.可视化教学借助数学软件实现计算机的仿真模拟，通过图像、动画等方式展现数学中抽象、复杂、难以理解的对象，帮助学生透过复杂的数学公式看清本质，加深对概念、定理等的理解.从教师的角度来看，可视化教学从某种程度上提升了教学设计的效率.学生对许多抽象的理论(如定积分的思想、分形理论、级数的收敛与发散等)、复杂的过程(如热传导、反应扩散、产品的生产流程等)、物理规律(如地震波、水波的传播等)等内容的学习，有了获得感.受益的老师中有获上海市青教赛一等奖，浙江省教学创新及校级教学比赛获得者十余人.课程组指导的学生中，近五年发表论文6篇，毕业论文优秀率提高到了30%.

可视化教学的自主性与互动性，改善了“传统”的教法和学法.图像与动画的嵌入，让数学课堂告别了知识“满堂灌”，使教师可以更灵活地采用引导式、启发式、探究式的授课方式.这对启迪学生的思维，激发求知欲和创造力有着重要意义.可视化教学早已让“学习”的范围跳出了传统课堂，学生的学习方式在空间、时间的维度上都有了明显的扩展.网络课程、视频教学、教学平台等正改变着新时代学生的学习方式，学生由“被动”接受变为“主动”学习，这极大地促进了学生自主学习能力和终身学习习惯的养成.我们课程组主讲的线上课程、混合课程、线下课程受到学生欢迎，基于可视化课程资源的学习与研究的学生比例实现了全覆盖.

可视化数字资源丰富了教学内容，促进了教学模式的变革.分析数学课程可视化数字资源通常由电子课件、电子教材、教学案例、图形与动画、网课、慕课、微课等构成，它是师生共同的建设成果，并通过线上学习平台实现广泛共享.可视化课程资源为学生开辟了一个崭新的虚拟学习环境，学生不但可以随时随地地学习，还可以反复地学习.丰富的数字化资源支撑了全新的该教学模式，即通过融合背景，进行思想的剖析，利用可视化教学实现多维表达，让学生开展多层训练.该教学模式依托丰富的可视化数字资源，对扩展学生交叉学科领域知识面，提升建模分析能力以及实践能力具有明显促进作用.基于可视化教学资源的案例成果、该教学模式辐射应用到全国15所高校的专业建设和课程教学，有力支撑了新工科专业“数据计算及应用”的建设与发展.

可视化教学方式与传统教学方式相辅相成，显著提升了教学质量与学习成效.巧妙的可视化教学极大地丰富了数学的表现形式，让原本“沉闷”的课堂充满了感染力，进而提升了教学效果和教学质量.课堂上，学生的学习积极性被调动了起来，课堂参与度大大提升；课堂外，学生通过搜集资料、建模、计算机模拟等方式解决与课程相关的实际应用问题.可以说，可视化教学为分析课程教学搭建了一座从理论到实践的桥梁，是提升教学质量和学习成效的重要途径.修读课程的学生中，学习成绩优良率持续提升，由35%左右提高到了60%左右，不及格率约10%，成绩分布反映了理想的学习成效.学生创新能力和综合素质显著提高，毕业生考取研究生的比例提升了20%左右，开启了更高更远大的成长平台.

可视化教学不仅仅是教师教学设计的可视化，也是学生学习、创新训练的不可缺少的载体.学生通过分析课程作业和研究性题目，参与数学建模训练，借助可视化学习与研究，可极大地培养学生活学活用数学的兴趣、习惯和能力.在该教学模式下，分析数学课程已被打造成了“4A课程”——课堂活了起来(Active class)，学生忙了起来(Active students)，思维嗨了起来(Active thinking)，资源丰富了起来(Abundant resources)，既加深了学生对数学理论、思想和方法的理解，又拓展了数学思维，培养了创新能力.课程组教师的学生评价成绩优秀，位列前10%；专家评教给与了肯定.在学工微信公众号、课程QQ群里，学生给我们分析课程教学好评，溢美之词包括方法独特、互动很棒、生动有趣、精神饱满、胸怀长远、风趣幽默和引领学生成长，从可视化教学和研究性训练中受益匪浅.

5 结 论

本文在剖析新时代分析数学课程特点和现存主要教学问题的基础上，提出了分析数学课程的教学设计思路和可视化教学策略.基于四门分析课程的典型可视化教学案例，例析了基于可视化教学支撑起来的该教学模式.

长期教学实践表明，将交叉学科前沿、数学建模、计算模拟等融入到分析数学课程教学中，借助可视化教学构建了一种启迪思维、激发求知欲和创造力的教学模式.这是一种值得关注的和行之有效的教学模式.期待与同行们协同努力，将可视化教学模式打造成为枝繁叶茂、硕果累累的成功模式.

面向未来，作为数学学科的基础和核心，分析数学课程是夯实数学基础的重要载体.为对接国家的战略人才需求，打通人才培养的“最后一公里”，新时代的分析数学课程应赋予全新的时代特征，开创崭新的教学思路.数学学科的深度应用将进一步呼唤可视化教学设计，并使其在数学教育领域获得更长远的发展.如何通过优化可视化设计方案、丰富可视化数学资源、启迪学生数学思维、增强学生创造力，则是数学教育工作者持续思考、不断实践、创新发展的关键问题.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.