基于核心素养的高中数学概率与统计教学研究

广西南宁市第二中学（530001）王晋艳

一、研究背景

2014 年，教育部印发了《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，并提出了在各学段培养学生核心素养的要求。《普通高中数学课程标准（2017 年版）》中明确指出，数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等6个方面。

数学建模是对现实问题进行教学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数学是一门基础学科，在我们的实际生活中数学无处不在，数学模型的建立、数学知识的合理运用推动了科技、工程、经济等方面的发展，这充分体现了数学的应用价值。在高中数学教学中，教师应注重培养学生的数学建模意识，提升学生发现问题、提出问题、解决问题的能力和数学应用能力。在数学建模过程中，通常需要对已有数据与条件进行分析，寻找合理的数学模型，所以需要有一定的数据分析能力。

学生在数学学习中若具备一定的数据分析能力，则能够从数据中探究数学规律，寻找解决实际问题的合理方法。在学习高中数学概率与统计这一部分内容时，需要学生从已有信息及数据中找出蕴含其中的数学规律，并进行合理分析，借助数学建模与数据分析解决问题。本文结合学生数学建模意识与数据分析能力的培养要求，就高中数学概率与统计的教学进行初步的探讨。

概率与统计是中考的必考内容。初中所学的概率与统计知识主要有条形统计图、扇形统计图、频数与频率、简单的概率计算等，其中涉及的概念有平均数、中位数、众数、方差、标准差等。中考数学中对这些相关内容的考查主要体现在基本概念、基本计算方法上。但近年来中考数学的题型更加灵活多样，要求学生具备一定的数据分析能力，能用数学知识解决一些生活中的实际问题，这已经体现了数学建模的初步要求。高中数学概率与统计的学习主要通过已有数据寻找蕴含其中的数学规律，并做出合理的预测与决策。随着人们对“大数据”的广泛使用，高中数学教材中概率与统计的内容近年来有所增加，并得到广大师生更多的关注。初中数学涉及平均数、中位数、众数、方差、标准差等统计方面的基本概念，高中数学在此基础上增加的统计方面的内容主要有频率分布直方图、茎叶图、变量的相关关系、相关系数、一元线性回归模型、列联表、独立性检验等；概率计算中主要增加了随机抽样，随机事件的概率，古典概型，条件概率，离散型随机变量的分布列与数字特征，超几何分布，二项分布，正态分布，等等。与初中生相比，高中生主要是理性思维占主导，其运算能力更强，对应用题型的分析也更全面。那么，在高中数学概率与统计教学中，如何使学生较好地掌握知识，同时又能有效培养学生的数学建模意识和数据分析能力？对此，笔者有以下几点思考。

二、教学实践

（一）结合教学内容和学生的特点，精心设计概率与统计教学的各个环节

高中数学概率与统计大部分内容都来源于生活，因此教师在设计教学时应重视创设问题情境，以激发学生的学习兴趣，帮助学生根据已有的数学知识与学习经验选择适当的数学模型研究问题。一元线性回归模型是近年来高考数学考查的“热点”内容之一，其涉及的数据十分繁杂，学生初学时常常无从下手，进而产生畏难情绪。对此，教师可适当地创设问题情境，引导学生建立正确的回归方程，并进行合理的预测，为问题解决方案的提出提供有力的数据支撑。学生了解建立数学模型解题的实际意义后，能提高学习的积极性，主动进行数学问题的研究。

高中数学概率与统计问题中所列出的数据较多，可供选择的数学模型也较多，究竟应选择哪一个数学模型来解决问题，通常是学生比较纠结的事情。比如在应选择超几何分布还是二项分布来展开计算的时候，不少学生就很难选择。对此，可让学生将题型相近或易混淆的内容进行对照学习，厘清不同模型的本质特点，从而使学生能够有效区分并选用正确的模型。教师还可以采取专题化的教学方法，比如在离散型随机变量的分布列的教学中，超几何分布与二项分布是重点内容，教师可以引导学生开展专题学习，对多种题型进行反复深入研究，这样有利于学生掌握相关知识。

近年来，高考数学中比较重要的统计内容的考点还有独立性检验，要解决其相关问题往往先要填写列联表，这就要求学生能从所给数据中提炼、计算出所需数据，这个过程需要学生有一定的数据分析能力。2020年高考数学全国Ⅲ卷理科第18题的考查内容关于概率与统计，试题第（1）问考查频数分布表的识别和概率的计算，第（2）问考查平均数的计算，第（3）问考查独立性检验。2021 年高考数学全国甲卷理科第17 题的考查内容关于概率与统计，试题第（1）问考查频数分布表的识别和频率的计算，第（2）问考查独立性检验。笔者对照近几年的高考数学全国卷理科试题发现，2018 年、2020年、2021 年关于概率与统计的试题第（2）或第（3）问都考查了独立性检验。在进行独立性检验运算前，学生必须进行前期的数据处理。因此，教师在进行独立性检验的教学设计时，一方面应做好前期的铺垫，指导学生通过频数分布图、频率分布直方图、茎叶图等多种图表提取相关数据并理解题意；另一方面要帮助学生厘清独立性检验的原理及计算方法，为学生后续的正确计算及结论得出做好铺垫。

精心设计教学内容是有效教学的基础，课堂教学是否达到预期目标，与教学模式有着很大的关联。高中数学教学内容多，传统的教学通常是以教师为中心进行知识讲授，学生被动接受知识，这样的教学模式虽然能保证课堂教学的容量，但是学生缺少探究与反思的时间和机会，不利于学生提问能力和探究能力的培养。在新课程改革背景下，高中数学课堂教学重视学生的反思能力与探究能力的培养，注重留给学生一定的思考与探究时间，让学生小组讨论如何根据题意选择正确的数学模型并展开合理运算。概率与统计题目的计算量通常都比较大，解题需要花费的时间也较多，导致有些教师比较注重学生对原理的理解，往往在分析完题目后就继续下一个内容的教学，留给学生的计算时间很少。笔者认为，正是因为概率与统计题目的数据多，计算容易出错，所以更应该留给学生足够的思考与计算时间，从而有效培养学生筛选数据、分析数据的能力。教师还应通过现场演算发现学生解题中的思维漏洞与易错点，及时引导学生进行修正，从而提升学生的解题能力。

（二）改变课堂教学方式，重视信息技术在高中数学概率与统计教学中的运用

《普通高中数学课程标准（2017 年版）》中提出：高中数学课程应反映先进的教育思想和理念，关注信息化环境下的教学改革，关注学生多样化的学习和发展需求，促进人才培养模式的转变，着力发展学生的核心素养。

从高中数学课程标准及学生核心素养的培养要求中可以看出，社会的发展对中学生的信息运用意识与能力的培养有了新的要求。教师在教学中，不能仅按照传统教学模式讲解新知识，应当适应信息化时代的发展要求，有效运用信息技术辅助教学。针对高中数学概率与统计这一教学内容，教师应该精心设计教学，将教学内容中的情境引入、教学重难点、典型例题等在课前利用多媒体设备录制成一个个简短的微课。例如，在2019 年人教版普通高中教科书数学选择性必修第三册中，学生要学习两个变量的随机关系，并进行一元线性回归模型的研究与计算，这些是统计的“热点”内容之一，但无论是对原理的理解还是计算，学生初次学习时都有一定的困难。在新授课中，教师可以提前录制与教学主题相关的微课，并根据教学实际需要在课堂中进行有选择性的播放。学生的基础有一定的差异，因此他们对同一内容的理解与掌握也有快慢之分，如果能有涉及教学重难点及例题分析讲解的微课在课后供他们再次学习加以巩固，教学效果会更好。此外，在学生的课堂练习过程中，教师可以通过投影或拍照上传等方式及时呈现学生的解答过程，找到学生的错解原因，当堂解决“易错点”问题。高中数学概率与统计题目大多文字描述长、图表多，计算过程相对烦琐，教师如果按照传统的方式板书题目并列出每一题的详细解答过程，必将耗费过多的教学时间，从而影响教学进度。提前录制包含部分例题或练习题的解答过程的微课，可在一定程度上提高课堂教学的效率。

高中数学概率与统计的内容多、计算难度较大，教师要通过一定量的课后作业和测试考查学生对所学知识的掌握情况。对于课后作业和测试，教师通常会讲解重点题型的解答过程，并进行易错点分析，而对于学生在解题过程中的典型错误，由于时间的关系，教师往往不能一一展示。随着智能手机的普遍使用，呈现学生解答概率与统计题目过程的方式有了更多的选择，教师可以用手机拍照，将批改作业和试卷中发现的优秀答卷和典型错误进行数据采集。教师还可以用学生答卷的图片制作典型的微课或PPT，在课堂讲解中参照微课或PPT，对学生的错因进行分析，让学生发现解题时容易出现错漏的地方，引起重视，帮助学生进行正确的建模及梳理答题思路并规范解题过程。学生解答概率与统计题目需要有清晰的解题思路、过硬的计算能力，也需要有准确必要的文字描述。若教师能长期坚持用信息化手段进行典型题目的收集、整理与展示，引导学生通过不同类型的数学问题寻找到正确的数学模型，并进行数据分析与处理，相信学生一定会受益匪浅。

（三）引导学生进行合作学习，强化学生探究意识，培养学生概率与统计的学习与分析能力

要提升学生概率与统计的学习效果，组建数学学习合作小组是一个可行的方法。教师可以组织学生走进社会进行调研，或从网络上搜集生活实例及其相关数据（比如商品的销售决策、道路的通行预测、保险的保费计算等），了解概率与统计知识在实际生活中的重要作用，体会建立数学模型与分析处理数据的必要性。2019 年人教版普通高中教科书数学选择性必修第三册中有一个小节的内容是“建立统计模型进行预测”，该部分提出了组建学生合作团队，引导学生小组合作进行和概率与统计内容相关的数学建模活动的要求，研究过程包括背景分析、数据收集、数据分析、数学建模、获得结论等。教材中明确提出对数学建模的学习要求，充分体现了对数学学科核心素养的培养要求。从掌握学习内容和高考备考的角度出发，教师也可以组织学生以小组为单位收集概率与统计重点题型与易错题型，比如频率分布直方图及样本的数字特征计算、二项分布与超几何分布的对照、一元线性回归模型例题、独立性检验常见题型等。同一学习小组的学生还可以在网络上搜集与教学内容相关的微课并观看，然后对照教师在课堂上讲解的知识点进行思考。对同一种概率与统计题型，从不同的角度切入进行研究与讨论，这对学生概率与统计内容的学习具有促进作用。学生能在自身的认知基础上对概率与统计内容进行分析和反思，并能在课上或课后展示学习合作小组研究的题型或数学建模主题报告，分享学习心得体会，这对数学教育教学改革有着积极的作用。小组合作学习，既能加深学生对所学知识的理解，也能充分调动学生的学习积极性与主动性，提升学生搜索、筛选信息资源的意识与能力。这个过程是教师指导下的学生自主探究、实践的过程，它实现了从“要学生学”到“学生自主学习探究”的变化，体现了学生学科核心素养的培养要求。

总之，在高中数学概率与统计教学中，教师讲解、学生思考、制作与运用微课、小组合作探究等方式结合使用，能有效提升教学的效果，强化学生的数学建模意识，提高学生的数据分析能力。在今后的高中数学教学中，我们希望通过不断地探索、实践与改进，提升概率与统计教学的有效性，并有效落实数学学科核心素养的培养目标。