求解多右端对称线性方程组的BMINBACK方法的理论分析与执行
2023-01-13李欣朱景福李启勇
李欣，朱景福，李启勇
求解多右端对称线性方程组的BMINBACK方法的理论分析与执行
李欣，朱景福，李启勇
（广东石油化工学院 理学院，广东 茂名 525000）
研究求解对称多右端线性方程组的极小向后扰动块方法．在块Lanczos执行的过程中采用极小向后扰动范数作为终止算法的条件，对向后扰动的格式及其范数极小值的求法做深入的理论分析，进一步论证了块方法与向后扰动相结合的可行性．通过多组数值实验验证新方法的有效性和优越性．
Krylov子空间；多右端；线性方程组；块Lanczos方法；病态矩阵
本文研究求解多右端对称线性方程组
（2）
本文研究求解多右端对称线性方程组（1）的极小向后扰动块方法，把Lanczos块方法和极小向后扰动相结合，在块Lanczos的过程中采用极小向后扰动范数作为终止算法的条件，对极小向后扰动的形式及其范数极小值的求法和残量进一步深入论证，给出改进的新算法．研究了新方法求解的残量分析，通过多组数值实验验证新方法的有效性和优越性．
1 向后扰动块方法
考虑把多右端线性方程组（1）的近似解看作向后扰动方程
的精确解．
式（4）中的三项递推公式可用矩阵
残量矩阵表示为
1.1 向后扰动矩阵的分析
1.2 极小向后扰动块方法的产生
证明根据式（9）及文献[15]中第一章定理1.6，可以直接得到式（10），详细证明方法与文献[9]中定理一致． 证毕．
从而
基于推导过程，自然可得到式（9）中所述最小化问题的解的定理．
证明证明过程根据式（13）（15）（16）得到． 证毕．
给出求解对称线性方程组的极小向后扰动的块方法（BMINBACK）.
算法（BMINBACK）：
End
2 数值实验
本文的数值实验均在个人计算机上实现，具体配置：CPUintel（R）Core（TM）i7-8550u，主频1.8 GHz，内存8 GB，系统Win10 企业版，软件Matlab R2014a．
应用块Lanczos方法（BLANCZOS）和极小向后扰动块方法（BMINBACK）的求解结果见表1．
表1 例１的BLANCZOS和BMINBACK数值分析
由表1可以看出，在求解方程组（1）时，BMINBACK计算速度接近BLANCZOS的计算速度．
表2 例2的BLANCZOS和BMINBACK数值分析
由表2可以看出，在求解方程组（1）时，BMINBACK计算速度接近BLANCZOS的计算速度．BMINBACK的残量精度远远高于BLANCZOS的残量精度．
图1 例2的BLANCZOS和BMINBACK的残量对比
3 结语
致谢：感谢南京航空航天大学理学院戴华教授给出宝贵的指导意见!
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Theoretical analysis and implementation of the BMINBACK method for symmetric linear systems with multiple right-hand sides
LI Xin，ZHU Jingfu，LI Qiyong
（School of Science，Guangdong University of Petrochemical Technology，Maoming 525000，China）
The minimal backward perturbation block method for solving symmetric linear systems with multiple right-hand sides is studied．The minimal backward perturbation norm is used as the termination condition for the block Lanczos process，the theoretical analysis is discussed on the form of backward perturbation and the method of finding the minimum norm，the feasibility of combining the block process with backward perturbation is further demonstrated．Some numerical experiments are carried out to verify the effectiveness and superiority of the new method．
Krylov subspace；multiple right-hand sides；linear system；block Lanczos process；ill-conditioned matrix
1007-9831（2022）11-0001-07
O241.6
A
10.3969/j.issn.1007-9831.2022.11.001
2022-04-06
广东石油化工学院人才引进项目（2018rc44，2018rc45）
李欣（1968-），女，黑龙江讷河人，教授，硕士，从事数值代数研究．E-mail：2725696255@qq.com
朱景福（1970-），男，黑龙江克山人，教授，博士，从事计算机应用研究．E-mail：v0085@126. com
