基于Copula函数的直觉模糊随机多属性决策方法

孙宇坤，刘小弟，张世涛

(安徽工业大学 数理科学与工程学院，安徽 马鞍山 243032)

在实际决策过程中，由于决策者掌握的信息不完全，评价信息表现出模糊性。为此，ZADEH[1]提出了模糊集，将隶属度函数取值由0或1扩展到闭区间[0,1]上，以处理此种不确定问题。但是模糊集存在只考虑隶属度的缺陷，ATANASSOV[2]提出直觉模糊集的概念，同时考虑了隶属度、非隶属度和犹豫度，在处理不确定方面比模糊集更准确，更能反映客观情况。多年来，不乏有学者在直觉模糊环境下对多属性决策问题进行研究。SZMIDT等[3]从几何角度定义了直觉模糊集之间的距离测度。XU[4]定义了几种直觉模糊集结算子，并研究其性质。罗敏等[5]提出一种直觉模糊相似性测度，将其应用于多属性决策中。YU等[6]提出一种直觉模糊多目标线性规划模型，将其应用于投资决策中。但上述多属性决策问题仅仅考虑了一种自然状态，忽视了不同风险状态对决策结果的影响，且未考虑决策者面对风险时的心理变化特征。在实际决策过程中，尤其是新产品的开发或投资项目选择等，决策方案在不同市场条件下的表现往往不同。因此，需要综合考虑不同风险状态及决策者相应的心理变化因素，从而做出更加科学合理的决策。

随机决策又称风险型决策，指决策者面临多种可能的自然状态，并可预估各自然状态的发生概率。当决策者面对不同风险情境时，很难保证其决策行为完全理性。由此，行为科学研究者基于有限理性假设提出了不同行为决策理论，如前景理论[7]、后悔理论[8]等。张晓等[9]考虑多种信息，提出一种风险决策方法。HU等[10]利用前景理论求解直觉模糊随机决策问题。吕俊娜等[11]基于前景理论对决策者的行为展开演化博弈研究，为如何保持合作稳定性提出可靠建议。前景理论考虑了决策者的损失规避心理，但是存在参数较多，不利于计算等缺点。与之相比，后悔理论不仅可以抓住所选产品和未选产品之间的性能差异，还可以量化决策者对后悔的厌恶程度。ZHANG等[12]基于后悔理论研究了具有多维偏好和不完全权重信息的群决策问题。刘小弟等[13]定义了一种群体满意度，并将后悔理论应用于犹豫模糊随机决策。关于直觉模糊多属性决策的研究引发了较多的关注，然而现有决策方法，尤其是直觉模糊随机决策还有以下问题值得进一步探讨：①现有直觉模糊随机决策问题，均假设风险状态概率已知；②运用前景理论求解直觉模糊随机决策问题，涉及的参数较多，计算量也较大。值得一提的是，朱轮等[14]运用证据理论得到各状态的概率，但是需要专家事先给出自然状态集的基本信度分配等信息，且没有考虑不同风险状态下决策信息间的相互关系。

Copula函数是一种研究非线性问题的有效工具，可以将边际分布相连接，构造联合分布函数。TAO等[15]基于Copula函数定义了直觉模糊环境下的集结算子。PAN等[16]基于Copula函数和贝叶斯网络提出一种自适应模型，用以解决多属性决策问题。宋仁旺等[17]基于Copula函数提出一种多退化量下的剩余寿命预测方法。Copula函数不仅可以反映决策属性的相关性，还能有效避免信息的丢失。鉴于此，笔者运用Copula函数确定各属性值在不同风险状态的发生概率，客观求解风险状态概率范畴，从而减少决策者主观随意性带来的影响。然后，利用后悔理论处理直觉模糊随机决策问题，刻画决策者在面对风险时的心理行为特征，有效避免运用前景理论时存在的局限性，如选择参考点、参数较多且计算复杂等。因此，针对风险状态概率未知的直觉模糊随机决策问题提出的新的求解思路，进一步丰富和发展了直觉模糊决策理论与方法。

1 预备知识

1.1 直觉模糊集

定义1给定论域X，则直觉模糊集A={〈x,uA(x),vA(x)〉|x∈X}。其中，uA:X→[0,1]表示x属于A的隶属度；vA:X→[0,1]表示x属于A的非隶属度，且0≤uA(x)+vA(x)≤1，x∈X。称πA(x)=1-uA(x)-vA(x)为x属于A的犹豫度。

方便起见，简称α=〈u,v〉=〈uA,vA〉为直觉模糊数。此外，直觉模糊数α=〈u,v〉可转化为区间数[u,1-v]。

定义2[18]对于直觉模糊数α=〈u,v〉，其得分函数S(α)=u-v，-1≤S(α)≤1。S(α)表示支持程度与反对程度的差值，得分函数越大，直觉模糊数越大。

定义3[19]对于直觉模糊数α=〈u,v〉，其精确度函数G(α)=u+v，0≤G(α)≤1。当得分函数值相同时，精确度函数值越大，直觉模糊数越大。

1.2 Copula函数

Copula函数是用一维边缘分布的组合来表示多元联合分布的函数，可以描述变量之间的相关性，尤其在描述非线性相关变量的结构和依赖程度方面提供了有力工具。

定义6[20]若二元函数ζ:[0,1]2→[0,1]，满足以下条件：ζ(x,1)=ζ(1,x),ζ(x,0)=ζ(0,x)=0；ζ(x1,y1)+ζ(x2,y2)-ζ(x1,y2)-ζ(x2,y1)≥0;且x、xi、yi∈[0,1]，i=1,2,x1≤y1,x2≤y2，则称ζ为Copula函数。常见的3种Copula函数形式如表1所示。

表1 常用Copula函数及其似然函数

定理1(Sklar 定理)若函数H(x,y)是分布函数f(x)和g(y)的联合分布函数，则存在Copula函数ζ，使得对∀x,y∈R,有H(x,y)=ζ(f(x),g(y);ρ)。其中，f(x)、g(y)分别为随机变量x、y的边缘分布，ρ∈R为Copula函数的参数。

1.3 后悔理论

后悔理论是行为决策理论中的一种，可以模拟决策者的后悔规避心理。在实际情境中，决策者往往会将选择的方案和未选的方案进行比较。若选择其他方案有更好的结果，则决策者会后悔，反之会欣喜，且决策者更倾向选择使其欣喜的方案，同时拒绝使其后悔的方案。决策者的感知效用函数是由当前结果的效用函数和后悔-欣喜函数两部分组成：

U(Ai)=V(zi)+R(V(zi)-V(zk))

(1)

式中：zi和zk分别为选择方案Ai和Ak可能获得的结果；V(zi)和V(zk)分别为选择方案Ai和Ak的效用；ΔV=V(zi)-V(zk)为两方案之间的效用差；U(Ai)为决策者选择方案Ai的感知效用值；R(V(Ai)-V(Ak))为方案Ai与方案Ak相比较后获得的后悔-欣喜值，若R(V(zi)-V(zk))>0，则表示选择方案Ai拒绝Ak，决策者是欣喜的，反之表示决策者是后悔的。

此外，后悔-欣喜值函数R(·)是单调递增的凹函数，当R(0)=0时，表示两方案效果相同，决策者既不会后悔，又不会欣喜。采用函数R(·)=1-exp(-δ·ΔV)表示后悔-欣喜函数。其中，δ∈[0,∞)为后悔规避系数，δ越大表示决策者的后悔规避程度越大，反之亦然。

2 决策方法

2.1 问题描述

(2)

2.2 属性值概率确定方法

(3)

其中，参数ρ可通过极大似然估计获得：

(4)

(2)利用AIC准则从3种Copula函数模型中选择最优模型：

(5)

式中：L为Copula函数似然值；l为样本个数；K为被估计的参数个数。AIC准则可用于评价不同种类的Copula函数对数据的拟合效果。AIC值越小，拟合效果越好，从而选择相应的Copula函数。通过Matlab等数学软件确定3种模型各自的概率Pij(t)、参数ρ及AIC值。

(3)根据选择的最优Copula函数确定概率，并将得到的概率Pij(t)归一化：

(6)

(7)

exp(-δ·d-)=2-exp(δ·d+)-

exp(-δ·d-)

(8)

式中：δ为后悔规避系数；d+和d-分别为属性值与正理想点〈1,0〉和负理想点〈0,1〉之间的海明距离。

(9)

综上，方案Ai在属性Cj下的感知效用值为：

exp(δ·d+)-exp(-δ·d-)

(10)

2.3 属性权重的确定方法

针对属性权重未知情形，提出属性权重确定方法。首先，考虑到最大熵原理是在满足约束条件下选择熵最大的解，即在求解过程中添加的信息量最少[22]。其次，感知效用值μij反映了决策者在属性Cj下选择方案Ai的后悔与欣喜心理，体现了决策者后悔与欣喜程度。感知效用值越大，方案越优。因此，基于感知效用值与最大熵原理构建如下属性权重确定模型(M1)：

(11)

命题1模型M1的最优解一定存在。

为求解模型M1，建立拉格朗日函数L(wj,λ)，分别对wj和λ求偏导，并令其等于零，可求得权重wj。

(12)

(13)

则方案Ai的综合感知效用值U(Ai)为：

(14)

3 案例分析

3.1 算例

表2 市场环境好时的决策矩阵D1

表3 市场环境中时的决策矩阵D2

表4 市场环境差时的决策矩阵D3

(1)属性C1、C2为效益型属性，C3为成本型属性，利用式(2)对各属性进行规范化处理。

(2)确定最优的Copula函数。以方案A1的属性(C1)值在3种风险状态下为例：①将规范化后的直觉模糊数转化为区间数，得到[0.8,0.9],[0.7,0.83],[0.63,0.78]，按式(4)得到各模型的参数，如表5所示；②由式(5)可知，当样本个数和参数个数相同时，似然值越大，AIC值越小，故只需要计算各模型的似然值即可选择出最优模型。各模型的似然值如表5所示，因此方案A1的属性(C1)值选择Frank Copula函数，其中ρ=10.326 3，其余各属性值对应的最优Copula函数如表6所示。

表5 选择最优模型

表6 各属性值最优模型

表7 A1各属性值在3种风险状态下的概率

表8 A2各属性值在3种风险状态下的概率

表9 A3各属性值在3种风险状态下的概率

表10 综合评价矩阵

(4)令γ=0.88，δ=0.3，基于综合评价矩阵Z与式(10)，求得感知效用矩阵U=(μij)3×3，如表11所示。

(5)基于感知效用矩阵U=(μij)3×3，运用优化模型M1求得属性权重：w1=0.417,w2=0.230,w3=0.353。

表11 感知效用矩阵

(6)根据式(14)计算各方案的综合感知效用值分别为：U(A1)=0.429 1，U(A2)=-0.037 3，U(A3)=0.151 5。因此，A1>A3>A2。

3.2 对比分析

3.2.1 与前景理论比较

文献[10]方法的基本思想为：①确定3种风险状态下各属性值的最大值和最小值，从而计算中间值，得到4个参考点(A、B、C、D)；②计算各方案在不同参考点下的加权前景值；③根据加权前景值的大小进行排序。

每个参考区间下得到的排序结果与笔者得到的排序结果不尽相同，如表12所示。造成这种差异的主要原因在于：①虽然两者都反映了决策者的心理行为，但侧重点不同，前景理论强调损失规避，文献[10]由决策者给出4个参考区间，用以反映决策者的风险态度，并根据实际情况，调整参考区间，但是这将增加决策结果的不确定性，而后悔理论则关注后悔规避心理；②前景理论参数较多，计算量大，笔者运用后悔理论很好地避免了这方面的不足，基于后悔理论得到的感知效用值还量化了对后悔厌恶的影响；③文献[10]中假设风险状态发生概率和属性权重已知，而笔者分别通过Copula函数和优化模型确定，Copula函数在保留数据相关性的情况下得到方案各属性值在不同状态下的概率，模型M1基于最大熵思想建立，在满足约束条件下添加最少的信息，因而所得的结果更加合理可靠，总体也更有利于应对不确定决策环境。

表12 不同参考点得到的排序结果

3.2.2 与直觉模糊加权平均算子比较

基于综合评价矩阵Z=(zij)3×3和属性权重(0.417,0.23,0.353)，根据定义计算每个方案的综合属性值。然后，根据定义2计算各方案得分函数：S(A1)=0.582 2,S(A2)=0.403 1,S(A3)=0.495 4，则A1>A3>A2。与笔者得到的排序结果相同，说明笔者所提方法合理。相比之下：①笔者方法不仅体现出决策者的有限理性行为，计算量更少，且结果区分度更大，如方案A2的综合感知效用值为负，反映决策者选择A2是后悔的，同理选择A1、A3是欣喜的；②利用直觉模糊加权平均算子进行信息集结，需要事先确定属性权重与各属性值风险状态概率，笔者给出客观确定属性权重和风险状态概率方法，为直觉模糊环境下的随机决策问题提供一种新的求解思路。

3.2.3 与直觉模糊散度比较

vA(xi)|-|uA(xi)-vA(xi)|2]

(15)

(16)

|vA(xi)-vB(xi)|-|uA(xi)-uB(xi)|·

|vA(xi)-vB(xi)|]

(17)

表13 不同风险状态下的属性权重

表14 不同风险状态下的散度值

4 结论

(1)针对随机决策中风险状态概率未知的问题，依据Copula函数求出各属性值在不同状态下的概率，减少决策者主观随意性带来的影响，进一步丰富了直觉模糊随机决策理论方法。

(2)多属性决策问题中确定属性权重十分重要。根据最大熵原理，建立数学模型计算属性权重。

(3)运用后悔理论刻画决策者心理行为，并结合优化模型确定属性权重。根据方案的综合感知效用值对方案进行排序，通过对比分析证明该方法的有效性和可行性。