一类加权Sobolev空间的嵌入研究

2023-01-13张书陶韩亚洲

陕西师范大学学报（自然科学版） 2023年1期

关键词：积分算子有界算子

张书陶，韩亚洲

(中国计量大学理学院，浙江杭州 310018)

在偏微分方程的研究中，Sobolev不等式、Sobolev空间发挥了重要的作用，其带来的估计、正则性、嵌入、紧性等性质，均是偏微分方程研究的有力工具[1-4]。本文研究一类加权的Sobolev空间，讨论相应的嵌入性质。

设Ω⊂Rn为开域，x=(x1,x2,…,xn)∈Ω,函数空间Lp(Ω,|x|αp)为所有满足

的函数构成，函数空间W1,p(Ω,|x|αp)由所有满足

的函数构成，并定义W1，p(Ω,|x|αp)的范数为

我们给出如下的嵌入性质。

1)存在常数C=C(n,p,α),使得

2)∀r∈(1,p*)，W1,p(Ω,|x|αp)⊂⊂Lr(Ω,|x|αr)。

取参数λ、α、β满足0<λ

(1)

(2)

在Stein-weiss不等式[5]满足的参数条件下(具体见第2节)，证明如下定理。

定理2设Ω⊂Rn为光滑紧子集，r满足

(3)

则S:Lp(Rn)→Lr(Ω)为紧映射。

(4)

其中|B1|表示Rn中单位球的体积,y=(y1,y2,…,yn)∈Rn。利用Stein-Weiss不等式[5-7](即加权的Hardy-Littlewood-Sobolev)，由(4)式可得如下的一类加权Sobolev不等式。

(5)

注2对加权Sobolev不等式(5)的讨论，以及更一般的加权不等式(10)的讨论，参见文献[9]。

利用积分算子(2)的紧性(定理2)和加权Sobolev不等式(5)，结合延拓算子等技巧，可给出定理1的证明。

1 加权Hardy-Sobolev不等式

(6)

‖|x|-βTλf‖Lq′(Rn)≤C‖|x|αf‖LP(Rn)。

(7)

两种等价形式分别为

‖Sf(x)‖Lq′(Rn)≤C‖f‖Lp(Rn),

∀f∈Lp(Rn),

(8)

C‖f‖Lp(Rn)‖g‖Lq(Rn),

∀f∈Lp(Rn),g∈Lq(Rn)。

(9)

下面利用Stein-Weiss不等式给出加权Sobolev不等式的一个新证明。

(10)

证明利用Laplace算子的基本解，可得

(11)

应用Stein-Weiss不等式(7)(此时取λ=n-1),有(10)式。

(12)

(13)

注4加权不等式(10)为Caffarelli-Kohn-

Nirenberg(CKN)不等式[10]的特殊情形，即对应CKN不等式中a=1的情形。

2 积分算子(2)的紧性:定理2的证明

定理2的证明任取Lp(Rn)中有界列{fm}，由自反空间理论知存在{fm}的子列(仍记为{fm})和函数f∈Lp(Rn)，使得{fm}在Lp(Rn)中弱收敛于f，下面只需要证明

(14)

即可，即证明函数数列{Sfm}在Lr(Ω)中强收敛于Sf。

若α=β=0，则Stein-weiss不等式(8)化为Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，且Sf(x)=Tλf(x)。而Tλ:Lp(Rn)→Lr(Ω)为紧映射的证明，可以仿照文献[11]中命题2.3的证明过程，简洁起见，省略该过程。

下面讨论α、β不同时为零的情形：任取一点x∈Ω，记Rn=R1∪R2∪R3,其中

R2={y∈Rn:|y|>2|x|}，

则Sf(x)=S1f(x)+S2f(x)+S3f(x)，其中

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下面分别证明{Sifm}(i=1,2,3)在Lr(Ω)中强收敛于Sif(i=1,2,3)。

由于α+β≥0，故在R1中,

|x-y|α+β≤(3|x|)α+β≤3α+β2|α||x|β|y|α，

从而采用讨论α=β=0的方法证明{S1fm}在Lr(Ω)中强收敛于S1f。