基于单元整体教学的数学探究活动设计与实施

栾长伟

（大连教育学院）

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）在教学建议中明确提出，改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现之间的关联。

当前，各版本教材中的数学知识遵循螺旋上升原则编排，具有系统性和完整性的特点，知识点之间互相关联。教师若仅关注课时目标，将教学内容分块呈现给学生，会导致学生学习知识不成体系。所谓单元整体教学设计，指的是教师从发展学生核心素养的视角出发，根据学生的知识经验、认知水平、心理特点等，将所要传授的教学内容进行整体分析，按照一定标准归纳整合为一个单元，确定单元主题，从而进行教学设计的一种方法。数学区别于其他学科的特点是其知识具有严密的逻辑结构，不能随意组合。唐彩斌、史宁中著的《义务教育数学课程标准（2022年版）解读》中提到，数学单元教学内容可以根据数学学科逻辑和学生学习逻辑来组织。在按照数学学科逻辑组织的教学单元中，单元主题的确定方式通常有三种：一是以重要的数学概念或核心的数学知识为主线组织，如“函数的概念”“数的成长”主题单元；二是以数学思想方法为主线组织，如“数形结合”“数学建模”主题单元；三是以核心素养为主线组织，如“数感的培养”“运算能力”主题单元。在按学生学习逻辑组织的教学单元中，通常以学习任务或者问题为主线来组织。

一、以数学概念形成为单元：从个性到共性的归纳过程

数学概念是数学知识发生、发展的起点。初中数学的核心概念常见有：数的概念（有理数、无理数、实数），方程的概念（一元一次方程、一元二次方程、分式方程），函数概念（一次函数、二次函数、反比例函数）等。

学生在探索数学概念的形成过程中，具有相对固定的探究步骤：第一步，建立多个不同对象，将不同对象进行分类。如有理数的分类是将小学生熟悉的各种数按照一定的标准进行分类，并将可以互相转化的小数、有限小数、无限循环小数统一成分数；将不能化为分数的无限不循环小数单独归为一类，即无理数，从而将有理数分为整数和分数。第二步，寻找所建立对象的共同特征，用文字或者符号进行描述。如单项式的概念形成过程分为三种情况：数字和数字相乘，即单独的一个数；数字和字母相乘，单独的一个字母可以认为是数字1与字母相乘；字母和字母相乘，系数为1。根据以上三种情况，我们可将单项式的概念描述为数字或者字母的乘积。第三步，对归纳的结论进行辨析与验证。如在教学人教版数学教材八年级上册“一元一次方程”时，以概念形成为单元就具有合理性。

【探究】请你选择合适的方法解决下列实际问题（只列式，不计算）

（1）用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？

（2）一台计算机已使用1700 h，预计每月再使用150 h，经过多少个月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h？

（3）某校女生占全体学生人数的52%，比男生多80人，这个学校共有多少学生？

（4）甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔各买了多少支？

（5）一个面积为16平方米的长方形，长比宽多6米，求长方形的长和宽各为多少米？

（6）A、B两地之间的路程为12千米，甲车速度是乙车速度的3倍，两车同时从A地出发，甲车比乙车早0.5小时到达B地，求甲、乙两车的速度各为多少？

【问题1】在6个问题的解答过程中，哪几个你使用的是算数法？哪几个使用的是方程？他们是否可以互相转化呢？

【问题2】经历以上列方程解决实际问题的过程，你能归纳用方程解决问题的一般步骤吗？

【实际操作】观察6个方程的结构特征，你能按照一定的标准对它们进行分类吗？请按照你的想法给这几类方程命名。

方程概念的形成过程贯穿于整个初中方程内容的学习。一元一次方程概念的形成过程是学生第一次经历方程概念的探究过程，教学中的6个问题强调了生活情境的设计与问题的提出：问题1的提出是因为学生在列式的过程中会出现算数法和方程法两大类算法，这时教师不要急于要求学生必须选择哪种方式进行列式，而是应在整体单元教学设计下，让学生逐步体会方程对于解决问题的优越性；问题2的提出是为了落实单元整体教学目标，将“从实际问题中抽象出数学问题”列方程建立数学模型解决实际问题，这一教学目标渗透到本单元每一课时之中，并将这一数学素养延伸到学生未来利用分式方程、一元二次方程解决问题的实践中。实际操作的设计是引导学生通过未知数的个数、未知数的次数、整式与分式等不同维度进行分类，引导学生从不同对象中寻找共性特征，这是培养学生归纳推理能力、创新意识的主要渠道。同时，学生类比此种研究概念的方法去学习方程与函数的其他概念，可以达成探究方法的横向关联性目标。

二、以法则探究形成为单元：从特殊到一般的递进过程

初中数学法则类内容在单元整体教学中占有一定比重。研究一类数就要研究它的概念和运算法则，从有理数的运算法则（加、减、乘、除、乘方）到整式的运算法则（幂的运算）的探究，均遵循了从特殊到一般，再到特殊的知识生成过程。在教学人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册“完全平方式”时，以法则探究为单元就具备合理性。

【探究】请计算下列多项式的积：

（1）（x+2）（x-2）= ________；

（2）（p+1）2=________；

（3）（3x+y）（3x-y）= ________；

（4）（2x+1）2= ________；

（5）（3m-n）2= ________。

【问题1】你能将等号左边的多项式按照一定的标准分成两类吗？

【问题2】请观察多项式的积，你能发现什么规律？

【问题3】你能再举几个例子验证你发现的规律吗？

【实际操作】请你类比平方差公式的验证过程，从代数和几何两个角度对你归纳的公式进行验证，并用文字语言和符号语言进行描述。

问题1的设置旨在培养学生的分类能力，建立大单元背景下的知识前后关联，学生通过等号左边多项式的结构特征，将其分为（a+b）（a-b）和（a+b）2两类。根据认知经验，学生确定一类是已经熟悉的，一类是不熟悉的、即将研究的新内容，即完全平方式。

法则归纳的核心是从特殊到一般，所谓特殊就是“举例子”，例子要有足够数量的同时，更要凸显其覆盖性。教材中有些举例不够充分，教师则要让学生切实经历公式的产生过程，经历观察、运算、猜想、验证的过程，积累数学活动经验。教师要展示公式的计算过程，在学生的思维中形成寻找公式共性特征的基点，总结出完全平方式，从而从代数和几何两个角度进行验证。其中，几何验证是学生的一个盲区，类比平方差公式的几何验证思路，教师可先出示一个边长为（a+b）的正方形（如图1），在此正方形上分别截取边长为a、b的正方形，证明剩下阴影部分为2ab即可。

图1

三、以命题探究形成为单元：从合情推理到演绎推理的发展过程

命题探究是图形与几何学习的重要组成部分。每一个命题的学习都不是孤立的，我们都应该将它置于图形与几何这个大单元的学习之中，从而寻找到几何学习的基本思路，即“定义—性质”和“判定—应用”。命题的探究应贯穿于整个几何学习之中，使学生经历设计真实问题情境，观察、操作、度量、证明这一完整的命题探究过程，丰富学生的数学活动经验，为学生建立严谨的命题推理过程提供思维基础，培养学生的合情推理与演绎推理，发展数学核心素养。笔者以人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册第十八章“平行四边形”为例，说明以命题探究为单元的合理性。

【问题1】观察学校电动门的开与关视频，你能找到视频中的常见几何图形吗？

【问题2】关于平行四边形，你都知道哪些关于它的结论？

【问题3】请你将手中的四边形卡片沿着一条对角线剪开，观察剪开后得到的两个三角形并进行实验操作，你能发现什么结论？写出你的猜想。

【实际操作】类比三角形性质的探究过程，请设计你的探究方案，并用文字、图形和符号等表示你得到的结论。

问题1展示了学生所熟悉的学校伸缩门的开关视频，使学生建立了真实贴切的问题情境，让学生感悟到平行四边形就在他们身边。在学生已有知识经验的基础上提出问题2，即通过设计开放性问题，使学生自主习得平行四边形的定义、面积等。其中，有些结论是学生通过观察得到的，并没有经历过探究与证明，如平行四边形对边相等、对角相等，这时教师就需要引导学生经历命题的探究过程。问题3中的四边形卡片，包括任意四边形和大小不等的平行四边形两类，在实际操作过程中，可以让学生感悟只有平行四边形的对边和对角才是相等的，这样就间接解决了部分教师对于平行四边形的性质是否需要经历度量过程的纠结。实际操作是从实验几何向验证几何过渡的过程。类比三角形的性质探究过程，教师可让学生经历猜一猜、用刻度尺量一量、用几何画板验一验，得到命题“平行四边形的对边相等、对角相等”。教师要引导学生书写文字命题的已知、求证，自己画图并完成证明过程，这种探究过程是发展学生合情推理，培养学生创新意识的主要手段之一。对于八年级的学生来说，他们已具备了命题证明的基本能力，因此教师可以完整写出命题的已知、求证与证明，引导学生：要证明一组线段和一组角相等，需要把两条线段和两个角分别放到两个三角形中，构造全等去得出结论。这是一个发展学生演绎推理的过程，更是证明命题中所蕴含的数学学习价值的过程。

综上所述，在初中数学教学中有意识地建构以单元整体教学为主线的教学设计，对提高课堂效率、兼顾数学知识与学生思维的横向关联性和纵向贯通性有很多好处。在日常教学中，教师要从数学知识本质出发，深度挖掘知识之间的内在联系，设计适合学生思维提升的教学设计，引导学生将基础知识结构化，使学生经历数学活动，提升基本能力，积累活动经验，在基本思想方法的支撑下，发展学生的数学核心素养。尽管目前很多学者和一线教师已经在研究单元整体教学策略，但是具体如何协调其与教材编排的关系，如何将单元整体教学设计落实到课堂，如何使学生真正从单元整体教学中受益，是值得研究的问题，更是漫长的研究过程，还需要我们继续深入探索。