“几何图形初步”单元中抽象能力的具体体现

吴增生

（浙江省仙居县教育教学研究中心）

凝练出数学核心素养，以数学核心素养为抓手，落实数学教育的立德树人，这是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）相较于《义务教育数学课程标准（2011年版）》的重大变革之一.《标准》明确了数学核心素养的内涵，清晰界定了数学核心素养在小学和初中阶段的具体表现，为把数学育人落实到课堂教学和评价实践提供了可操作的框架.

《标准》对抽象能力的内涵与要求的表述如下：抽象能力主要是指通过对现实世界中数量关系与空间形式的抽象，得到数学的研究对象，形成数学概念、性质、法则和方法的能力.能够从实际情境或跨学科的问题中抽象出核心变量、变量的规律及变量之间的关系，并能够用数学符号予以表达；能够从具体的问题解决中概括出一般结论，形成数学的方法与策略.感悟数学抽象对于数学产生与发展的作用，感悟用数学的眼光观察现实世界的意义，形成数学想象力，提高学习数学的兴趣.

抽象能力是数学核心素养中“用数学的眼光观察现实世界”在数学活动中的核心行为表现，它往往与空间观念、几何直观等具体表现融合在一起，在知识发生、发展和应用的过程中，以及反思和总结自身数学活动经验中体现出来.

在知识发生、发展的过程中，抽象能力体现为：基于现实情境和数学情境，通过抽象引入研究对象，得到概念、性质、法则、方法和策略等，形成结构化的数学知识体系.具体包括：①引入与明确研究对象及其之间的关系，形成数学概念；②建立概念之间的联系，得到表达概念的本质属性及概念之间联系的数学原理（包括命题与规则，如公理、定理、法则、公式等）；③基于数学的整体性，在一般观念引领下逐步构建数学系统结构.

在应用知识解决实际情境及跨学科情境问题过程中，抽象能力体现为：明确研究目标，分离出核心要素，抽象出核心变量及其关联，用数学的符号和模型予以表达.

在数学活动过程的反思与总结过程中，抽象能力体现为：总结数学活动经验，抽象出核心的思想方法和一般观念（形成研究一类对象的路径、内容、方法，以及组织知识的顶层架构与价值观念），学会学习.

数学抽象指的是在一定的数学观念导向下，从情境中忽略除数量关系和空间形式外的所有其他信息，把对象的信息简约化，发现对象的共同属性并推广到一般，形成普适理论的数学认知活动.数学抽象要经历通过分离要素、分析要素间的关系，把信息简约化的阶段和用符号表示的符号化阶段，以及建立普适的数学理论用于解决问题的普适化阶段.在具体的概念、法则和公式等抽象过程中，数学抽象需要经历“分离属性与建构模型—概括与一般化—定义与符号化—系统化”等步骤.

数学抽象活动是基于具体的数学知识的发生、发展和应用过程，是与课程内容相融合的.因此，结合具体内容研究抽象能力的具体表现，不论是对数学核心素养的理论发展，还是对发展素养的教学实践，都具有重要的意义.

一、“几何图形初步”的内容结构和育人价值

在小学阶段，学生通过观察、操作、测量等直观方式初步认识了几何图形.直观地认识了实物与几何图形的关系：通过从不同的方向看，初步认识立体图形与平面图形的关系；基于直观比较了直线、射线、线段的共性与区别，学习了线段和角的度量及度量单位，直观地认识了线段及角的大小关系；用直观的方法认识了三角形、平行四边形、圆等平面图形，会求它们的周长和面积；用直观的方法初步认识了图形的平移、轴对称和旋转的基本特征.初中阶段的几何图形初步，是在小学阶段直观认识几何图形的基础上，逐步从实验几何过渡到推理几何，更加理性、系统地研究几何图形.用融合直观与逻辑的方法研究几何图形，需要通过抽象概念体系以明确推理的对象，抽象基本事实以建立推理的起点，发现结论并抽象为命题以明确推理的目标，通过推理实践让学生基于实践操作理解“什么是推理，怎样的推理是有逻辑的推理”.而这一单元的课程内容，其核心任务是抽象几何图形的基本概念与基本事实，为今后用推理的方法研究几何图形奠定基础.在小学阶段直观地认识简单的几何图形的基础上，通过分离要素、分析要素关系，系统地建立点、线、面、体等基本几何图形的直观意义，抽象直线、射线、线段、角等基本概念，以及线段和角的大小及和、差、倍、分等概念，抽象直线、线段的基本事实，初步接触基于基本事实的针对明确的推理对象的推理活动（如推导余角和补角的性质），体会推理的意义与价值.

二、抽象能力在“几何图形初步”中的具体体现

要用推理的方法研究几何图形，分析构成几何图形的基本要素并给出定义，建立反映这些基本要素之间的关系的公理（基本事实）是奠基性的.在《几何原本》中，欧几里得通过23个定义、5条公设、5条公理来建立《几何原本》的逻辑基础.而希尔伯特则用5组公理建立三类不加定义的“宽泛”对象（点、直线、平面）之间的关系，从而在更加形式化的抽象水平上建构形式化、公理化的几何逻辑体系.尽管当前的几何课程内容已经比《几何原本》更加简化和直观化，但同样需要先建立共同的逻辑基础，在此基础上用推理的方法得到几何课程内容的逻辑体系.在本单元中，抽象能力主要体现如下.

1.能在直观的基础上，通过对物体的形状、大小和位置关系等空间结构的抽象，系统建立点、线、面、体等基本几何图形的概念体系

首先，进一步建立实物与几何图形之间的联系，体会几何图形的抽象性和一般性，明确几何学的研究内容，即物体和图形的形状、大小、位置关系；其次，经历几何图形要素的分析过程，初步感受组成图形的基本要素（点、线、面），并通过这些基本要素的组合和运动操作及想象，建立点、线、面、体之间的联系；能通过直观观察和分类，抽象出立体图形和平面图形的概念，并通过从不同的方向看，将图形展开和折叠，建立立体图形和平面图形之间的联系.虽然这些概念还是直观描述的，但却是成体系的，这就有了公理化几何的基因.实际上，欧几里得《几何原本》中对点、线、面等基本几何图形的“定义”是直观描述的.例如，“点是没有部分的”“线只有长度而没有宽度”“直线是它上面的点一样地平放着的线”“面的边缘是线”，等等.但这些定义是成体系的，连同公理和公设，奠定了初步公理化的几何学体系.希尔伯特则洞察了几何学是研究基本要素的“关系”这一本质特征，舍弃了欧几里得《几何原本》中关于点、线、面的一切内涵，而是聚焦这些要素之间的关系，抽象出公理体系.《希尔伯特几何基础》中直接给出了用大写字母A，B，C，…表示“点”，用小写字母a，b，c，…表示“直线”，以及用α，β，γ，…表示“平面”，不对每类对象的意义做任何解释，而是用“关联公理”“顺序公理”“合同公理”“平行公理”“连续公理”这5组公理建立这些对象的关联，体现了数学是研究对象关系的抽象思想，把几何学推向了形式化、公理化的逻辑高峰.

2.聚焦平面图形的研究，能抽象直线、射线、线段的概念体系

（1）要建立直线、射线、线段的概念体系，不应该只停留在小学阶段从线段到射线和直线的直观认识水平上，应该基于直观经验，让学生经历用基本事实刻画直线的本质属性：点动成线—点运动过程中方向不变，形成直的线—方向由两点确定—通过作图操作和运动想象—抽象基本事实“两点确定一条直线”—解释用两个大写字母表示直线的合理性—抽象点与直线的位置关系，以及两条直线相交的概念.在欧氏几何中，直线的概念是原始概念，是基于画图用点的特征表述直线的直观内涵（直线是它上面的点一样地平放着的线）的，其最重要的内涵是直线的方向性.对直线方向的直观隐隐地体现在欧几里得《几何原本》定义系统中：平面角是在一平面内但不在同一直线上的两条相交线相互的倾斜度；圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆周截得的线段，且把圆二等分.

在这里，点是最基本的几何图形，是构成空间的最基本的要素，用集合论的观点看，三维空间可以看成点集，三维空间中的直线、平面是空间点集的子集.“点”是由现实中物体的位置抽象出的几何概念.当只关注物体在空间的位置而忽略其他所有因素时，就得到了空间中“点”的概念.在研究空间结构时，往往通过低维空间来定义高维空间，用点来描述直线，用直线描述平面，用平面描述三维空间的结构，等等.通常，如果我们认识了一维空间R，则可以通过笛卡儿直积Rn={( x1，x2，x3，…，xn)|xi∈R} 来定义高维空间，而研究高维空间中的对象，则往往通过投影（限制）进行降维，如把平面图形投影到坐标轴上，通过投影把三维图形降维到平面（二维）图形.这种用低维空间描述高维空间的方法符合人类认识事物的基本规律——重组已有经验认识新的对象.

进一步地，以直线和点为属概念通过“属+种差”的方式抽象射线和线段的概念体系：直线—直线上一点的一侧部分（直线上的一个方向）及现实情境中的方向—射线—射线的确定条件（端点和方向，或另一点）—射线的表示方法；直线—直线上两点之间的部分—线段—线段的确定条件（两个端点）—线段的表示方法.

（2）通过作图和运动，在直观的基础上抽象线段的度量属性：研究直线上两点之间的位置关系—线段的大小比较与运算—线段的移动作图（作一条线段等于已知线段）—线段相等的定义—线段大小的定义—线段和、差、倍、分的定义.

基于直观，抽象线段的基本事实：两点之间所有的连线中，线段最短.

3.能基于方向与方向差，基于射线的组合和运动直观，抽象角的概念体系

用射线刻画方向，基于方向差异引入角.通过静态射线组合和小学经验抽象角的概念、角的表示、角的度量、角的分类；通过射线的动态旋转，理解角的本质——角是转出来的，用来表达方向的变化.

类比线段的度量相关概念的抽象经验，抽象出角的度量的相关概念：角的移动—角相等的定义—角大小的定义—角的和、差、倍、分的定义.通过对角的特殊化，抽象互余角和互补角的概念，基于共顶点的两个直角（平角）形成公共分割线，基于直观和角的和、差运算，用推理的方法得到“等角（或同角）的余角（补角）相等”.

4.能综合应用线段和角，表达平面上两点之间的位置关系，抽象出用方位角和距离表达平面上点的位置关系的方法

点是对空间位置的抽象，空间中不同的点集组成图形.无论是图形的性质，还是图形的变化、图形与坐标，本质上研究的都是空间上点及点集的位置关系及其变化.因此，对空间中的点的位置关系进行量化刻画是几何研究的核心内容，如向量几何就是用既有大小又有方向的向量及其运算来量化表达空间位置，研究几何图形的性质.在小学阶段，学生就分别学习过物体的方位，如东、南、西、北，以及两点之间的距离，进行点的位置关系的初步表达.在几何图形初步中，从现实情境中提出表达直线和平面上点的位置关系的量化表达，抽象出距离和角度两个基本几何量，选择适当的基准，量化表达直线和平面上点的位置关系，是今后学习图形的性质、图形的变化、图形与坐标内容的基础.

事实上，可以从直线概念出发，以描述直线上任意两点之间的位置关系为任务驱动，引导学生提出研究线段的大小及线性运算的学习课题，这本质上是在研究直线上点的分隔与顺序，与《希尔伯特几何基础》中所说的“顺序公理”相关.直线上点的共性用“两点确定一条直线”的基本事实来刻画；直线上任意两点的位置区别依赖于方向和距离，从方向中可以抽象出射线的概念，而距离来自于对线段长度（两点之间的最短路径）的抽象.类似地，可以用如何量化表达平面上两点之间的位置关系引入射线来表示方向，从方向差中抽象出角的概念，建立角的度量关系.在学习线段和角的度量属性后，借助现实情境引导学生综合运用距离和角度量化刻画平面上点的位置关系，这既是“学以致用”的需要，也是发展学生从现实情境中抽象核心变量和模型（几何中为核心要素和图形）能力的需要.通过对用距离和角度表达直线和平面上点的位置关系活动的反思和总结，形成借助方位角和距离表示平面上点的位置关系的方法：选择基准点和基准方向—用角度表示目标点方向与基准方向的方向差—用线段的长度表示目标点到基准点的距离.这是结合具体内容发展学生的学习方法和策略抽象能力的需要.

5.能通过几何图形的解构和重构，抽象出本单元的研究框架及知识结构体系

抽象单元知识结构体系是发展数学系统结构抽象能力的需要，这需要引导学生回顾学习历程，从研究内容、研究思路、研究方法等角度抽象研究的基本框架，构建适当的知识结构体系.

“几何图形初步”的研究框架和知识结构体系如下.

研究的内容：分离几何图形的基本要素，研究基本要素之间的关系，抽象几何基本要素的概念体系和基本事实，奠定用推理的方法研究几何图形的逻辑基础.

研究的方法：通过观察和作图获得直观的图形，通过抽象获得概念，明确推理的对象；通过抽象获得基本事实，建立推理的起点；通过推理获得和确认性质，建立推理的逻辑.按照从一般到特殊的顺序，用“属+种差”的方法，从基本概念出发抽象出派生概念，建立概念的逻辑体系.

本单元的知识结构如图1所示.

图1

三、本单元中的概念、基本事实、性质、方法策略抽象案例分析

案例1：直线、射线、线段概念的抽象.

（1）回顾“点动成线”.学生手绘画线，直观感知线有曲直之分.进一步，学生经历画“直”的线的活动，总结画图的经验，发现：若笔尖运动时方向保持不变，则画出“直”的线；若笔尖运动时方向有变化，则画出“曲”的线或“折线”，这样就有了“直”的线的直观模型.

（2）回顾小学阶段的学习经验.直线是向两个方向无限延伸的，如果已知直线上一个点A，研究直线位置是否被确定.通过对过点A的直线旋转的想象，发现直线的位置不确定（因为方向不确定），进一步通过想象发现，要确定这条直线的位置，必须而且只需确定直线的方向或直线上的另外一点B，再通过作图确认，经过A，B两点的直线有一条而且只有一条，并通过与同伴交流，推广到一般，用图形和符号表示.在此基础上，给出点与直线的位置关系和相交直线的定义，并用语言和符号表达.

（3）对“直”的线进行分类.以直线和点为属概念，通过想象把直线沿着一点“剪断”成两部分、过两点“剪断”成三部分的过程，抽象射线、线段的概念，给出明确的定义，讨论其确定条件和符号表示，其确定条件和符号表示可以类比直线进行抽象.

（4）在概念水平上建立直线、射线、线段之间的联系，得到“直”的线的概念体系，并解释小学学过的直线、射线、线段的直观意义，理解其联系与区别.

在上述概念抽象过程中，经历了“分离属性与建构模型—概括与一般化—定义与符号化—系统化”等步骤.

案例2：线段的大小及和差倍分关系的抽象.

从数学内在发展的逻辑来看，线段的长度是刻画两点之间的位置关系、研究直线上的点的分隔与顺序的重要几何量.以量化刻画直线上两点之间的位置关系为任务驱动，引导学生提出比较线段长短的问题，抽象线段的大小及线性运算关系.线段大小概念的抽象也是基于直观经验进行的.先基于生活经验，把比较个子高矮的问题抽象为比较线段大小的问题，从而认识到线段是有长度、可以比较大小的.在此基础上，作出线段移动的图形（如图2），通过与同伴交流，把从直观图形上得到的度量属性推广到一般.基于图形，先给出线段相等的定义（移动后能重合的线段叫做相等的线段），并用符号表示.接着基于图2中线段AB的端点B与线段CD的位置（在C，D之间或在CD的延长线上）给出线段大小的定义.进一步地，给出线段的和、差运算的定义，最后给出线段中点的定义.

图2

在线段的度量关系——和、差、倍、分关系的抽象中，同样需要经历“分离属性与建构模型—概括与一般化—定义与符号化—系统化”等步骤.

案例3：互余角和互补角性质的抽象.

互余角和互补角的概念来源于对直角和平角的分割；进一步，通过共顶点的直角和平角交叠组合而成的图形抽象出余角和补角的性质，如图3所示.

图3

线段的和、差定义基于线段的分割.类似地，角的和、差基于角的分割（过顶点作分割射线）.以此为出发点，通过角的特殊化构建互余角和互补角的直观图形，分离这种关系的基本要素——角及角的分割线，把这种角的数量关系推广到一般，并用语言和符号表达，抽象出互余角和互补角的概念.要抽象余角的性质，需要借助共顶点的两个直角交叠成的公共角，应用角的互余关系和等式的性质推理得出“同角（等角）的余角相等”.通过类似的步骤推理出“同角（等角）的补角相等”.最后，类比两者，得到余角和补角性质的体系.在这一余角、补角及其性质的抽象过程中，再次经历了“分离属性与建构模型—概括与一般化—定义与符号化—系统化”等步骤.

案例4：用方位角和距离表达平面上点的位置的方法抽象.

在空间中，点的位置关系是最为基本的研究问题，所有的几何图形无非是一些具有特殊位置的点的集合，研究图形的性质本质上还是为了研究空间中点的位置关系，从而理解和表达空间的结构的本质属性.用方位角和距离描述平面上点的位置，来源于小学学习的方位的认识.我们知道，在一维空间（直线）上，为了量化描述直线上的点的位置，需要确定基准点，确定一个点相对于基准点的方向和距离，这个距离就是连接基准点的线段长度与单位长度的比.因此，如图4，量化描述直线上的点的位置，需要依赖于线段的长度（两点之间的距离）和方向.类似地，量化描述平面上的点的位置关系，要确定基准点，任意一点的位置就可以用它相对于基准点（参照点）的方向和距离来描述（如图5）.刻画方向的度量工具是角度（描述从基准点到一点的方向与基准方向的差异）.因此，距离（线段的长度）和角度是量化描述点的位置关系的基本几何量.通过对上述操作的思考和总结，抽象出量化描述平面上的点的位置的基本方法：借助“方位角+距离”刻画点的位置（如图6）.其操作步骤是：（1）确定基准点O；（2）确定基准方向OA；（3）确定目标点B相对于基准点O的方向，并用角α量化表示其偏离基准方向的程度；（4）确定目标点到基准点O的距离，用线段OB的长度进行量化表达.

图4

图5

图6

四、结束语

“几何图形初步”内容在初中推理几何学习中起到奠基作用.通过抽象点、线、面、角等基本几何概念明确推理的对象，得到构成其余图形的基本要素；通过抽象基本事实明确推理的逻辑起点；通过抽象命题表达几何图形的本质属性和关系；通过抽象距离和角度得到两个基本几何量，形成量化刻画平面上的点的位置关系的基本方法.因此，抽象是本单元的主要活动.本文通过分析抽象能力的行为表现，明确抽象能力的主要行为指标（抽象概念、抽象命题、抽象关键要素和图形结构、抽象方法与策略、抽象系统与结构），给出了相应的教学建议及典型内容的教学思路，从而指导教师结合具体内容设计有针对性的教学活动，发展学生的抽象能力.

当然，本单元内容中除了抽象能力外，还蕴含着发展学生空间观念、几何直观、推理能力等育人价值.例如，推导“等角的余角（补角）相等”时就需要演绎推理，抽象概念过程中把对象推广到一般时还需要归纳推理，等等.如何结合单元具体内容的教学，平衡、协调且有侧重地发展学生的空间观念、几何直观、抽象能力、推理能力、运算能力、模型观念、数据观念、应用意识和创新意识等，把发展数学核心素养的育人目标落实到教学过程中，实现数学育人，这是今后一个时期数学教学研究的重要方向.