重力势能零势能面选取地面而非无限远处的定量分析

2023-01-16张新玉

物理教师 2022年12期

陈泽徐华张新玉

（盐城师范学院物理与电子工程学院，江苏盐城 224002）

1 问题的提出

为什么零势能面随着研究对象的运动特点的不同而不同？要解决这种困惑，必须从势能面选取的原则性、合理性、简洁性入手，运用物理建模、定量分析的科学思维方法，深刻理解零势能面的物理内涵.在此基础上，引导学生运用科学思维与探究能力形成清晰的能量观念，提升学生的物理核心素养.［1］重力势能属于能量观念范畴，是物理学中重要的物理概念.重力势能的大小由零势能面决定.重力势能的零势能面一般选取地面；另一方面重力势能作为特定情况下的引力势能，而引力势能的零势能面通常又选取无限远处.这一看似习以为常的零势能面选取方法，实际上蕴含着丰富的物理思想.本文将对这一有趣且重要的物理问题作详细，深入的分析.

2 问题的分析

本文关于重力势能与引力势能的表述需要指出的是，物体在地表附近运动时，物体运动的空间尺度相比地球半径可以忽略.此时，引力的大小、方向可以近似看作不变，物体的引力势能通常可以说成重力势能；而物体在远离地表运动时，物体的空间运动尺度与地球半径处于同一数量级，此时引力的大小、方向在运动过程中，变化比较明显，一般不说成重力势能.因此，重力势能是特定情况下的引力势能.

2.1 以无限远处为零势能面

如图1所示，假设一物体从A点经B点运动到C点.分析物体运动过程中的运动规律，一种是以力，加速度，速度，位移为基本概念来描述物体的运动特点；另一种是以功、能量之间的转化来描述物体的运动特点.后者是在前者认识上的升华.为了从能量观念上认识该物体的运动规律，显然需要建立动能、重力做功、重力势能这些物理概念.重力势能这一概念又建立在重力做功概念的基础上.为了讨论问题的方便，这里忽略空气阻力.某一位置物体的引力势能是物体从该位置运动到零势能面过程中引力所做的功.因此，若选择无限远处为零势能面，物体在A点的引力势能可以表示为［2］

图1

这里G为万有引力常量，M为地球质量，m为物体质量，r为物体与地心之间的距离.引力势能表达式也可以利用微元法与数列求和相结合的初等数学方法推导.［3］接下来，根据公式（1），分析物体在地球表面附近与远离地球表面两种情况下引力势能的特点.

2.1.1 远离地表

在物体远离地表时，物体距离地面的高度与地球半径处于同一数量级，此时物体的引力势能可通过公式（1）进一步推导得到.其大小表示为

这里RE为地球半径.从公式（2）可以清晰地看出，物体在远离地表时，物体的引力势能与地心的距离r＝RE＋hA成反比.该表达式不但非常简洁，而且能清晰地反映物体引力势能随物体位置变化的规律.因此在研究物体远离地表运动时，如天体的运动规律，引力势能的零势能面选取无限远处是很显然的结果.

2.1.2 地表附近

接下来分析公式（2）描述地表附近（hA≪RE）物体的重力势能的不合理之处.物体在地表附近运动过程中，重力势能的变化量相比重力势能的大小几乎可以忽略，导致描述物体在地表附近运动过程中能量转化的直观性很差.为了更形象地体现这一缺点，对公式（2）做进一步化简

2.2 以地面为零势能面

如图2所示，若选择地面为零势能面，物体在A点的重力势能可以表示为

图2

接下来，根据公式（4），仍然分析物体在地表附近与远离地表附近两种情况下引力势能的特点.

2.2.1 远离地表

在物体远离地表时，物体距离地面的高度与地球半径处于同一数量级，此时物体的引力势能可通过公式（1）进一步推导得到.其大小表示为

2.2.2 地表附近

在地表附近（hA≪RE），公式（5）可以进一步化简为

在地表附近，以物体为研究对象，根据牛顿第二定律可得

联立公式（7），公式（6）进一步简化为

公式（8）推导过程利用到常用近似公式：x→0时，（1＋x）n≈1＋nx.［4］公式（8）为常见的重力势能表达式.这里我们从引力势能定义出发，以地面为零势能面，给出了地表附近物体的重力势能表达式.虽然过程稍显复杂，但对于揭示地表附近物体的重力势能应选取地面为零势能面背后的物理本质，显得至关重要.从公式（8）可以清晰地看出：以地面为零势能面，地表附近物体的重力势能与距离地面的高度hA成正比.该表达式不仅非常简洁，而且能非常直观地反映重力势能随着hA的变化而变化.因此，在研究地表附近的物体运动时，物体的重力势能的零势能面选取地面非常合理.