滑移界面表征的套管井声场的理论计算

2023-01-10潘金林陈雪莲唐晓明

地球物理学报 2023年1期

潘金林，陈雪莲，唐晓明*

1 中国石油大学(华东)地球科学与技术学院, 青岛 266580 2 中国石油大学(华东)深层油气重点实验室, 青岛 266580

0 引言

石油工业中固井质量检测是油气开发和生产中的一个重要环节，其中声波测井是最重要的检测方法，其主要目的是检测油井中套管与地层之间水泥环的胶结质量.套管井中声波测井的理论模拟为利用测量的全波波形评价水泥环的胶结状况提供了理论依据.Schoenberg等(1981)采用Thomson(1950)传播矩阵的方法，计算了胶结良好套管井中传播模式波的频散曲线，并将理论计算结果与实验测量的模式波频散数据进行了对比分析；Chang和Everhart(1983)以套管与水泥环之间的径向位移连续，切向应力等于零，来模拟套管与水泥之间的不胶结，并利用实轴积分计算了套管井中的阵列波形；Tubman等(1984)采用柱状分层模型，通过在套管与水泥之间或水泥与地层之间添加流体环的方法，建立了自由套管、第I界面胶结差、第II界面胶结差和胶结良好的四种经典套管井模型.董庆德等(1985)定性地分析了套管与地层之间的胶结状况对套管波形态和幅度影响，指出在第I界面或第II界面胶结差时，由于其他模式波的影响，造成了地层的纵波或横波幅度增强的假象.张海澜等(2004)、江灿(2020)计算了弹性介质中充液井孔的漏模和井孔声场中的分波波形，并总结了套管井中黎曼叶的选择和二维谱技术.唐晓明和郑传汉(2004)计算了套管井中单极子和偶极子声源激发的井孔声场.以上基于经典弹性波传播理论模拟套管井井孔声场时，由于固井水泥在胶结过程中有一个体积膨胀到收缩的过程，以至固结后的水泥环与地层或套管之间形成有水的微小间隙，即微环空.实践证明，微环空间隙不会大于0.1 mm(张树宇，2009).第一界面水泥胶结程度的解释标准为：水泥胶结良好时声幅小于10%，水泥胶结中等时声幅在10%～30%之间，水泥胶结差时声幅大于30%.但根据经典理论计算较小的微环空时，由于模型的理想化，得到的套管波幅度往往较大，这使得经典理论结果不能够很好的描述实际的微环的厚度.

Schoenberg(1980)提出了滑移界面理论，认为对于一个不完全胶结的界面，跨越界面的牵引力是连续的，位移可以是不连续的；卢文波(1996)研究了应力波与可滑移界面间的相互作用，计算了应力波垂直人射到岩石界面时的透射和反射特征以及能流密度分布；罗斯(2004)指出对于非理想黏结的界面，可令界面刚度为有限值标度，并分析了反射系数与滑移界面耦合刚度的关系；Chen等(2012)计算了二维裂缝中SH波的散射，利用边界元法计算了位移的不连续性.古希浩等(2020)计算了用滑移界面理论模拟多裂缝体系的偶极横波远探测声场，模拟结果可较好的解释现场远探测成像观测到的裂缝分布.但用耦合刚度表征的滑移界面理论在圆柱状多层介质中的应用鲜有报道，鉴于经典弹性波理论在套管井声场模拟中的局限性，唐晓明等(2018)将滑移界面理论应用到套管井井孔声场的理论计算，模拟套管与地层之间不同胶结程度下的套管波响应.陈雪莲等(2020)将黏弹滑移界面理论应用到套管和水泥的耦合界面，探讨了套管中的准兰姆波(包括拉伸波和弯曲型兰姆波)与套管后物质的耦合方式.江灿(2020)指出套管与水泥环之间的胶结程度主要受剪切耦合刚度的影响，并分析了套管波幅度随剪切耦合刚度的变化趋势，但并未对滑移界面理论下井中接收的套管波、井孔伪瑞利波、斯通利波以及辐射到地层中纵横波声场分布展开研究.Chen等(2021)根据CBL(声波幅度测井)声波数据估算套管-水泥界面的剪切耦合刚度，与传统的CBL波幅法相比，利用剪切耦合刚度更能有效地表征水泥的胶结质量.本文在此基础上以单极子声源在套管井中激发的声场为例，分别采用经典弹性理论与滑移模型理论表征的套管井声波测井模型，结合分波计算方法分析了单极子声源在套管井中激发的套管波、地层滑行纵波以及滑行横波随界面胶结状况的变化趋势，并给出了各层介质中径向和轴向位移的波结构图以及地层中纵横波的辐射指向性图，对理解水泥不同胶结程度下波的传播特征有参考意义.

1 套管井声场的理论计算

1.1 经典弹性波理论模型

胶结良好的套管井模型从内向外分别是井内泥浆、套管、水泥、地层，外径分别设为r0、r1和r2，地层无限大.套管与水泥环之间的界面为第I界面，水泥环与地层之间的界面为第II界面.图1a为第I界面胶结差的套管井模型，根据柱状分层模型，可以在第I界面增加一层流体环，套管厚度不变，第I界面水泥缺失，设此时的水泥环内径为r3.

图1所示模型中的固体介质中传播的纵波(P)、横波(SH、SV)的位移势函数：

S(r)=(ur,uθ,uz,σrr,σrθ,σrz)T=T(r)Q,

(2)

其中，Q=(An,Bn,Cn,Dn,En,Fn)T，T(r)为6×6系数矩阵.

当两相邻介质为固体介质时，界面处产生的位移和应力分量连续；当相邻介质为固体和液体时，流体介质中的切应力为零.由此可得图1a套管井模型的边界条件：

图1 两种套管井模型的横切面

(3)

通过全局矩阵法，可得到关于各层介质振幅系数L的方程：

(4)

当系数矩阵行列式det(D(ω,k))=0时，可求解套管井中各模式波的频散曲线，求解得到的w和k再代入到方程(4)，得到各层介质中传播声波的振幅系数L，将振幅系数分别代入到各层介质的径向和轴向位移表达式中，可以得到此求解的模式波的波结构.

在考虑声源函数时，方程(4)中等号的右边需要加入直达波在井壁引起的位移和应力：

D(ω,k)·L=S18×1,

(5)

其中，S的前两项为声源辐射声波在井壁产生的径向位移与正应力，其他项均为零，求解该方程可得介质中的振幅系数L.将地层的振幅系数(Bn、Dn、Fn)带入地层位移势函数中，可分别计算辐射到地层中的纵横波声场.根据井孔内流体中的响应函数A′n，可利用实轴积分方法计算井内接收的声波波形：

×S(ω)eikz-iω tdkdω,

(6)

其中，S(ω)为声源函数，f为流体的径向波数.

1.2 滑移界面理论模型

图1b是第I界面为滑移界面的套管井模型，根据Schoenberg(1980)提出的滑移理论，可以将薄层被处理成具有剪切耦合刚度和法向耦合刚度的胶结面，设此时的水泥内径设为r4.滑移界面处边界条件可根据理论描述表示为

(7)

其中，σ和u分别表示界面的应力和位移，正负号代表界面的两侧.滑移的大小由应力和界面介质的耦合刚度η=M/d决定，M为界面介质的弹性模量.根据应力的不同，耦合刚度可分为剪切耦合刚度ηT和法向耦合刚度ηN.由此可得滑移界面模型的边界条件：

(8)

其中，M1是关于耦合刚度系数的矩阵：

(9)

从方程(9)中可以看出，当耦合刚度趋于无穷时，该界面的滑移边界条件特征矩阵将会变成单位矩阵，界面的边界条件就会退化成经典的弹性边界条件.井筒内外声场的计算方法与1.1节相同.

1.3 套管井内声场的分波计算

依据柯西定理，可以将沿实轴的积分路径转换为包含所有极点的路径积分与极点的留数贡献之和，图1所示的套管井模型中，套管、水泥环、地层等介质的径向波数均是关于轴向波数k的双值函数，所以在选择积分路径时，要采用索末菲割线划分黎曼面(胡恒山等，1999；江灿，2020).在套管井模型中，只有地层中的纵波和横波波数支点才是井中声场的实质支点(张海澜等，1995).在图2中，括号中的第一项和第二项分别表示表示纵波径向虚波数和横波径向虚波数的正负取值，黑点表示极点.

图2 套管井模型垂直割线与极点示意图

依据约当引理，只有竖直围道的路径对积分有贡献，其分别对应着沿井壁传播的纵波体波和横波体波的贡献：

(10)

其中，A′L，A′R分别表示割线左侧和右侧积分路径求得的井中流体中传播声波的幅度.

极点的留数分别对应着模式波的贡献，模式波的激发强度可以表示为

(11)

其中，D1(k,ω)为将方程(5)中的S项替换D的第一列所得.IPole经傅里叶变换可得该模式波的时间域波形.

2 经典弹性波理论下套管井模拟结果

2.1 套管井模型中的分波计算

表1给出了套管井模型中各层介质的声学参数和径向位置，方程(12)为井孔声源选择的余弦包络脉冲函数，中心角频率ω0=16π kHz，脉冲长度Tc=0.5 ms.

表1 套管井模型参数

(12)

以第I界面存在1 mm流体环的经典套管井模型为例，根据分波计算方法，计算该模型距声源3.65 m处的分波波形，结果如图3a所示，其中从下到上分别为斯通利波(St)、伪瑞利波(pR)、泄漏横波(Ls)、泄漏纵波(Lp)、套管波(C)、地层纵波(P)和地层横波(S)，字母后面的数字为该模式波的阶数.从图中可直观看到幅度明显的套管波、一阶伪瑞利波、内斯通利波和地层波.地层横波、泄漏横波与伪瑞利波在初始时刻就存在无意义震荡，这是割线受支点的影响造成的，经计算发现三者之间相加时会抵消这种影响.现将全部的分波波形叠加，得到的全波波形(实线)与实轴积分法计算的全波波形(虚线)作对比，结果如图3b所示，两道波形基本重合，由此可验证了分波计算的可靠性.

图3 分波波形与全波波形的对比

2.2 现有经典理论在模拟水泥环界面胶结状况时的局限性

利用经典的弹性波传播理论模拟套管与水泥之间不胶结时，在套管与水泥之间加入的一层流体环阻断了界面的剪切耦合(相对于界面而言即为切向振动)，即便流体环的厚度很小，也会使得套管波幅度明显增强.图4是套管波相对幅度(各胶结模型下全波中首波的第一个正峰与自由套管模型下首波的第一个正峰的比值)随着流体环厚度的变化趋势，可见在微环厚度仅0.01 mm时，套管波的幅度已接近自由套管状态下(套管与地层之间全部是流体)套管波幅度的28%.造成这种现象的原因是在井孔中，单极子声场中套管振动的主要形式是沿着套管轴向振动的位移，流体环的存在切断了套管与水泥之间的剪切耦合，大大降低了套管波向外辐射声能量的能力，而实际情况是胶结界面粗糙性和不规则起伏使界面两侧介质有所接触，即存在剪切耦合，在波动过程中会产生错动与摩擦，使得切向位移和径向位移不连续.因此，经典模型的局限在于不能模拟套管胶结面从完全胶结到完全不胶结的渐变过程.

图4 经典模型下套管波相对幅度与流体环厚度之间的关系

3 基于滑移理论模拟套管井井孔内外声场

滑移界面理论引入了剪切耦合刚度和法向耦合刚度，在单极子声波测井的套管井中，套管波主要通过界面处的切向位移向周围介质辐射能量，因此在套管井孔声场模拟中主要通过剪切耦合刚度调节套管与水泥或水泥与地层界面的胶结程度.

3.1 滑移界面理论的适用性验证

根据定义，滑移界面理论适用于界面两侧的位移不连续而应力连续的情况，即界面两侧介质都存在切应变和切应力，此时类似界面添加了一层软固体层.在将滑移界面理论引入套管井井孔声场模拟时，为了进一步验证滑移界面理论在描述水泥环胶结状况的适用性，将计算结果与套管与水泥环之间加入一层软固体层时的经典理论计算结果做了对比.选取的两组模型为(软固体层的纵波速度均为2000 m·s-1，密度为1200 kg·m-3，厚度1 mm)：(1) 软固体层的横波速度设为200 m·s-1，剪切耦合刚度设为50 GPa·m-1；(2) 软固体层的横波速度设为1200 m·s-1，剪切耦合刚度设为5000 GPa·m-1.

图5对比了两组模型的频散曲线.对比可见，两种模型下井孔内各模式的相速度频散曲线基本吻合，稍有不同的是软固体层的经典模型下一阶泄漏纵波和二阶泄漏横波不连续，滑移界面模型的一阶泄漏纵波与二阶泄漏横波连续.图6对比了两组模型在8 kHz时的径向位移与轴向位移的振动幅度.通过分析可知，在计算频率下套管波在套管中传播时以轴向位移为主，在剪切耦合刚度较低时，套管与水泥环界面的轴向位移不连续，径向位移连续，在软固体层的横波速度较小时也体现了这一现象；在剪切耦合刚度较高时，套管与水泥环界面的轴向位移和径向位移均连续.两种模型下的计算结果展现了套管波相同的传播特征，可见滑移界面理论适用于描述套管井中水泥环的胶结模拟.

图5 滑移界面模型与经典模型下的相速度频散曲线对比

图6 滑移界面模型与经典模型下的波结构对比

滑移界面可以与软固体层有着相似的结果，但这两种方法有着一些不同.软固体层方法需要考虑的参数更多，比如软固体层的密度，纵横波速度，以及软固体层的厚度，每一项不同的参数都会影响模拟的结果，而滑移界面理论需要考虑的参数仅有剪切耦合刚度.此外，在模拟时发现滑移界面是否考虑厚度对结果影响不大，由此可以说明滑移界面理论相较于软固体方法更简单便捷.

3.2 剪切耦合刚度的取值范围

Schoenberg(1980)和唐晓明等(2018)均指出在界面应用滑移理论时剪切耦合刚度均有一定的取值范围，大于或小于该范围，反射系数不再改变.为研究滑移理论在套管井模型中的取值范围，根据方程(6)计算了套管井模型的响应函数A′n与剪切耦合刚度的关系，计算频率为8 kHz，轴向波数为10 m-1，结果如图7所示，横轴为剪切耦合刚度的对数坐标，纵轴为幅度.从图中可以看出，剪切耦合刚度在0.01～1 GPa·m-1范围以及104～106GPa·m-1范围内，响应函数A′n基本不变，在1～104GPa·m-1范围内，随着剪切耦合刚度的增加，响应函数A′n逐渐减小.该结论与声波垂直入射到板状介质的耦合刚度与反射系数的关系一致(Schoenberg，1980).由此可判断在套管井模型中，工作频率在8 kHz时剪切耦合刚度的取值范围为1～104GPa·m-1.为验证结论的正确性，计算了剪切耦合刚度为1 GPa·m-1与流体环厚度为1 mm、剪切耦合刚度为104GPa·m-1与胶结良好 (“Good”)两组套管井模型的全波波形并进行对比，结果如图8所示，两组波形完全重合，证明剪切耦合刚度的取值范围正确.

图7 响应函数A′n

图8 全波波形对比

3.3 井孔中声波波形随着水泥胶结状况的变化规律

图9是基于滑移界面理论模拟的全波波形，Y轴用剪切耦合刚度和流体环厚度表示，剪切耦合刚度逐渐从130 GPa·m-1降到10 GPa·m-1，通过对比套管波部分(0.65 ms到1.5 ms)的波形幅度可知，随着剪切耦合刚度的增加，套管波幅度逐渐降低，很好地刻画了套管波幅度从胶结良好到完全不胶结的渐变过程；流体环厚度从1 mm逐渐增加到15 mm，并最后达到自由套管状态(“Free”)，结果显示随着继续增加流体环厚度，可以实现套管与地层之间环空水泥从与套管完全胶结、逐渐脱粘、再到完全被流体充填的整个过程.因此滑移界面表征的套管井井孔声场模拟可与经典的弹性波传播理论结合，实现水泥环充填情况的完整描述.

为了更清晰地研究水泥不同胶结状况下井孔中各模式波的传播规律，图10给出了井孔中主要成分的分波计算结果.图10a是套管波波形，是前四阶套管模式的叠加，图10b是纵波，是井孔内接收的地层滑行纵波和泄漏纵波的叠加；图10c是横波，是伪瑞利波、地层横波和泄漏横波的叠加，图10d是内斯通利波.从图10a中显示的套管波可见，随着套管与水泥胶结质量的下降，从下到上套管波波形幅度逐渐增加，结论与图9分析结果一致.流体环厚度从5 mm开始，随着厚度的增加，波形中出现多个波包，这与流体环厚度增大时，套管中各阶模式波的频散曲线在频率域不再连续，计算得到的各模式波的波包叠加后造成的.图10b中的纵波主要以地层滑行纵波(支点，围道积分)为主，泄漏纵波的贡献很小并主要作用在波形的尾部，与套管波展现的变化规律相同，地层纵波随着水泥胶结质量的降低幅度也逐渐增大，波至稍有滞后，但在水泥胶结差时由于记录的全波中套管波的幅度增强程度远远大于纵波，且模式波在时域上持续时间较长，因此很难直观观测到地层纵波.在显示地层横波时，由于地层横波受支点的影响，在零时刻存在无意义的震荡，在泄漏横波、地层横波与伪瑞利波叠加后，会减低或消除无意义的震荡，图10c所示结果是泄漏横波、地层横波与伪瑞利波叠加后的波形，其随水泥胶结的变化规律基本与地层纵波一致.内斯通利波主要受刚度很强的套管控制，对套管与水泥的胶结质量的敏感程度明显低于套管波和地层波，但明显可见随着水泥填充率的降低，其振动幅度稍有降低.

图9 滑移界面理论模拟套管井井孔声场波形

图10 I界面含1 mm流体环套管井模型的分波波形

3.4 通过波结构图显示不同水泥胶结状况下套管波的传播特征

以频率为8 kHz时C1模式为例，图11显示了水泥不同胶结情况下的波结构图，(a)和(b)分别为径向位移和轴向位移，横轴为归一化幅度，并用所有数据中的最大值做归一化，纵轴为径向半径.可见剪切耦合刚度为130 GPa·m-1的滑移界面模型下套管中的轴向位移幅度最小，随着胶结质量的下降轴向位移逐渐增大，井孔内的泄漏能量也逐渐增强，因为缺失了切向位移的耦合使得地层中的轴向位移逐渐降低；径向位移随水泥胶结质量的下降逐渐增大，由于径向上各界面径向位移均连续，井内流体、套管、水泥以及地层中的分布规律均一致.

图11 水泥不同胶结程度下的波结构图

3.5 计算井外地层纵波和横波随着水泥胶结状况的辐射特征

利用地层中纵波和横波(SV)的位移势可计算地层中纵横波的空间辐射特征，图12是套管与水泥环之间有1 mm流体环时利用经典模型计算的地层中纵波和横波的声场快照，传播时间是500 ms，可明显看到套管波在沿着套管传播时泄漏到地层中的纵波和横波，使得井壁附近地层中的纵波和横波幅度均较高.选取井壁上与声源同高度的一点为圆心，在roz平面内的地层中选择半径R为1.4 m的圆内，每隔5°布置一个接收器，记录地层中纵波和横波，结果如图13所示.根据地层纵波和地层横波的波形幅度的最大值可计算该模型下的指向性图.

图12 地层中纵横波的声场快照

图13 地层中远场记录的纵波和横波波形

经典模型和滑移界面模型结合，通过指向性图可分析水泥不同胶结程度以及不同充填程度下声源辐射的声波透过套管、水泥环在地层中的分布特征.选择胶结程度不同的套管井模型，其中包括滑移界面表征的剪切耦合刚度分别为10、50、100和500 GPa·m-1的滑移模型，流体环厚度分别为1、5、10 和15 mm的经典模型以及完全胶结的模型等.分别取纵波和横波幅度的极大值作为此接收位置纵波或横波的幅值，过声源与z轴垂直的方向设置为0°，得到的指向性图如图14所示，根据声波传播的对称性，下文分析在0°～90°之间的传播特征.

图14a为地层纵波的指向性图，可见以0°为中心的主瓣，地层纵波的幅度在完全胶结时最强，随着水泥胶结质量的降低，幅度逐渐减小，在滑移界面理论表征的胶结状态下对主瓣的影响较弱，这与法向耦合刚度设置为无穷大有关；旁瓣(60°～85°)的幅度随着水泥胶结质量的降低逐渐增强，在此辐射范围的纵波声场对滑移界面模型敏感，与经典流体环模型下的计算结果结合，展现了套管波泄漏到地层中的声波能量随着水泥胶结质量的下降逐渐增强的连续变化过程.图14b展现了横波声场分布，声源辐射的声波经过套管、水泥等辐射到地层的横波幅度随着水泥胶结质量的降低逐渐减小(<30°和45°～50°) ，在流体环厚度发生变化时辐射到地层中的横波出现极大值的方向也发生改变，套管波泄漏到地层中声波能量随着水泥胶结质量的降低逐渐增大.地层横波指向性图中出现的极大值现象与地层的两个临界角有关，但不影响幅度随胶结质量的连续变化规律.