无约束径向载荷下不规则砂岩强度的颗粒尺寸效应研究

2023-01-18郝志斌左宇军刘镐孙文吉斌潘超朱泽华刘子琪

中南大学学报（自然科学版） 2022年11期

郝志斌，左宇军, ，刘镐, ，孙文吉斌，潘超,，朱泽华，刘子琪

(1.贵州大学矿业学院，贵州贵阳，550025；2.贵州大学资源与环境工程学院，贵州贵阳，550025；3.加泰罗尼亚理工大学土木与环境工程学院，西班牙巴塞罗那，08034；4.山东科技大学矿山灾害预防控制教育部重点实验室，山东青岛，266590)

颗粒破碎是一个非常复杂的过程，其结果受加载条件和岩石性质的影响。近年来，一些学者从粒度减小的角度对破碎过程进行研究，以进一步提高能源效率。然而，岩石颗粒是宏观连续而微观不连续的非均匀介质，其力学特性和变形特征会随尺寸变化呈现出明显差异，即具有尺寸效应[1]。

国内外学者从不同角度阐述和分析尺寸效应的规律及影响因素，经典理论有Weibull 脆性破坏理论[2]、Carpinteri 分形损伤理论[3]和Bazant能量理论[4]。岩样可按长度效应与体积效应分为相同高度、不同高厚比(高径比、高宽比、长细比)试件与不同高度、相同高厚比试件。在长度效应的研究方面，章航等[5]对不同高径比花岗岩试件进行循环冲击试验，探究了岩石力学特性及尺寸效应。傅伟斌[6]发现随着高径比增大，岩石单轴抗压强度先减小后增大并趋于稳定，其破裂形式也由复杂劈裂破坏向剪切破坏转变。朱其志等[7]发现均质性较好的细颗粒岩样的尺寸效应不明显，尺寸效应主要表现为高径比的影响。杨高升[8]的研究表明，试件直径一定时，抗压强度、弹性应变能、耗散能及吸收的总能量均随试件高度增加而减少。魏继祖等[9]研究了端部摩擦对砂岩尺寸效应的影响，并提出了岩石垫块消除端部摩擦作用的试验方法。LI 等[10]研究了不同尺寸红砂岩试样的力学特性，构建了红砂岩动态损伤演化模型，从能量耗散角度分析了长细比与能量间的关系。在体积效应研究方面，李帅等[11]对同高径比不同直径的岩样进行单轴压缩试验，提出了一种新的适用于页岩的强度尺寸效应模型。陈思顺[12]发现在试件高宽比一定时，峰值应变、峰值强度、声发射参数和破坏方式均随试件尺寸变化而变化。洪陈杰等[13]通过渐进覆盖法统计了不同采样尺寸的各向异性变异系数，并提出了各向异性正交分布假设。GONZATTI 等[14]对不同尺寸煤岩进行了单轴压缩实验，结合超声波测速技术，发现煤岩的强度与尺寸呈负相关。TANG 等[15-16]采用RFPA 对二维数值模型长度效应及体积效应的规律和影响因素进行了探讨。

上述学者对规则矿岩尺寸效应进行了系统研究，但在实际机械破碎中，大多数岩体是具有不规则形状和尺寸的非均质体，并处于不同的加载条件，岩体易因受力不均而出现不同的破坏模式。机械破碎行为通常取决于颗粒组成、结构、尺寸、形状和负载条件。本文作者以ZUO 等[17]研究的不规则岩石颗粒破坏过程的数值模型为基础，研究相同高度、不同高厚比相似模拟试件及不同高度、相同高厚比数值模拟试件的力学参数、变形破坏随尺寸变化的规律，从能量角度分析无约束径向载荷下不规则砂岩颗粒破裂失稳的原因，并对不同载荷条件下砂岩颗粒的力学特性进行讨论。

1 长度效应分析

1.1 相似模拟试件单轴压轴试验

贵州烂泥沟金矿150 中段以砂岩、黏土岩为主，矿体呈层状、板状，地质构造发育，风化作用强烈，在开采过程中矿岩以不规则颗粒存在，破碎条件复杂[18]。测得砂岩力学参数如表1所示。

表1 试验材料力学参数Table 1 Mechanical properties of test materials

相似模型需满足以下关系[19]：

式中：Cσ，Cγ，CL，Cε和CE分别为应力σ相似比、容重γ相似比、几何相似比、应变ε相似比和弹性模量E相似比。

对砂、水泥、石膏质量比分别为4∶0.3∶0.7，4∶0.5∶0.5，4∶0.7∶0.3，5∶0.3∶0.7，5∶0.5∶0.5，5∶0.7∶0.3，6∶0.3∶0.7，6∶0.5∶0.5，6∶0.7∶0.3，7∶0.3∶0.7，7∶0.5∶0.5和7∶0.7∶0.3的相似模拟试件进行单轴压缩试验和巴西劈裂试验，确定模型几何相似比CL=4，容重相似比Cγ=1.72，应力相似比Cσ=Cγ CL=6.85，Cμ=1。经试验，选用砂、水泥、石膏按质量比4∶0.7∶0.3模拟砂岩，并采用硼砂溶液作为缓凝剂以控制凝结时间，成型养护28 d后得到最大高度h和宽度w均为100 mm，最大厚度δ分别为20，40，60，80，100，120 mm的砂岩不规则试件A-1～A-6，如图1所示，并对砂岩试件端面进行打磨，使两端面的平行度偏差不得大于0.1 mm，两端的直径偏差不得大于0.2 mm，表面平整度在0.02 mm 以内，两端面垂直于试件轴线。以上试件均使用RMT-301岩石与混凝土力学试验系统(图2 所示)进行位移加载，加载速率为0.002 mm/s，直至破坏。

图1 相同高度不同高厚比砂岩相似模拟试件Fig.1 Similar simulated specimens of sandstone with the same height and different ratio of height to thickness

图2 试验仪器及加载Fig.2 Test instrument and loading

1.2 长度效应对力学参数的影响

1.2.1 长度效应对力-位移曲线的影响

图3 所示为不同厚度不规则砂岩颗粒力-位移曲线。该曲线可分为4个阶段。在压密阶段，砂岩内部裂隙、孔隙受力闭合，导致变形较大，体积缩小，产生不可恢复的塑性变形；在弹性阶段，微破裂稳定发展，曲线近似线性增长，斜率基本保持不变，厚度越小，弹性阶段位移越大，弹性特征越明显；在塑性阶段，变形不可恢复，曲线略向下弯曲，斜率逐渐变小，说明砂岩颗粒局部破坏后，强度降低，接着部分裂隙被压密；在峰后阶段，内部微破裂扩展贯通，产生宏观主裂纹，砂岩颗粒失稳破坏。试件越厚，内部蕴含的裂隙、孔隙越多，在初始受力阶段轴向位移越大，峰后滑移极大减小了砂岩颗粒的有效承载面积，曲线开始变陡，并逐渐向脆性破坏转化。

图3 无约束径向载荷下不同厚度砂岩力-位移曲线Fig.3 Force-displacement curve of sandstone with different thicknesses under unconstrained radial load

1.2.2 长度效应对单轴抗压强度及弹性模量的影响

高厚比h/δ对砂岩颗粒抗压强度影响显著，无约束径向载荷下不同厚度砂岩力学参数曲线如图4所示。由图4可知，随着厚度增加，砂岩抗压强度逐渐增加。当试样厚度为20 mm 时，砂岩单轴抗压强度最小，为4.28 MPa；当试样厚度为120 mm时，砂岩单轴抗压强度最大，为6.79 MPa。当1.67≤h/δ≤5时，抗压强度受长度效应影响明显；当1≤h/δ≤1.67时，试样抗压强度上升幅度减缓并趋于平均值5.14 MPa 左右，在此范围内，砂岩颗粒强度稳定性较高，长度效应较弱。

图4 无约束径向载荷下不同厚度砂岩力学参数曲线Fig.4 Mechanical parameter curves of sandstone with different thickness under unconstrained radial load

无约束径向载荷下砂岩颗粒端部摩擦作用可等效为端部受到“围压”。砂岩颗粒越厚，脆性越强，发生弹性变形所需的载荷越大，压头与砂岩颗粒间的接触面积越大，端部摩擦作用造成的“围压”越大，使得砂岩颗粒内部微裂隙闭合，抵抗外力破坏能力增强，刚度越大，即砂岩颗粒越难变形，弹性模量随厚度增大而增大[20]，且当1≤h/δ≤1.25时较为稳定。

1.3 长度效应对破坏形式的影响

理想条件下，砂岩颗粒受无约束径向载荷应处于一维受力状态，但是厚度改变了砂岩颗粒应力分布区形式，在端部形成三维压缩应力区。不同厚度砂岩颗粒破坏形式如图5 所示。为保证精度，在试验中，压头的弹性模量要远大于砂岩颗粒的弹性模量，但由于二者力学性质不同，加载时变形不同步，并出现相对位移，从而产生摩擦力[21]。均匀加载时，长度效应由端部摩擦引起砂岩颗粒内部应力非均匀分布导致。厚度越小，砂岩颗粒中部应力区越接近一维应力状态，内部应力均匀分布，端面与压头间的摩擦力对砂岩颗粒中部的环向变形约束影响较弱，在载荷作用下，砂岩颗粒破坏主要是由某个劈裂或剪切面贯通所致，破裂区集中在一条主裂隙上且几乎与轴向加载方向平行。随厚度增加，强度逐渐增大，作用在砂岩颗粒端面单位面积上的力逐渐增加，即摩擦力增大，砂岩颗粒上下端部受三维压缩应力区的影响变大[22]，破坏形式也趋于复杂，如图5(f)所示，砂岩颗粒出现拉剪混合破坏且沿轴向出现较多破裂面。

图5 不同厚度砂岩颗粒破坏形式Fig.5 Failure modes of sandstone particles with different thicknesses

1.4 长度效应对能量耗散的影响

砂岩颗粒变形破坏其实是能量输入、积聚、耗散和释放的损伤演化过程，与高厚比密切相关[23]。假定砂岩颗粒与试验机是封闭的完整能量转化系统，且砂岩颗粒在无约束径向载荷下始终处于平衡状态，未与外界发生热交换。图6所示为砂岩颗粒能量转化示意图，其中，εi为主应变，为可恢复变形，为不可恢复变形，U为总能量(即应力-应变曲线所围成的面积)，U0为吸收的能量，Ue为弹性应变能，Ud为耗散能，Uf为释放能，σi为i点的应力。

图6 能量转化示意图Fig.6 Schematic diagram of energy conversion

选取微区间dε，对边界对应的应力求平均值并积分有：

式中：ε1为最大主应力对应的应变。

在压密阶段，试验机以做功形式将机械能转化为变形能输入颗粒内部，初始微裂纹闭合及砂岩颗粒内部应力不均匀分布萌生微裂纹造成少量能量消耗。

在弹性阶段，因微裂纹扩展产生一定能量耗散，剩余能量几乎都转变为弹性应变能并储存在砂岩颗粒内，由弹性力学[23-24]可知：

式中：Eu为卸荷弹性模量，E0为初始弹性模量；εe为可恢复变形。

在塑性阶段，裂纹萌生扩展引起耗散能快速增加，并成为此阶段的主导能量，计算公式为

在峰后阶段，随着微裂纹扩展、贯通，峰前阶段储存的弹性应变能释放导致砂岩颗粒变形破坏，释放能成为这一阶段的能量主体，计算公式[23-24]为

式中：εmax为最大主应变。

不同厚度砂岩颗粒能量转化见图7。由图7 可知：总能量＞弹性应变能＞释放能＞耗散能，能量与厚度呈正相关；当h/δ=2.5 时，偏离线性较大；而当1≤h/δ≤1.25时，所有能量大致稳定，从而导致砂岩颗粒的力学性能、破坏方式趋于一致。厚度越小，强度越低，在加载过程中砂岩颗粒内积聚的能量越少，单位体积砂岩颗粒吸收的能量越小，变形破坏过程的能量耗散及释放也就越小。随着厚度增加，砂岩颗粒破坏时的裂纹越多，需要的能量越多，因此，耗散能占比线性增加，累积的弹性应变能相应减小，在峰后破坏阶段会突然释放，导致砂岩颗粒脆性更加明显。

图7 不同厚度砂岩颗粒能量转化Fig.7 Energy transformation of sandstone particles with different thicknesses

2 体积效应分析

2.1 强度尺寸效应理论分析

Weibull 脆性破坏强度理论认为岩石由众多强度不同的链构成，当应力超过强度承载能力最弱缺陷的强度时，就会造成破坏[2]。分布密度函数[2]为

式中：σ0为尺度参数；σu为σ的下限值；m为材料均质度。

不同均质度时单元参数的分布密度函数见图8。由图8 可知，随着m增加，细观单元强度分布越来越集中，内部细观单元趋于均匀且接近给定的参数[25]。需要说明的是，式(8)中的均质度表征砂岩颗粒破坏时表现的均匀程度，下文提到的均质度表征砂岩颗粒初始状态下细观单元力学参数的均匀程度，二者并不相同[26]。

图8 不同均质度时单元参数的分布密度函数Fig.8 Distribution density function of unit parameters with different homogeneity

假定单位体积砂岩颗粒在[σ,σ+dσ]内缺陷的平均数为dN0，则有

式中：n(σ)为缺陷密度函数。

单位体积砂岩颗粒缺陷的平均数为

砂岩颗粒体积V中缺陷平均数为

由一个缺陷破坏的概率[27]为

以N(σ)为均值，则可认为物体中的缺陷数服从Poisson分布[28]，体积V内出现i个缺陷的概率为

由最弱链理论[2]可知，砂岩颗粒的破坏概率为

式中：Γ为gamma函数。

2.2 数值模拟试件单轴压缩试验

当1≤h/δ≤1.25时，砂岩颗粒端部摩擦影响较小且强度稳定性较高，因此，对高×宽×厚分别为50 mm×50 mm×50 mm，100 mm×100 mm×100 mm，150 mm×150 mm×150 mm 和200 mm×200 mm×200 mm 的4 个砂岩颗粒试件B-1～B-4 进行研究。由式(15)和式(16)可知：砂岩颗粒破坏概率及平均强度取决于砂岩颗粒体积及均质度，采用物理实验无法对均质度进行变量控制，故本文对不同高度相同高厚比试件采用RFPA3D进行单轴压缩模拟。不同体积砂岩颗粒数值模型见图9。RFPA3D是基于细观损伤力学和统计强度理论的三维岩石破裂过程分析程序，当细观单元最小主应力大于单轴抗拉强度时，单元产生拉伸破坏；当细观单元应力状态满足Mohr-Coulomb 准则时，细观单元产生剪切破坏[30]，RFPA程序求解工作流程图见图10。

图9 不同体积砂岩颗粒数值模型Fig.9 Numerical model of sandstone particles with different volumes

图10 RFPA程序求解流程图Fig.10 RFPA program solution flow chart

假设细观单元力学性质服从Weibull分布函数，使用Monte-Carlo 方法赋值。加载板厚度为5 mm，弹性模量为200 GPa，泊松比为0.25。X轴方向不施加约束且无初始位移，Y轴方向采用位移控制量加载，位移初始值为0.001 mm，单步加载增量为0.002 mm，直至砂岩颗粒破坏。

为验证数值模拟的可靠性，对比h/δ=1.0 的砂岩相似模拟和数值模拟破坏形式，如图11 所示。由图11 可知：二者裂纹位置及形态大体一致，均形成一条贯穿上下端面的宏观裂纹。虽然数值模型考虑了砂岩内部细观结构的真实形态和分布，但不能完全再现物理试验的过程和结果，裂纹扩展位置有部分偏差。总的来说，在考虑内部真实细观结构后，二者破坏形式相似性较大，数值模拟能基本反映砂岩颗粒主要裂纹的位置和破坏形式，可以用于研究砂岩颗粒破裂过程以及体积效应问题。

图11 相似模拟砂岩及数值砂岩颗粒破坏形式对比Fig.11 Comparison of grain failure modes between similar simulated sandstone and numerical sandstone

2.3 体积效应对力学参数的影响

不同体积砂岩颗粒力-位移曲线如图12 所示。虽然数值模型基于相同统计分布且具有明显的非均匀性，但难以反映真实微裂纹，此外，砂岩颗粒是在理想情况下加载的，故并未出现初始压密阶段[31]。在弹性阶段，采用RFPA3D对砂岩颗粒进行赋值时，弹性模量相同，使得曲线近似呈直线。在塑性阶段后期，载荷增长有微小降低，这表明载荷在增长中会不断对砂岩颗粒造成损伤。在峰后阶段，颗粒尺寸对其力学行为影响显著，由式(15)可知：砂岩颗粒体积越大，内部缺陷的数目和尺度越大，导致砂岩颗粒局部结构不稳定性增强，砂岩颗粒强度就越低，脆性越强，延性越弱。随着体积增加，砂岩颗粒强度逐渐减小并趋于46 MPa。

图12 不同体积砂岩颗粒力-位移曲线Fig.12 Force-displacement curve of sandstone particles with different volumes

2.4 体积效应对破坏形式的影响

在声发射演化图中每个球代表一次声发射，球径越大则该步声发射能量释放越大，球心为破坏位置，蓝色代表拉伸破坏，红色代表剪切破坏[20]。细观单元的拉伸破坏造成砂岩颗粒微孔隙和裂隙的萌生扩展，端部形成拉伸应力区时因砂岩颗粒抗压不抗拉，故声发射在该位置出现较多。

由于加载板刚度较大，相当于给端部增加了围压，砂岩颗粒形状的不规则造成应力分布不均，颗粒非均质性的局部变化导致砂岩颗粒在中部偏上位置起裂[31]。裂纹沿加载方向扩展，形成具有许多小分支的断裂面且与施加载荷方向平行，其扩展路径因颗粒非均匀分布而变得曲折。

不同体积砂岩颗粒破裂过程见图13。由图13可知，砂岩颗粒内部含有不同尺度的微缺陷，小尺寸砂岩颗粒内部含缺陷概率小，均匀性及强度较高，表现出较强的各向同性及弱化性质并在表面出现许多贯穿砂岩颗粒的局部破坏，在很大程度上减轻了砂岩颗粒因非均质性产生的应力集中现象。大尺寸砂岩颗粒含缺陷概率大，均匀性及强度较低，出现局部屈服，并产生滑移摩擦。此外，尺寸对砂岩颗粒破坏形式的影响较小。

图13 不同体积砂岩颗粒破裂过程Fig.13 Fracture process of sandstone particles with the different volumes

2.5 体积效应对声发射特征的影响

AE 事件是由导致矿岩颗粒非线性变形行为的微断裂产生的，利用声发射对砂岩颗粒破坏进行监测，可以较好揭示体积效应的内在机理[32]。

不同体积砂岩颗粒力、声发射与加载步关系见图14。在弹性阶段，载荷随着加载步增大而增大，在砂岩颗粒抗压强度低的拉应力区域萌生极少量弥散的微裂纹，裂纹附近能量未快速释放，几乎没有声发射出现。在塑性阶段，裂纹萌生并在局部区域聚集，内部释放出能量，声发射信号强度随之增加，但是数量较少。峰值载荷后，裂纹演化加剧，出现大面积的宏观破裂，储存在砂岩颗粒中的应变能急剧释放，AE计数跳跃式增长并迅速达到峰值，次生裂纹的产生和扩展导致砂岩颗粒承载能力迅速降低。砂岩颗粒释放的能量大部分来源于内部高应力区，而该区域细观单元的拉伸破坏积累导致了剪切破坏带的形成。

图14 不同体积砂岩颗粒力、声发射与加载步关系Fig.14 Relationship between force,acoustic emission and loading step of sandstone particles with different volumes

小尺寸砂岩颗粒含缺陷量少，内部材料强度离散性较大，加载时承载能力较弱单元产生局部破裂，能量还没有积累到较高程度就以微裂纹扩展、贯通形式快速释放，随着加载进行，每次微破裂的产生都对应着能量激增，所以，小尺寸砂岩颗粒声发射分散且在主破裂前后有几次显著的声发射出现。

而大尺寸砂岩颗粒强度相对较小，脆性破裂特征显著，内部材料缺陷几乎相同且较多，强度离散性较小[33]，砂岩颗粒缺陷的强度差异减小并集中在平均值附近，能量只有积累到较高程度时，微裂隙才开始扩展、贯通，进而形成宏观主裂纹并快速释放出声发射，砂岩颗粒破裂较彻底，之后几乎不再有声发射现象。此外，大尺寸砂岩颗粒内部的微缺陷数量较多，在无约束径向载荷作用下微缺陷的初闭合、后期的相互连接贯通而吸能或裂隙面滑动摩擦而耗能，故砂岩颗粒主破裂和声发射出现的时间推迟，占砂岩颗粒破裂总能量的比例增加，并且主要集中在极限载荷附近。

2.6 均质度对体积效应的影响

为研究均质度m对无约束径向载荷下砂岩颗粒强度表征的影响，在m为1.0，3.0，5.0，7.0 和30.0时，对不同均质度砂岩颗粒共进行20组试验。均质度对砂岩颗粒单轴抗压强度的影响如图15 所示。从图15 可见：随均质度增大，颗粒承受破坏能力增加，力-位移曲线在达到峰值载荷后迅速跌落，表现出较好的脆性。力-位移曲线和强度表征很大程度上取决于砂岩颗粒的非均质性。对于均质度较低的砂岩颗粒，由于内部存在孔洞、裂隙等缺陷，故在强度较低位置破坏；而均质度较高的砂岩颗粒的破坏则发生在高应力部位。

图15 均质度对砂岩颗粒单轴抗压强度的影响Fig.15 Effect of homogeneity on uniaxial compressive strength of sandstone particles

从图15(b)可见：当均质度m≤3 时，砂岩颗粒承受破坏能力随均质度增加而快速增长；当3＜m≤7时，曲线上升相对缓慢；当均质度m＞7后，随着均质度增加，特征尺寸增长速率逐渐减小，砂岩颗粒单轴抗压强度增长趋于平缓并有收敛于某一定值的趋势。当均质度m增大时，砂岩颗粒内部含缺陷概率降低，表现出明显的各向同性，体积效应越不明显。对于均匀砂岩颗粒，尺寸效应则几乎消失。

从图15(c)可见，当均质度一定时，单轴抗压强度随尺寸增大而减小，体积效应明显。

不同高度、相同高厚比的砂岩颗粒的体积效应由材料非均质性主导。在工程设计时，不能直接将小尺寸砂岩颗粒强度平均值等同于大尺寸砂岩颗粒的强度，如果这样，那么忽略了材料的非均质性，易使结构偏于不安全[34]。

3 讨论

在机械破碎中，单颗粒通常受到点对点加载、面对面加载、点对面加载、多点加载4种加载条件中的一种。其中，点对点加载的破坏模式与岩石力学常规巴西劈裂中的破坏模式非常相似，面对面加载类似于常规单轴压缩试验，点到面加载与压痕试验的相似，多点加载(特别是三点加载)与断裂力学中获得I 型断裂韧性的三点弯曲试验相似[35]。为验证上述结论在不规则板状砂岩颗粒破碎中的适用性，对4种加载条件下不规则形状数值模型进行研究。不同加载条件下不规则形状的数值模型见图16。

图16 不同加载条件下不规则形状的数值模型Fig.16 Irregular shaped numerical model under different loading conditions

基于表1 参数赋值并使用RFPA3D分别进行长度效应(砂岩试件A-1～A-6)及体积效应(砂岩试件B-1～B-4)共计36 组单轴压缩试验，结果如图17所示。

由图17 可知，当1≤h/δ≤1.25 时，砂岩颗粒单轴抗压强度基本趋于稳定；随着体积增加，单轴抗压强度逐渐降低，且变化幅度逐渐减小。不同加载条件砂岩颗粒的长度效应及体积效应结果与上文研究基本一致。合理选择砂岩颗粒尺度范围，对研究强度尺寸效应的规律和影响因素具有积极意义，对不规则岩体力学性质的全面把握以及矿场施工具有重要作用。