基于时变隐马尔科夫模型的连锁故障预测

宋玉琴，赵攀，周琪玮，李童

(1.西安工程大学 电子信息学院，西安 710600； 2.国网新疆电力有限公司电力科学研究院，乌鲁木齐 830001)

0 引 言

当今社会，无论是工业生产还是居民生活，都离不开电力的供应。随着时代的发展，电力系统的规模和复杂度都在逐步提高。面对日益复杂的系统，保证稳定运行、避免大停电事故的发生已经越来越重要。英国“8.9”大停电[1]、阿根廷“6.16”大停电[2]、中国海南“9.26”电网崩溃事故[3]的发生，引起了国内外学者的高度重视。研究发现，这些事故都是由连锁故障引发，电力系统中的支路一般都处于正常运行状态，不会为空载状态，若系统中某一条支路因故障退出运行，该支路所承担的负荷就会转移到其他支路上[4]，系统负荷重新分配，引起潮流转移；若正常支路无法承受新转移的潮流，将会引起这些支路过载停运，造成新一轮负荷分配，潮流转移，若不加以控制，将引起大面积停电事故的发生。虽然该类事故属于小概率事故，但有着严重的危害。考虑如何阻断故障远没有如何预测故障有意义。因此，分析连锁故障发生原因，预测发展路径并及时处理，对于保证电网稳定运行、避免大停电事故的发生具有重要的意义。

国内外学者对连锁故障的预测进行了大量的研究[5]，连锁故障的预测方法基于三大理论[6-7]：模式搜索理论[8-9]、具体有事故链模型[10]、概率推理模型等，通过建立符合电网实际物理过程的模型进行预测，但是若故障范围太大，将导致算法运行时间过长。文献[10]在事故链预测模型中加上C均值聚类算法。该方法能在工作量与预测结果完备性之间做出较好的平衡，但是该模型只适合小系统，大系统会导致预测速度迅速变慢。自组织临界理论[11-12]具体有OPA模型[13]、CASCADE模型等，可直接展现电力系统的演化过程，但无法准确地模拟支路停运对潮流转移的影响。复杂网络理论[14]具体有小世界网络模型、有效性能模型等，可从拓扑结构角度分析系统对突然攻击的承受能力以及可能发生的潜在连锁故障，但对电力系统的简化比较严重，无法准确地描述电网动态运行情况。

虽然现有方法能得到预测结果，但考虑的故障因素比较单一。文中将从系统拓扑结构，上下级支路间关联性，是否计及支路保护/断路器拒动、误动；支路硬件故障；支路寿命等角度综合考虑。将在马尔科夫模型的基础上，提出时变隐马尔科夫模型的连锁故障预测方法，提高预测的准确度，有助于预防和控制连锁故障的发生。最后，以IEEE 36模型为算例，将验证所提方法的可行性和有效性。

1 连锁故障预测模型

1.1 马尔科夫预测模型

马尔科夫过程(Marko Process)通过分析随机事件的前后关系，预测该事件的发展规律。特点是事件发生过程中各个时刻的随机变量有一定的相关关系。但仅仅体现在当下时刻只与上一时刻有关，与上一时刻之前的时刻无关。而连锁故障中每一级故障只与上一级故障有关，与上一级之前的故障无关，所以连锁故障过程与马尔可夫过程类似[15]，为文中的预测提供了理论支持。

1.2 隐马尔科夫预测模型

隐马尔科夫模型(Hidden Markov Model，HMM)是一种双重随机概率模型，比起马尔科夫模型更加复杂。不同之处在于：该模型的观测值和状态转移矩阵之间通过观测值概率分布相联系[16]。HMM在数学上可以归纳为一个双内嵌的随机过程，由隐含的状态转移矩阵和与其有关的观测序列共同组成，在这两个随机过程中，状态转移矩阵并不是直接与观测序列联系，即为隐含状态，隐含的状态转移矩阵对应马尔科夫过程，而该结果需要通过另一个随机过程输出的观测序列进行推断。用观测值概率分布描述状态与观测序列间的关系。

HMM由系统初始状态概率分布π、状态转移概率矩阵A和观测值概率分布B共同决定，模型表述为λ={A,B,π}[17]。其中，A为状态转移概率A={Pm_k}。B为状态Sk条件下输出的观测值概率分布，如式(1)所示：

(1)

式中Si(t)=0为支路i断开的概率；Sk(t+1)=0为支路k断开的概率；t为时间变量；π为系统初始概率分布，表示为π={πi,1

1.3 时变隐马尔科夫预测模型

上述两模型存在一个问题，状态转移矩阵为常数，不符合电力系统连锁故障复杂性和多变性的特点。所以，状态转移矩阵应改进为时刻变化的动态值。但时变的可靠性是难以确定的，特别是在HMM模型训练的过程中。首先状态转移矩阵的变化模式难以掌握；其次完全的参数估计法很难运用到时变的模型中，导致模型求解的难度变得很大[18]。针对上述问题，提出根据韦布尔(Weibull)分布的估计值计算HMM的状态转移矩阵。

1.3.1 Weibull分布

Weibull分布应用于设备寿命预测，将其引入，可在计算过程中将支路寿命与Weibull分布结合，使状态转移矩阵为含支路运行时间的时变值。

Weibull分布函数如式(2)、式(3)所示：

(2)

(3)

式中x为支路运行时间，x>0为支路运行在最佳年限之前(文中最佳年限为10年，)，x<0为支路运行在最佳年限之后；η为环境参数，描述支路所处的工作条件、负荷大小等要素；β为支路的功率参数，当β<1时，故障率函数λ(x)随时间x递减，此时支路传输功率较低，用于描述低功率故障；当β=1时，故障率函数λ(x)趋近于定值，支路传输功率在其最佳传输功率附近，用于描述随机故障；当β>1时，故障率函数λ(x)随时间x递增，支路传输功率较大，用于描述大功率故障。

对于Weibull分布的参数估计，选择更加直观和简单的图形变换法，其计算如式(4)所示：

(4)

由式(4)可得y=y(t)=β(t-lnη)，式(4)得出的变换称之为Weibull变换。式中的参数计算如式(5)～式(7)所示：

(5)

(6)

(7)

式中xi、yk为支路i、支路k的故障率。

1.3.2 基于时变隐马尔科夫模型的故障预测

该模型通过Weibull分布，将支路运行时间变量引入状态转移矩阵中，使其成为时变值。状态转移矩阵由定常值改进为时变值的过程如式(8)所示：

(8)

令θ1=ed1，可得bik(t+Δt=kΔt)=ed1kaik。

式中 ɑik为上级支路i断开与下级支路k间的状态转移概率；bik为时变的状态转移概率，1代指下一时刻；Δt为潮流转移的时间。

对Weibull分布的指数部分做Taylor展开，然后用合并同类项的方法求得系数如式(9)所示：

(9)

对式(9)进行泰勒展开时，展开后的前几项由β确定。因为β为非整数，且由高等数学知识可知，要取到最低阶的项之后，才能避免由于取项太少导致前面几项全部消掉的问题。所以，确定取项为在β的基础上舍掉小数位整数位进1的数。如此便可得到动态的状态转移矩阵。式(9)中的系数，随着支路运行时间而变化，可得到bik也是一个随支路运行时间而变化的值，因此状态转移矩阵会随着支路运行时间而变化，符合连锁故障的特点。

2 连锁故障的状态转移概率分析

电力系统连锁故障发生的诱因有很多，最主要的原因是初始故障支路断开后，导致系统潮流发生转移[19]，造成其他支路过载，系统支路保护/断路器不正确动作、系统的硬件突然失效等小概率事件，也会引起系统连锁故障的发生。

因此，当故障由m级传递到m+1级时，系统正常支路k的状态转移概率Pm_k如式(10)所示：

Pm_k=Ptransfer_k+Pline_k

(10)

式中Pm_k为支路i停运后，系统剩余支路中任意一条支路k的状态转移概率，由式(10)可知分为两部分，其中Ptransfer_k为潮流转移所引起的，Pline_k为系统硬件失效所引起的。通常前者的概率远大于后者，即Pline_k<

2.1 潮流转移引起的支路状态转移概率

潮流转移引起的状态转移概率Ptransfer_k与系统潮流分布、系统网络拓扑结构、支路保护/断路器动作等因素有关，如式(11)所示：

Ptransfer_k=Pik_ys[(1-Pjd_l)(1-Pjd_b)(1-Pwd)]

(11)

式中Pik_ys为不计及支路保护/断路器不正确动作的原始状态转移概率；Pjd_l为支路过载保护的拒动概率；Pjd_b为支路过载保护对应断路器的拒动概率；Pwd为支路在保护/断路器不正确动作的概率。

对于电力系统而言，其拓扑结构和网络参数保持不变。当支路i切除后，其他支路的潮流由两部分组成，一部分是故障切除前自身的潮流，另一部分是支路i转移到该支路的潮流。其中，后者可通过以下方法计算。

支路i切除后，潮流转移到其他支路的过程可等效为：支路i是一个给其他支路供电的电流源，其大小和方向与故障前的电流大小相等方向相反，等效为一个等值无源二端口网络[20]。如图1所示。其中，支路i给支路k转移的潮流可以看成等值电流源在支路k上的响应。

图1 无源网络示意图

由图1中关系可得：

(12)

式中λki为系统中支路k的电流增加量与支路i停运前自身电流的比值，表征支路i停运后对支路k的影响程度。分析可得，该值仅受到系统拓扑结构和元器件参数的影响。因此，只要系统确定，可得到连锁故障上下级支路间的状态转移因子矩阵，为预测故障路径提供了可能性。转移因子矩阵如下：

(13)

式中，每列元素表示一条支路发生故障切除后，与剩余支路间的潮流转移因子，具体计算如下：

(14)

式中E为支路i停运后的潮流转移等值网络的支路导纳矩阵；B为该网络的关联矩阵；Δ为该网络的节点导纳矩阵En(En=BEBT)的行列式；Δem为En中第e行、第m列元素的代数余子式；Δfm为En中第f行、第m列元素的代数余子式；e和f均为支路i的两端节点编号。Δgm为En中第g行、第m列元素的代数余子式；Δhm为En中第h行、第m列元素的代数余子式；g和h均为支路k的两端节点编号。因此，将提前得到上下级支路间的状态转移因子。

2.1.1 不计支路保护/断路器不正确动作时的转移概率

设定Dik(m)为上下级支路间的潮流转移，为支路i停运对支路k的潮流转移，由下级支路潮流变化率αik(m)、下级支路过负荷严重度βik(m)和下级支路潮流变化量与上级支路原有潮流间的耦合关系γik(m)决定，为更好地反应上述三者对于潮流转移的影响，加上适当的阈值，根据理论和实验结果，调整适当的阈值。如式(15)所示：

Dik=η1αik(m)×η2βik(m)×η3γik(m)

(15)

αik(m)为m级故障中，下级支路k在支路i停运后的功率变化量与下级支路k在支路i停运前功率的比值，如式(16)所示：

(16)

式中Fk(ta)和Fi(ta)为支路k和i在故障发生前的功率；Fk(tb)为支路k在故障发生后的功率。

βik(m)为m级故障中，支路i停运，潮流转移使支路k过负荷的严重程度指标，如式(17)所示：

(17)

此时还应判定βik(m)的值，若βik(m)>1表示支路k上的潮流已经超过了极限，此时该条支路会由于过载而退出运行，即该条线路为下级故障线路，若0<βik(m)<1则表示支路k运行在正常范围内，将与其他支路就上下级支路间的潮流转移概率比较，确定可能的下级故障支路。

γik(m)为m级故障中，支路i停运导致支路k的潮流变化量与支路i原有潮流之间的耦合关系，如式(18)所示：

(18)

上下级支路关联度Dik(m)如下：

Dik(m)=η1αik(m)η2βik(m)η3γik(m)=

(19)

不计及支路保护/断路器不正确动作时，支路k由潮流转移引起的状态转移概率如下：

(20)

式中Dij(m)为系统中支路i与除支路i外其他支路间的关联度。

2.1.2 计支路保护/断路器不正确动作的转移概率

在确定的电力系统中，支路过载保护的拒动概率、支路过载保护对应断路器的拒动概率、支路保护/断路器不正确动作的概率[21]，三者与元器件参数、系统状态等有关系，且发生概率很小，因此这些值为常量。具体的数值会根据系统拓扑结构在实验中具体设定。

将上述值代入式(11)中可得到潮流转移引起的状态转移概率Ptransfer_k。

2.2 系统硬件失效引起的支路状态转移概率

系统硬件失效的发生概率依赖于硬件型号、支路运行时间和元器件寿命，这些值为常量，具体值根据实验中设定的支路运行时间设定。

将上述值代入式(10)中，可得到连锁故障的状态转移概率Pm_k。

3 连锁故障预测模型的流程

综上所述，提出的连锁故障预测模型流程如图2所示。

图2 预测流程图

按照图2流程，逐一扫描上一级支路切除后剩余支路发生故障的概率，并对比大小，将概率值较大的支路作为下级故障支路集，具体选择方法由系统而定。然后依次断开下级故障支路集中的支路，重复上述过程，直到扫描到整个系统全部故障，记录故障路径并计算每条路径的故障概率。

4 算例分析

将IEEE 36节点系统作为算例验证所提方法的可行性及有效性。系统接线图如图3所示。

图3 IEEE 36模型

根据文献[22-23]，架空线路的使用寿命为20年，在实验中，将支路运行年限设在0～20年之间。系统中，所有发电机容量为10 MW,输出电压为6 kV，经过升压变压器升为10 kV送出。10 kV线路有25条，运行时间8年～15年，长度70 km～90 km， 400 kV线路有9条，运行时间6年～10年，长度175 km～200 km，750 kV线路有2条，运行时间10年，长度为2 000 km。

文中主要展示了一条支路发生初始故障后的情况，考虑到系统存在两条甚至多条支路同时发生初始故障的情况。设计了10套并行的预测模型，预测时，首先判断初始故障条数，若为1条，只开启一套预测模型，若同时为多条，则开启多套预测模型。由于一般为1条初始故障，很少出现多套系统并行的情况，因此完全可以满足日常预测。同时会根据实际情况在预测前适当扩展预测模型的套数。设定支路21-16断开，导致系统负荷重新分配，该支路潮流转移到其他支路，进一步造成其他支路过载停运。分别通过马尔科模型、隐马尔科夫模型、时变隐马尔科夫模型获得预测的结果，并进行对比。在实验中，随机将两到三条支路的运行时间设为18年～20年之间，模拟支路硬件故障。

4.1 时变隐马尔科夫模型的预测结果

图4为时变隐马尔科夫模型下支路21-16断开后，下级各支路发生故障的概率。选择3条～5条下级支路作为潜在故障支路。

该模型充分考虑支路所接负载的大小，系统硬件设备，支路保护/断路器误动、拒动，支路运行年限等因素得到下级故障支路。图4中支路21-19、22-21、21-16、16-18故障率都在0.9以上，这几条支路将是下级潜在故障支路。

4.2 三个模型下级故障支路预测对比图

图5为三个模型在支路21-16发生故障后，预测的下级支路发生故障的概率比较，为了更清楚地反应三个模型对于潜在下级故障支路的预测，将图5中故障概率比较高的部分放大,如图5(a)、图5(b)所示。该实验设定三个模型均考虑支路保护/断路器的拒动、误动概率以及支路硬件故障概率，但三个模型的状态转移概率不同。如图5所示，马尔科夫预测模型的结果有明显错误，支路9-22、29-34的预测结果明显高于其他两种模型，由系统支路拓扑结构可知，支路9-22、29-34与支路16-21并没直接相连，潮流转移影响小，发生故障的概率也不高，反映了马尔科夫模型预测存在一定误差。此外，由于隐马尔科夫模型中加入了观测变量分布概率，造成预测的下级故障概率偏小，该模型也存在缺点。

图5 不同模型预测故障支路对比图

4.3 是否计及小概率事件对预测结果的影响

为了探讨支路保护/断路器不正确动作、系统硬件故障对预测结果的影响，将隐马尔科夫模型、时变隐马尔科夫模型中的下级故障支路预测结果分为计及和不计及这些影响两种进行对比。不选择马尔科夫模型是因为该模型的预测存在较多的错误，会影响判断，结果如图6所示。

由理论分析和实验结论可知，小概率事件对预测结果可能会有很小的影响或是无影响。其中，系统硬件影响主要和支路运行时间有关，而支路保护/断路器不正确动作的影响和拓扑结构有关。如图6所示，对于和上级支路比较接近的支路，潮流转移较多，导致保护器的动作会出现错误，如支路16-18。而距离比较远的，由于潮流变化较小或者无变化，而这部分的变化对下级故障发生概率几乎无影响，如支路25-26、29-34。

图6 是否计及小概率事件

4.4 不同模型预测的连锁故障路径

如表1所示，可以看出：(1)随着故障的传播，发生概率越来越大，造成的影响也越来越大；(2)一旦发生初始故障，系统中的各条下级支路都会受到影响，虽然一次潮流转移的影响不大，但是若任由其发展而不控制，将不可避免的发生大面积停电事故；(3)本次结果综合考虑了各种因素，可以看出，面对大面积停电事故所造成的多条支路过载断开，断路器的控制能力有限，无法阻断故障传播。因此，必要的提前预测，提前处理是非常重要的。

表1 时变隐马尔科夫模型预测的故障路径及其概率

表1为时变隐马尔科夫模型的预测路径，而其余模型的预测结果由于篇幅有限将不展开说明，只对三者预测全面性方面进行对比，如图7所示。

图7 三种预测模型得到的故障路径对比

如图7所示，纵坐标为故障预测范围，计算方法为故障支路与全部支路的比值。三个模型都会随着预测故障等级的进行，预测的故障范围逐渐扩大，在第二级到第三级，是一个明显的扩大，因此也反映了故障处理最好在该阶段之前进行。此外，图中还反应了不同模型最终的预测故障范围情况，可以看出，时变隐马尔科夫可以完全在第五级故障时，实现对整个系统各条支路的覆盖，预测的范围更广，对处理故障的指导更明确。

5 结束语

文中以电力系统连锁故障发生路径预测为研究对象，对比分析马尔科夫预测模型、隐马尔科夫预测模型的优缺点，引入Weibull分布，提出时变隐马尔科夫模型，采用IEEE 36节点仿真模型的数据进行验证。

(1)在对比分析常用的两种预测模型的基础上，为解决状态转移概率矩阵为常数，无法满足电力系统动态性能的要求，首次提出将Weibull分布引入预测模型中，通过该分布在转移概率中增加支路运行时间变量，在预测中充分考虑支路保护/断路器拒动、误动概率；系统硬件故障等小概率事件对预测结果的影响。该部分结论在4.2节中有所展示，验证了所提方法能明显提高预测的精度；

(2)分析了小概率事件对预测结果的影响，该部分结论在4.3节中有所展示。可知小概率对于预测结果的影响虽然小，但是不能忽略；

(3)文中研究工作主要针对电力系统连锁故障的预测来开展，而如何对预测结果进行风险评估，建立可视化界面，更加清晰明确地反应电力系统连锁故障的发展情况需要进一步探究。因此，若进行下一步研究，需要寻找合适的路径风险评估模型，开发建立可视化界面，从而能有效及时地预测电力系统连锁故障的发生。