基于抽象能力培养的锐角三角函数概念教学

高丽娟，李海龙

（北京市昌平区教师进修学校）

一、问题的提出

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）指出：课程目标的确定，要立足学生核心素养发展，体现数学课程育人价值.“会用数学的眼光观察现实世界”是数学课程要培养的学生核心素养之一，而数学眼光主要表现为抽象能力.《标准》在教学建议中指出：教学目标的确定要充分考虑核心素养在数学教学中的达成.因此，教师应该树立以发展学生核心素养为导向的课程观，体现数学教育的价值.如何在教学中落实数学核心素养，一直是教师的困惑.本文就在锐角三角函数概念的教学过程中如何培养学生的数学抽象能力，进而发展学生的数学核心素养进行了一些实践和探索.

二、对数学抽象能力的理解

1.数学抽象

数学抽象是数学中最基本的思维方式.数学抽象的一个重要表现是数学概念和规则的获得.按照抽象的程度不同，史宁中教授认为可以把数学抽象分为简约阶段、符号阶段、普适阶段.徐利治教授认为，数学研究中的抽象思维过程基本上经历了四个阶段，分别为研究数学现象、分析数学属性、确定本质属性、概念不断纯化.对数学命题和模型的抽象不仅需要关注抽象的结果，还需要关注数学抽象的过程.一般地，学生经历完整的数学命题和模型的抽象过程，需要这样的路径：从“辨别”到“抽象”为简约阶段，这个阶段主要是抽离事物本质；从“概括”到“形式”为符号阶段，这个阶段主要是完成符号表达；从“系统”到“运用”为普适阶段，这个阶段主要是形成理论，并将其运用到具体的情境中.

2.抽象能力

抽象能力主要是指通过对现实世界中数量关系与空间形式的抽象，得到数学的研究对象，形成数学概念、性质、法则和方法的能力.能够从实际情境或跨学科的问题中抽象出核心变量、变量的规律及变量之间的关系，并能够用数学符号予以表达；能够从具体的问题解决中概括出一般结论，形成数学的方法与策略.

3.数学概念教学中的抽象能力

数学概念教学中的抽象能力，是指在数学概念的学习过程中，通过现实世界中数量关系与空间形式的抽象，得到数学的研究对象，形成数学概念的能力，并能够用数学符号予以表达，感悟用数学的眼光观察现实世界的意义.

本文试图基于以上对数学抽象的过程与方法的划分，以锐角三角函数的概念教学为例，尝试对初中数学概念教学中抽象能力的培养进行探索，以期获得一些启发.

三、基于数学抽象能力培养的锐角三角函数概念教学活动设计

1.单元内容分析

（1）内容理解.

锐角三角函数属于图形与几何领域，安排在图形的相似内容中，突出了对图形的定量研究.初中阶段研究的锐角三角函数与高中阶段的三角函数不同.初中阶段的锐角三角函数是解直角三角形的基础，通过研究直角三角形中的锐角三角函数获得两条边的比值与锐角的大小及关系.而高中阶段的任意角三角函数属于严格意义上的函数，并以周期性为典型特征，进一步研究它的图象及性质.本单元内容的研究对象是锐角三角函数，其研究过程是在已经研究过直角三角形中特殊的边角关系的基础上，以相似三角形为依据，对直角三角形中一般的边角关系进行量化研究，进一步抽象得到锐角三角函数的概念.锐角三角函数是对直角三角形的边角关系的进一步研究，其主要研究内容如图1所示.

图1

（2）上下位关系.

本单元中的锐角三角函数主要研究的是直角三角形中锐角与边之间的关系，是解直角三角形的工具.前面学生已经研究了三角形的定义、边的关系和角的关系，以及两个三角形之间的全等关系和相似关系.全等可以看作相似比为1的特殊情况，相似也可以看作全等的推广.特例图形的研究很重要，研究了等腰三角形和直角三角形后，在直角三角形中的三边关系、两个锐角之间关系的基础上，进一步研究其边角关系.通过本单元的学习，一方面，使学生掌握直角三角形的边角关系；另一方面，也为学生在高中阶段学习任意角三角函数等知识做铺垫.

（3）蕴含的数学思想和方法.

由从特殊角与边的关系产生猜想到经历归纳与演绎获得结论，根据以往学习函数的经验发现两个变量间存在函数关系，进而发现引出正弦概念的必要性，在此过程中体现了从特殊到一般思想和函数思想.锐角三角函数概念的学习是从实际问题引入，从中抽象出数学问题，通过对一系列特殊数学问题的探究归纳出一般结论，并抽象出锐角三角函数概念，然后用新概念解决数学问题，最后回归到实际问题.在这一过程中，能够培养学生的数学抽象能力，使学生进一步体验数学模型思想.通过特殊角的三角函数值和利用计算器求非特殊角的函数值，已知锐角三角函数值求锐角度数，使学生体会对应思想.本章的内容与图形有着密切的联系，所以数形结合思想贯穿始终.

（4）育人价值.

本单元内容的探究以实际问题贯穿始终，以大量典型、具体、实际的例子获得猜想和结论，发展学生的抽象能力和概括能力.通过实际问题建立函数模型，并用数学模型解决实际问题，整个过程发展了学生的归纳推理能力、演绎推理能力及模型思想，课堂中通过不断让学生将文字语言转化为符号语言，培养学生的符号意识，通过边角关系的相互转化，培养学生的运算能力.

（5）单元内容及教学目标.

本单元主要研究锐角三角函数的概念及三角函数值的运算.课时安排如下.

第1课时：正弦的概念.

第2课时：余弦和正切的概念.

第3课时：利用计算器求非特殊角的三角函数值；已知特殊的锐角三角函数值求锐角的度数.

第4课时：锐角三角函数的应用.

单元教学目标：①经历从实际问题中抽象出数学问题的过程，探究发现“在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比都是一个定值”，借助相似直角三角形的判定与性质，探索并认识锐角三角函数，知道30°，45°，60°角对应的三角函数值，提高抽象能力.

②通过用计算器求任意锐角的三角函数值，以及由特殊的三角函数值求与它对应的锐角的过程，进一步理解锐角三角函数的概念，并体会锐角与三角函数值之间的对应关系.

③经历用锐角三角函数解直角三角形和解决简单的实际问题的过程，体会锐角三角函数在解直角三角形中的作用，渗透数学模型思想.

2.学情分析

（1）具备的基础.

九年级学生已经具备直角三角形的边的关系（勾股定理）、角的关系（互余）、全等三角形、相似三角形、函数概念、一次函数和二次函数等知识基础.通过课前测试了解到，学生对于“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边一半”结论的应用，正确率为84.6%；对于勾股定理的应用，正确率为80.1%；对于相似的性质和判定的应用，正确率为73.0%.对于九年级学生而言，他们可以通过观察、实验、操作、猜想、验证与证明获得结论的成立，经历过从特殊到一般的学习过程，具备归纳和演绎推理的能力，这些是学习本单元知识的基础.

（2）教学问题诊断分析.

①学生对于直角三角形中的边和边的关系，以及角和角的关系比较清楚，但是从认知角度快速建立起边和角的关系还比较困难.教学过程中从学生熟悉的边角结论入手，帮助学生突破已有认知结构的盲点，克服认知障碍.

②学生对于三种数学语言的转化能力和概括总结能力有所欠缺.教学中及时引导并鼓励学生采用小组合作学习的方式进行交流总结.

③学生对正弦概念的得出比较困惑.教学中，采用对比以往学习过的函数特征的方式，引入用含有几个字母的符号sin A表示函数，使学生认识到知识的产生源于数学内部的需要.

因此，锐角三角函数概念的获得是本单元的教学难点.

3.“正弦的概念”的教学设计

（1）课时教学目标.

①在直角三角形中，认识锐角的正弦，并初步体会概念的合理性，理解sin A的意义，会求锐角的正弦值.

②经历在直角三角形中探究边与角关系的过程，发现当锐角的大小确定时，其对边与斜边的比值是固定的，进而抽象出正弦的概念，体会从特殊到一般的研究方法，发展学生的抽象能力.

③通过锐角的正弦的探究过程，感受数学学科的严谨性，体会获得成功的喜悦.

（2）教学重点与难点.

教学重点：直角三角形中的正弦概念的获得及理解.

教学难点：研究正弦概念的基本思路，正弦概念的合理性.

（3）教学过程设计.

环节1：回顾体系，确定路径.

教师引导学生回顾三角形的研究内容，总结出如图2所示的框架体系.

图2

【设计意图】通过梳理已学过的三角形的内容，从知识体系上理解本节课的内容在三角形体系中的地位，体会研究问题的合理性，感受研究数学问题的路径.

环节2：设置情境，认识特征.

问题1：如图3，小莉和同学一起去户外放风筝，风筝线某一时刻是直的且与水平方向所成的角为30°，如果此时放出风筝线的长度为100米，那么风筝和小莉右手的高度差是多少？

图3

将问题1用符号语言表达为：如图4，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB的长为100米，求BC的长.

图4

追问1：当AB的长分别为120米、140米、a米时，BC的长分别为多少？

追问2：你判断的依据是什么？

追问3：通过问题1，你能发现30°角的对边与斜边之间有怎样的数量关系？你可以用一个式子表示吗？这个结论对于任意一个含30°角的直角三角形都成立吗？

教师把30°角和其对边与斜边的比值填入表1中，并引导学生发现角和边的比对解决问题1起到了重要的作用，从而有必要去研究一下角和边的比（对边与斜边）的关系.

表1

问题2：在直角三角形中，如果这个锐角不是30°，其对边与斜边的比值还是吗？你还想研究哪些角的对边与斜边的比？你能得出什么结论？

师生活动：教师引出问题，学生小组合作、分组讨论，共同完成探究过程，并交流展示.

有学生想到研究45°角，研究过程如下.

如图5，在Rt△ABC 中，∠C=90°，

图5

因为∠A=45°，

所以Rt△ABC是等腰直角三角形.

所以AB2=AC2+BC2=2BC2.

有学生想到研究60°角，研究过程如下.

如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，

图6

因为∠A=60°，所以∠B=30°.

并把结果填入表2.

表2

【设计意图】环节2对应数学抽象过程中最初的“辨别”和“分化”两个步骤.学生通过将一个实际问题抽象为数学问题，依据已有经验获得直角三角形中30°角和其对边与斜边比的关系，使研究边角关系的方向更加明确，为后续探究角与边比关系奠定基础.通过问题2，强化学生对“对边与斜边的比”的关注，研究45°角和60°角的边比关系，分别根据勾股定理和30°角的边比，得到45°角和60°角的对边与斜边的比值，让学生进一步感知“角固定，边的比值也固定”.

环节3：对比分析，总结共性.

问题3：观察表2，你有什么发现？

师生活动：学生观察表2，进一步交流、思考，很容易发现，在Rt△ABC中，当锐角A的度数为特殊角30°，45°，60°时，无论这个直角三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个定值.并进一步猜想，当∠A不是特殊角时，结论也成立.

问题4：在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A不是一个特殊角，∠A的度数只要确定，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值，这个猜想对吗？我们可以借助几何画板软件验证一下.

师生活动：教师借助几何画板软件演示（如图7、图8），使学生直观感受验证猜想的过程.

图7

图8

教师把对应值填入表3.

表3

追问：你能证明这个猜想吗？

师生活动：教师引导学生证明猜想，学生分组讨论，并进行交流、展示.

结论：在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.

【设计意图】在环节3中，学生经历了数学抽象过程中的“类比”和“抽象”两个步骤.学生在探究了特殊角30°，45°和60°的对边与斜边的比都是一个固定值后，提出问题：直角三角形中的任意一个锐角度数确定了，其对边与斜边的比是一个固定值吗？对于问题4，要如何去验证呢？教师利用几何画板软件演示，验证角的一般性，让学生初步确认猜想的正确性.有了这样的验证后，还要让学生体验合理的猜想是数学学习中研究问题的方法之一，为后面学习做进一步铺垫.但是猜想是否正确，还需要推理论证.通过追问，引导学生进行推理论证，最终得到正确的结论.

通过让学生经历观察、猜想、验证、证明的过程，加深学生对结论的认识与理解，为后续引出正弦概念做铺垫.同时，培养学生推理论证的意识.

环节4：归纳概念，符号表达.

问题5：观察表3，通过以上内容的研究学习，我们知道“在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比是一个固定值.这个固定值随∠A度数的变化而变化”.由此，你能联想到以前我们学过的什么内容？

师生活动：教师让学生观察表3，引导学生关注角度和比值的对应和变化关系，学生根据问题中的关键信息，寻找新、旧知识之间的联系.教师及时引导学生关注其中蕴含的“变化与对应”思想.

追问：这个函数是我们以前学习过的函数吗？

师生活动：学生先独立思考回顾以往的知识，然后合作交流，对新的函数形成认知冲突，教师及时正确引导下定义.

【设计意图】在环节4中，学生经历了数学抽象过程中的“概括”和“形式”两个步骤.教师通过问题5及其追问，帮助学生建立知识之间的联系，引出函数的本质和“变化与对应”思想，从而合理引入正弦概念.

环节5：理解概念，辨析应用.

问题6：如何理解sin 30°？其值为多少？sin 45°呢？sin 60°呢？

教师进一步强调正弦的三种表示方式：①sin A（此时要省略角的符号）；②sin 30°；③sin∠BAC.

问题7：判断下列结论是否正确.

图9

（2）在Rt△ABC中，锐角B的对边和斜边同时扩大10倍，sin B的值也随之扩大10倍.

图10

图11

师生活动：学生先独立思考，然后小组讨论，学生代表交流，并且说明理由.接着，教师给出以下例题.

例1 如图12，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求sin A和sin B的值.

图12

练习：直接写出图13、图14中∠A和∠B的正弦值.

图13

图14

【设计意图】为帮助学生更准确地把握概念的内涵，可以通过具体的例子进行概念的辨析，使学生理解概念.因此，在环节5中，问题6、问题7的设置既是对正弦概念的辨析，同时也能够帮助学生理解正弦的概念.例题和练习题的设置对应数学抽象过程中的“运用”这一步骤，帮助学生把握正弦概念的本质，学会应用正弦概念解决问题，并通过应用概念进一步理解概念.环节5也是一个从抽象到具体的过程，实现了抽象的第三个阶段——从“系统”到“运用”的普适阶段.

环节6：课堂小结，归纳提升.

教师让学生回顾本节课的内容，思考以下问题.

（1）本节课学习了什么内容？

（2）我们是如何研究这个内容的？

（3）你还想研究什么？

师生活动：引导学生思考、表达.最后教师小结，师生完善出如图15所示的知识结构图.

图15

【设计意图】引导学生梳理本节课学习的内容，提炼运用的数学思想方法，完善知识体系，为下节课的学习做铺垫.

以上教学过程中，以实际情境为基础，以问题为引导，使学生在原有知识的基础上，引出对“在直角三角形中，锐角所对的边与斜边的比值”的探究，从特殊的30°，45°，60°角，到任意锐角的探究，逐步完善猜想，并推理论证猜想，进而归纳概念，并用符号表示概念.学生经历了观察、猜想、验证、证明一个命题的完整过程，也经历了从事实到概念、从实际问题中抽象出数学问题、从数学问题的解决过程中发现规律，从而提出数学命题的过程.接着对于数学命题进行验证和证明，进而得到正确结论，最终抽象出正弦概念，使学生对于正弦概念的认识经历了从感性认识到理性认识的过程.在实际教学过程中，教师能够给学生比较充分的时间，让学生思考、表达、书写，及时鼓励学生积极参与数学探究活动，使学生通过尝试对比分析、归纳、概括定义，提高数学抽象能力.

四、教学反思

1.整体把握课程内容，构建前后逻辑连贯的知识体系

数学之间有很强的逻辑性，开展教学前，加强对数学教学内容的结构化梳理，可以帮助学生形成良好的认知结构.通过课前知识结构梳理，明确本节课的研究对象和研究问题，把研究问题置于大单元知识体系中，呈现一个大的知识结构，便于学生同化知识.小结时把新的研究问题纳入到原有的知识结构中，通过本节课学习后形成新的结构，整个过程既有利于明确学习目标和学习要求，又有利于激发学生进一步探究学习的兴趣和保持学生持续学习的动机.

2.让学生经历概念的抽象过程，培养学生的数学抽象能力

本节课围绕研究“在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比值”这一主题，从学生可算的特殊角30°，45°，60°，到用几何画板软件验证非特殊角50°，70°，…，到用相似三角形的知识进行证明，进而得出命题.接着通过对命题的本质的分析，抽象出正弦的概念，并给出符号表示.最后对概念进行辨析及初步应用，不断加强学生对概念的理解.学生经历了观察、猜想、证明，获得命题，通过分析，获得概念的本质属性，进一步进行概念抽象，明确概念的过程，抽象能力、几何直观能力等均得到了提升.