练得实·研得深·悟得透·理得清——以“图形的轴对称”课后作业设计为例

钱卫华

（浙江省安吉县实验初级中学）

“双减”背景下如何有效推进作业改革，是当前教育界一个备受关注的问题.课堂是学生学习的主阵地，但作为课堂教学的延伸与补充，以及知识的巩固和提升，作业是学生实现深度学习、形成素养、培育品格的重要途径.学生只有通过课后作业的解决，自发、独立地深入学习，才能实现知识、能力、素养的发展和提升，所以作业是数学育人的重要一环.作业设计的精准程度关系到学生深度学习的效果，其设计以课程标准和教材为依据，以学生现实为基础，以学生发展为主旨.作业的设计要立足教材，注重现实，促使学生“练得实”；前后关联，注重提升，促使学生“研得深”；落实素养，注重生长，促使学生“悟得透”；整理反思，注重习惯，促使学生“理得清”.本文以浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册（以下统称“浙教版教材”）“2.1图形的轴对称”的课后作业设计为例对上述论点进行阐释.

一、当前课后作业设计中可能存在的问题

学生课业负担过重是当前义务教育阶段需要解决的重点问题，与之相关的课后作业设计也是教育改革所要破解的难题之一.随着“双减”工作的落实，作业改革也提上了日程.当前课后作业设计可能存在以下两个问题：（1）作业布置的数量过多、难度过大，以训练学生的技能为主，忽视学生数学学习过程中的知识关联与建构，忽视学生思维、素养的形成过程.机械的训练虽然能强化学生的技能，但也有可能固化学生的思维，扼杀学生的创造力，导致学生常常因为习题难度过大、解决问题时间过长，而失去学习的兴趣和动力.（2）教师用于布置课后作业的教辅资料的更新以当年中考试题的添加和调整为核心，这导致教师过度依赖教辅，缺少自主钻研，并偏离教学方向.作业的讲评会占据大量课堂时间，导致新授课的教学时间被隐性压缩，由此导致学生陷入时间、精力和知识掌握的“两难”.显然，这不符合《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）中关于促进学生核心素养发展的理念，也与“双减”精神相悖.

二、案例的教学内容分析

1.《标准》中关于“图形的轴对称”内容的要求

（1）通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分.

（2）能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形.

（3）理解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质.

（4）认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.

（5）运用图形的轴对称进行图案设计.

2.浙教版教材关于“图形的轴对称”的教学目标

（1）了解轴对称图形与两个图形成轴对称的概念.

（2）理解轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连接两个对称点之间的线段；理解图形成轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等.

（3）会判断一个图形是不是轴对称图形，并找出它的对称轴.

（4）能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形.

3.课堂教学分析

从课堂教学反馈来看，学生基本能理解、区分轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，会找轴对称图形的对称轴，会画给定对称轴的对称图形，初步会用轴对称解决简单的实际问题.学生主要存在的问题是轴对称图形的开放性设计，以及轴对称性质的灵活应用等.由此，可以看出学生在课堂上形成的思维尚浅，需要通过课后有效作业进阶形成高阶思维.

三、课后作业设计案例及说明

根据《标准》要求和教学目标设计，综合学生学情，对浙教版教材“2.1图形的轴对称”内容的课后作业设计如下.

A组——夯实基础

1.以下是几种垃圾分类的图标，其中哪个图标是轴对称图形（ ）.

2.如图1，五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（ ）.

图1

（A）1条 （B）3条

（C）5条 （D）无数条

3. 如图2， △ABC 和 △A′B′C′关于直线l对称，下列结论中正确的有（ ）.

图2

（1） △ABC ≌△A′B′C′；（2）∠BAC= ∠B′A′C′；

（3）直线l垂直平分线段CC′；

（4）直线BC和直线B′C′的交点不一定在直线l上.

（A）1个 （B）2个

（C）3个 （D）4个

4.如图3，一种滑翔伞的形状是轴对称四边形ABCD，直线AC是其对称轴，其中∠BAD=150°，∠B=40°，则∠BCD的度数是____________.

图3

5.如图4，正方形ABCD的边长为6，则图中阴影部分的面积为 ____________ .

图4

6.把一张长方形的纸按如图5所示的方式折叠后，C，D两点对应落在点C′，D′处，若∠OGC′=125°，则∠AOD′的度数是____________ .

图5

7. 图6（a）、图6（b）均为7 × 6的正方形网格，点A，B，C在格点上. 按要求分别在图6（a）、图6（b）中确定一点D，并画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，并画出其对称轴.

图6

【设计说明】《标准》指出，义务教育数学课程以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，落实立德树人根本任务，致力于实现义务教育阶段的培养目标，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展，逐步形成适应终身发展需要的核心素养.基于此，通过A组习题夯实基础，作业设计以激发学生兴趣、调动学生学习积极性为主，面向全体学生，旨在使学生通过练习能夯实基础，体验成功的乐趣，树立学习信心.第1题选项中给出的是学生处理垃圾分类时经常看到的图案；第2题中的图2是学生在小学阶段就已熟知的图形，习题素材源于生活，以此激发学生的学习兴趣，使学生更容易理解概念；第3题是浙教版教材“2.1图形的轴对称”中例1的变式，让学生逆向思考所作的对称图形应该具有哪些性质；第4题是让学生巩固轴对称图形的概念，将轴对称图形和两个图形成轴对称放在一起，有利于学生通过对比，更好地理解两个概念的区别与联系；第5题和第6题涉及轴对称的应用，在前面研究的基础上，利用学生的最近发展区，使知识自然生成，使学生体验成功的乐趣；第7题为开放性问题，旨在激发学生的求知欲，进一步加深对轴对称的理解，有效巩固、提升学生的知识薄弱点.本组作业的设计以生活情境为素材，注重教材例题、习题的变式，根据学生的学习现实进行有效补充，体现了基础性，使学生有兴趣、有信心、练得扎实.

B组——提升能力

8.图8中序号a，b，c，d对应的四个三角形，都是如图7所示的△ABC进行了一次变换之后得到的，其中为通过轴对称变换得到的是（ ）.

图7

图8

（A）a （B）b （C）c （D）d

9.剪纸是我国传统的民间艺术.如图9，将一张纸片按图中①②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）.

图9

10.如图10，在3×3的正方形网格图中，有格点三角形ABC和格点三角形DEF，且△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，试在如图10所示的6个网格中画出6个这样的△DEF.（每种方案均不相同.）

图10

11.如图11，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕.

图11

（1）求证：△FGC≌△EBC；

（2）若AB=8，AD=4，求四边形ECGF（即阴影部分）的面积.

【设计说明】深度学习不仅要“深”下去，还要“远”开来；不仅要实现当前的教学目标，让学生掌握知识、形成技能、发展能力、提升思想水平和精神境界，更要培养能够进入未来社会历史实践的主体.通过B组习题引导学生探究、揭示概念本质，注重学生的能力提升，着眼于学生的思维发展，使学生的学习有深度、有宽度.第8题要求从几种图形变换中找出轴对称的图形，需要学生理解各种图形变换的特征，通过比较，对概念理解得更为深刻；第9题让学生通过动手操作感悟折叠的实质就是轴对称，两次折叠就是两次轴对称，从而有效揭示轴对称问题的本质；第10题通过开放性设计，使学生进一步形成轴对称的直观想象，培养学生的创造性思维；第11题从几何直观到理性推理，使学生体会数学的实践应用.B组四道题目的设计有助于学生从不同角度理解轴对称，相互补充，通过比较学习，逐步加深学生对轴对称的理解，促使学生研究深刻，促进学生能力提升、思维生长.

C组——形成素养

12.（1）如图12，直线l表示草原上的一条河，一少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中，他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线.（河的宽度忽略不计.）

图12

（2）如图13，直线l表示草原上的一条河，一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中，他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线.（河的宽度忽略不计.）

图13

（3）如图14，直线a表示草地，直线l表示草原上的一条河，一骑马少年从A地出发，先去草地a放牧，然后去河边让马饮水，最后返回位于B地的家中，他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线.（河的宽度忽略不计.）

图14

13.如图15，四边形ABCD中，∠C=58°，∠B=∠D=90°，AB=3 cm，AD=4 cm，E，F分别是BC，DC上的动点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为_______.

图15

【设计说明】数学核心素养是数学教育的发展目标，但其形成并不是一朝一夕就能实现的，它是一个潜移默化的渗透、感悟的过程.本组作业设计的目的是让学生充分体验核心知识的发生、发展过程，感悟知识本质，提升关键能力，促进高阶思维生长，形成数学核心素养.通过本节课轴对称内容的学习，培养学生的模型观念，使学生能应用轴对称解决简单的问题，如第5题和第6题，但对复杂情境中有关轴对称思想的应用，学生缺乏直观想象，不能看透问题的本质，其实质是没有形成轴对称模型意识.因此，设计第12题让学生经历完整、系统的训练，通过对比形成认知冲突，促使学生感悟概念本质，建立轴对称模型，从而实现对轴对称内容的深度学习.同时，设计第13题跟进强化，让学生感悟到解决问题的实质就是应用轴对称模型转化线段.使学生体验数学源于实践、应用于实践，在感悟中逐步形成模型思想，并逐步深化模型意识，促进学生高阶思维的生长和发展，形成几何直观素养.

D组——整理反思

要求学生课后补全如图16所示的整理反思框图.（实线框内容由教师给出，虚线框内容由学生完成.）

图16 整理反思框图

【设计说明】《礼记·大学》曰：苟日新，日日新，又日新.意思就是要每天及时反省和不断革新，最终达到“日新”的目的，从而不断超越自我.作业设计不能局限于让学生做题，而是要促使学生养成整理知识、反思提升的习惯，使学生学会学习，培育学生的必备品格.本组作业设计的整体框架是关于本节课涉及的知识点和数学思想的一个思维导图，以此引导学生整理知识，厘清知识间的关联，建构知识框架，提升思维高度，实现深度学习.相信学生一旦养成好习惯，即可受益终身.正如心理学家约翰·洛克所说，儿童不是用规则可以教得好的，规则总是会被他们忘掉的.但是习惯一旦培养成功之后，便用不着借助记忆，很容易地、自然地就能发生作用了.

四、核心素养导向下数学课后作业设计的四个切入点

作业是教学效果的反馈，是课堂教学的延伸，更是学生深度学习的载体.作业的设计要以课程标准和教材为依据，以学生生活现实为基准，以学生核心素养的发展为导向，使学生通过作业练习的过程，系统、完整地建构知识，实现深度学习，促使学生在学习的过程中提升能力、生成思维、形成素养，培育品格.

1.立足教材，注重现实，促使学生“练得实”

作业的基本目的是让学生巩固所学知识，最终目的是培养能力、形成素养，所以课后作业设计并不是简单的复制或“炒冷饭”，低效、低层次的机械训练只会浪费学生宝贵的学习时间，使学生失去学习兴趣.作业的设计要立足课程标准和教材，注重生活现实，从生活中提炼素材激发学生的学习兴趣，从教材研究中加强例题、习题的变式，从不同视角设计问题，巩固、加深学生对知识的理解和应用，促使学生“练得实”.例如，A组的7道题从轴对称图形的判断、对称轴的确定、轴对称的性质及应用、利用轴对称作图等多角度，让学生经历全面、系统的训练，使学生再次经历知识的生长和发展过程，牢固地掌握概念，从而使作业设计有的放矢、精准扎实.

2.前后关联，注重提升，促使学生“研得深”

作业是学生深度学习的载体，作业设计要秉承“学为中心”的核心理念，引导学生在巩固、理解知识的基础上，体验知识的渐进性、关联性和开放性，以此达到深度学习、形成素养的目的.因此，教师在设计作业时，要注重知识的发生、发展及前后关联，使学生建构知识框架，提升思维高度，促使学生“研得深”，促进学生高阶思维的生长和发展.例如，B组习题中，通过设计逆向思维问题、开放性问题和实践应用问题，有效引导学生深入体验应用所学知识解决问题，从而使学生在练习中深刻研究，能力得到提升.

3.落实素养，注重生长，促使学生“悟得透”

《标准》指出，评价不仅要关注学生数学学习结果，还要关注学生数学学习过程，激励学生学习，改进教师教学.作业的设计同样如此，不仅要关注学生的作业效果，更要关注如何使学生的数学素养在做作业的过程中感悟形成及提升.设计作业时可以把学生有困难的问题归类、串联，形成比较学习，通过这样的比较，使学生感悟深刻，从而促进学生的思维生长，促使学生“悟得透”.例如，第12题第（1）（2）小题是简单应用一次轴对称的问题，学生基本能解决，但对于第12题第（3）小题和第13题，则需要学生多次应用轴对称的性质，学生会举棋不定、心有疑虑，这说明学生对概念的理解不够深刻，缺乏轴对称模型意识.因此，教师在设计这类问题时，可以把问题的原型演变、延伸、改编成一个题组或系列，使学生在练习中经历系统、有序的思考，悟通、悟透，由此促进高阶思维的生成与发展，提升数学核心素养.

4.整理反思，注重习惯，促使学生“理得清”

巴金说，孩子的成功教育从好的习惯培养开始.作业设计要“将学生的发展作为教育事业的根本”，深度学习的背后，还要关注学生必备品格的培育.在作业设计中，要培养学生学习的方法，引导学生学会比较、学会归纳、学会探究、学会学习，更要培养学生养成良好的学习习惯.在课后作业中以思维导向的形式设计整理反思环节，可以有效帮助学生梳理知识框架，促使学生“理得清”.例如，D组的整理反思给学生提供了一个示范，引导学生掌握整理的方法，使学生学会学习，实现数学育人.

“双减”背景下的课后作业设计，要秉承“学为中心”理念，关注学生深度学习的过程，注意作业的导向，让学生有兴趣、有信心完成教师精心设计的作业，亲历知识生长、构建的过程，从而实现思维生长、素养提升、品格完善.