基于区间值模糊冲突表的三支冲突分析

常 月,王 振,任睿思,魏 玲,3*

(1 西北大学 数学学院，陕西 西安 710127；2 西北大学 概念、认知与智能研究中心，陕西 西安 710127；3 闽南师范大学 数学与统计学院，福建 漳州 363000)

冲突作为人类生活的重要特征之一，广泛存在于社会问题中。因此，对冲突的研究显得尤为重要。Pawlak[1]于1998年提出了一种基于粗糙集理论的冲突分析模型，将代理人按照对议题的不同态度进行划分，并探讨了如何制定策略。在此模型的基础上，许多专家学者进行了扩展和应用[2-14]。例如：Sun等[4]提出了基于双论域粗糙集理论的冲突分析模型；Fan等[6]通过引入包含度定义两对评价函数，得到一个定量三分模型，并用于制定策略。

三支决策理论(three-way decision, 3WD)由Yao[15-16]于2012年提出，其主要思想是三分而治，是一种基于“三”的思维方式、问题求解方法和信息处理模式。学者们将这一思想广泛应用于数据分类、医疗诊断、聚类和多属性决策等领域[17-21]。由于冲突问题中赞同、反对和中立这三种态度与三支决策理论的“三分”思想吻合，因此可将三支决策思想引入冲突分析问题中。Yao[8]改进和扩展了Pawlak模型，提出三支冲突分析模型，通过研究代理人集合的三分，将冲突分为强冲突、弱冲突和不冲突三个层次,建立冲突分析和三支决策之间的桥梁。在此基础上，学者们取得诸多成果。Lang[9]在三支决策理论的框架下，提出冲突分析的一般模型，统一了现有5种三分代理人序对集合的冲突分析模型；Luo等[22]将联盟和冲突度量分成两个方面，提出联盟函数和冲突函数，并基于此建立了一个新的三支冲突分析模型；Zhi等[11]将三支概念分析和冲突分析相结合，提出了基于近似三支概念格的冲突分析方法，并利用一个渐进式算法来解决动态信息系统中的冲突分析问题。

现有研究的数据背景大多是三值或多值冲突表[22-23]，即代理人对议题的态度值为-1、0、+1或者为[-1,+1]之间的数，表达的都是较确定的信息。实际上，当代理人真正面对冲突时，态度会变得模糊。比如代理人对一个议题的态度是摇摆不定的，可能是0.7也可能是0.8。考虑到这一问题，Yi等[24]用犹豫模糊数表示代理人关于议题的态度，一定程度上反映了态度的不确定性，但由于实际决策的复杂过程，通常更一般地认为代理人的态度在一定范围内浮动，是一个区间。另外，在通过贝叶斯决策理论给出计算阈值的方法时，所有的损失函数一般由专家直接给出，有较强的主观性[7,24]。因此，本文考虑用区间数描述代理人的态度，并探讨从单议题到多议题损失函数的聚合问题，进而客观地分析冲突问题，以做出合理的决策。

本文在回顾经典冲突分析理论的基础上，结合区间值模糊集及其相关语义，研究基于区间值模糊冲突表的三支冲突分析，并通过决策粗糙集理论给出阈值求解方法。

1 预备知识

1.1 Pawlak冲突分析模型

定义1[1]称三元组(A,I,r)为冲突表。其中：A={x1,x2,…,xn}为代理人集，每个xs(s≤n)称为一个代理人；I={i1,i2,…,im}为议题集，每个it(t≤m)称为一个议题；r:A×I→{-1,0,+1}为一映射，对于代理人xs∈A，议题it∈I，r(xs,it)∈{-1,0,+1}，-1、0、+1分别表示反对、中立和赞同。

对于冲突表(A,I,r)，给定议题子集B⊆I，对于任意代理人x、y∈A，定义A上的距离函数ρB:A×A→[0,1]:

其中，|B|表示集合中所含元素的个数且

进而，可以定义3种关系：

1)若ρB(x,y)>0.5,则x和y是冲突的；

2)若ρB(x,y)=0.5,则x和y是中立的；

3)若ρB(x,y)<0.5,则x和y是联盟的。

基于此，对于任意代理人x∈A，定义代理人x的冲突集、中立集和联盟集分别为

1)CO(x)={y∈A|ρB(x,y)>0.5};

2)NE(x)={y∈A|ρB(x,y)=0.5};

3)AL(x)={y∈A|ρB(x,y)<0.5}。

1.2 区间值模糊集

令L=[0,1]为单位闭区间，称a=[a-,a+]⊆[0,1]为L上的区间数，记L上所有区间数的集合为[L]，即[L]={[a-,a+]|0≤a-≤a+≤1}。后文所指的区间数均为L上的区间数，下面给出区间数的相关基本运算[26]。对于任意区间数a、b,a=[a-,a+],b=[b-,b+],有

1)a+b=[a-+b-,a++b+];

2)ab=[min(a-b-,a-b+,a+b-,a+b+),

max(a-b-,a-b+,a+b-,a+b+)];

3)ka=[ka-,ka+],其中k∈R,k≥0;

4)a∪b=[min(a-,b-),max(a+,b+)];

a∩b=

由于区间数左右端点分别为整个区间的最小值和最大值，再结合损失函数的语义，给出区间数2种转化方式的记号。

设a为区间数，a=[a-,a+]，记

mOpt(a)=a-,mPess(a)=a+。

mOpt(a)、mPess(a)分别为区间数a的乐观转化值和悲观转化值。

后文用m(a)指代上述2种区间数转化方式中的任意一种，即m(a)∈{mOpt(a),mPess(a)}。对于任意2个区间数a、b,其乐观比较方式为：若mOpt(a)>mOpt(b)，则a>Optb；若mOpt(a)

定义2[27]设X为非空有限论域，称映射

A:X→[L],

为论域X上的区间值模糊集，A(x)=[A-(x),A+(x)]为x的隶属度，是一个区间数，A-和A+分别为下、上模糊集。论域X上的全体区间值模糊集合记为SIVF(X)。

为了度量2个区间值模糊集的差异性，引入如下函数。设X={x1,x2,…,xn}，∀xi∈X，M、N∈SIVF(X),称

|(M+(xi)-N+(xi))|)

为区间值模糊集M、N的距离。后文用d表示2个区间值模糊集之间的距离。

2 基于区间值模糊冲突表的三支冲突分析

本节将冲突表进一步推广，研究基于区间值模糊冲突表的三支冲突分析。分别探讨单议题和多议题下的冲突分析，提出乐观和悲观2种聚合议题损失函数的方法，最后利用决策粗糙集理论确定冲突集、中立集和联盟集。

在实际场景中，代理人对于议题的态度通常是模糊的，并在某个给定区间上浮动。根据这一语义,结合冲突分析理论，给出区间值模糊冲突表的定义。

定义3称四元组S=(A,I,V,f)是区间值模糊冲突表。其中：A={x1,x2,…,xn}为代理人集，每个xs(s≤n)称为一个代理人；I={i1,i2,…,im}为议题集，每个it(t≤m)称为一个议题；V=∪{Vit|it∈I}，Vit是议题it的值域，是区间值模糊集；f:A×I→V为一映射。对于代理人xs∈A，议题it∈I，f(xs,it)∈Vit，即f(xs,it)=[f-(xs,it),f+(xs,it)],f(xs,it)为代理人xs关于议题it的态度区间。

对于任意代理人x和议题i来说，若有其他代理人关于议题i有相同的态度，则代理人x就和这些代理人是联盟的。基于这一语义，下面从探讨代理人之间的关系出发，研究基于区间值模糊冲突表的三支冲突分析。考虑采用定义2中的距离函数描述态度的差异性，进一步分析出其相似性。实质上，距离值越接近于1，差异性越大，相似性越小；距离值越接近于0，差异性越小，相似性越大，即态度更接近，他们之间更倾向于联盟。

对于给定议题i，记Ci(x,y)=d(f(x,i),f(y,i))为代理人x与y之间的冲突度。首先，研究基于单议题上的冲突分析。

2.1 基于单议题的冲突分析

在定义3的基础上，通过冲突度Ci(x,y)给出区间值模糊冲突表中单议题下代理人之间的3个关系。

定义4设S=(A,I,V,f)是区间值模糊冲突表，i∈I，给定阈值α和β，满足0≤β<α≤1。定义议题i上的3个关系如下：

1)若Ci(x,y)≥α，则x和y是冲突的；

2)若β

3)若Ci(x,y)≤β，则x和y是联盟的。

基于所有代理人与x的3类不同关系，将代理人集合三划分。

定义5设S=(A,I,V,f)是区间值模糊冲突表，i∈I, 给定阈值α和β，满足0≤β<α≤1。对于任意代理人x∈A，定义议题i上代理人x的冲突集、中立集和联盟集如下：

根据定义4和定义5，易得如下性质。

性质1设S=(A,I,V,f)是区间值模糊冲突表，且0≤β<α≤1。对于任意代理人x、y∈A，有

例1研究6名学生的课外兴趣情况。设A={x1,x2,x3,x4,x5,x6}表示代理人集，集合中6个元素分别表示6名学生；I={i1,i2,i3,i4,i5}表示议题集，集合中5个元素分别表示5个课外兴趣小组。其中：i1表示书法小组，i2表示舞蹈小组，i3表示绘画小组，i4表示声乐小组,i5表示体育小组。f(x,i)表示该同学对这个兴趣小组的态度，形成如表1所示的区间值模糊冲突表(A,I,V,f)。

表1 例1的区间值模糊冲突表(A,I,V,f)

考虑到0和1的中位数是0.5，此处认为用0.5衡量反对、中立和赞同这3个态度较为合适。具体地，代理人xs关于议题it的态度区间为f(xs,it)=[f-(xs,it),f+(xs,it)]，若f+(xs,it)≤0.5，表示xs对it持反对态度；若f-(xs,it)≤0.5≤f+(xs,it)，表示xs对it持中立态度；若f-(xs,it)≥0.5，表示xs对it持赞同态度。

表2 基于议题i1的代理人之间的冲突值

在表3中，对于书法兴趣小组i1，学生x1的联盟集里面有x1、x4、x53个同学。即这3个同学对书法兴趣小组的总体态度相近，在培养过程中可以分到同一个学习小组，按照具体的兴趣个性化教学，从而达到学生高效学习的目的。

表3 基于议题i1的冲突集、中立集和联盟集(α=0.6,β=0.4)

2.2 基于多议题的冲突分析

f-(y,i)|+|f+(x,i)-f+(y,i)|)。

因此，可给出如下代理人关于议题集的3个状态集合。

定义6设S=(A,I,V,f)是区间值模糊冲突表，B⊆I，给定阈值α和β，满足0≤β<α≤1。对于任意代理人x∈A，定义议题集B上代理人x的冲突集、中立集和联盟集如下：

例2(续例1) 在实际教学中，研究学生在多个兴趣小组下的关系。计算议题集I上各学生之间的冲突值如表4所示，给定阈值α=0.5,β=0.3，得到代理人集合三划分的结果如表5所示。

表4 基于议题集I的代理人之间的冲突值

表5 基于议题集I的冲突集、中立集和联盟集(α=0.5,β=0.3)

在表5中，对于所有兴趣小组构成的集合I，学生x1在阈值α=0.5,β=0.3下与x4是联盟的。此时,让x1、x4两个学生一起参加所有的课外兴趣小组学习效果更佳。根据表5的结果，有助于教育者做出合理有效的决策。

2.3 基于决策粗糙集理论的阈值求解方法

在2.1节和2.2节的方法中，计算冲突集、中立集和联盟集依赖于阈值α和β的选择，不确定性较大。本节基于决策粗糙集理论给出一种客观求解阈值的方法，进而给出决策规则。

然而，现有利用决策粗糙集理论计算阈值的研究中，单个议题和议题集的损失函数均由专家给出，主观性太强。因此，接下来探讨从单议题到多议题的损失函数聚合问题。结合损失函数和区间数的语义，悲观的聚合方式取每个议题损失函数所有可能取值，乐观的聚合方式取所有议题损失函数共有的损失值，能够给出以下定义。

定义7设S=(A,I,V,f)是区间值模糊冲突表，对于任意议题i∈I，设λ·*(i)为议题i下的损失函数，其中·∈{C,N,A},*∈{C,A}，称

分别为议题集B上的悲观聚合损失函数和乐观聚合损失函数。

表6 议题子集B的区间值模糊损失函数

下面用CB(x,y)表示代理人x和y关于议题集B的冲突度，把CB(x,y)看作y属于x的冲突集的概率值。

定义8设Rx(a·|y)为将y放在3个行为集中的期望损失，记

Rx(a·|y)=λ·C(B)CB(x,y)+

λ·A(B)(1-CB(x,y))。

显然Rx(a·|y)仍是一个区间数，因此可用预备知识中乐观、悲观2种方式比较期望损失的大小。

基于期望损失，给出如下定理计算阈值。

定理1设S=(A,I,V,f)是区间值模糊冲突表,阈值α和β满足0≤β<α≤1, 损失函数满足λCC(B)≤λNC(B)<λAC(B),λAA(B)≤λNA(B)<λCA(B),则下列结论成立：

其中:

证明根据定义8可得,把y放在3个行为集中的期望损失如下：

按照贝叶斯最小风险决策理论，有以下3条决策规则：

基于损失值之间的大小关系，上述规则(C1)～(A1)可简化为

(C2)如果CB(x,y)≥α且CB(x,y)≥γ，则

(N2)如果CB(x,y)<α且CB(x,y)>β，则

(A2)如果CB(x,y)≤β且CB(x,y)≤γ，则

其中：

如果0≤β<γ<α≤1，可以进一步简化决策规则为

即证定理1成立。

由于这里损失函数有悲观和乐观两种聚合方式(定义7所示)，比较期望损失大小时也有悲观和乐观两种方式(1.2节所示)，可让损失函数的悲观聚合方式与期望损失的悲观比较方式对应，损失函数的乐观聚合方式与期望损失的乐观比较方式对应，因此会相应得到两组阈值αPess、βPess和αOpt、βOpt。当议题集B中只有一个议题时，定理1退化为单议题下的阈值求解方法。

定理1通过决策粗糙集理论，运用贝叶斯最小风险决策规则，基于损失函数给出了求解阈值的方法。下面通过一个例子来说明。

例3(续例1) 表7是专家给出的损失函数，根据1.2节的记号和定义7，可得议题集I上的乐观、悲观损失函数及其对应的转化值，如表8所示。

表7 专家给出的区间值模糊损失函数

根据定理1及表8，可以计算出：悲观聚合-转化方式下阈值αPess=0.583 3，βPess=0.2，乐观聚合-转化方式下阈值αOpt=0.444 5，βOpt=0.4。进而，可得每个代理人在2种聚合方式下关于议题集I上的3个集合，如表9所示。

表8 议题集I的乐观、悲观损失函数及其转化值

对于冲突分析理论来说，一般认为中立集越大，得到的结果越悲观；中立集越小，得到的结果越乐观。由于本文定义的悲观、乐观聚合损失函数得到的阈值之间有自然的大小关系，即用悲观聚合-转化方式得到的阈值距离大于乐观聚合-转化方式下的阈值距离。将两者结合起来可知，悲观聚合-转化方式对应较悲观的冲突分析结果，中立集较大；乐观聚合-转化方式对应较乐观的冲突分析结果，中立集较小。通过对比表5和表9也能得到同样的结果。

表9 每个代理人在悲观、乐观聚合方式下关于议题集I的冲突集、中立集和联盟集

4 结语

鉴于区间数良好的语义和代理人关于议题态度的可解释性，本文将冲突分析理论与区间值模糊集相结合，直观定义区间值模糊冲突表。用区间数表示代理人关于议题的态度，用区间值模糊集之间的距离表示冲突度，研究基于区间值模糊冲突表的三支冲突分析。从悲观和乐观两个角度对损失函数进行聚合，通过决策粗糙集理论给出求解阈值的方法，进一步确定决策规则。本文研究的理论可运用到实际问题中，比如公司对于新入职员工技能培训的安排，可依据每个人对技能的掌握程度分组培训，提高效率。可以看到，本文用区间数探讨代理人的态度，是对经典三值、多值和犹豫模糊值的推广，更符合人的一般认知；并且，对于损失函数而言并未从整个议题集出发，而是考虑从单议题到多议题的聚合问题，使损失变得相对客观。

出于简化聚合损失函数的考虑，本文现有的研究从两种特殊情况出发，即损失函数的悲观和乐观聚合方式，而在现实生活中往往会出现更丰富的聚合方式，未来考虑是否可以通过加权方式描述和解决。另外，在实际中会出现更复杂的情况，不仅是单个代理人之间的问题，代理人群体之间也会产生冲突，因此针对代理人集合间问题的研究也具有一定的实际意义。