浅析勾股定理的应用探究

林劲松

（闽南理工学院教育学院，福建 石狮 362700）

勾股定理将“数”与“形”这两个数学当中古老而又基础的对象通过特定的关系连接在一起，被赞颂为数与形的首要定理。同时，勾股定理是第一个使用其独特推理证明方式，成功转化当时数学中常用的计算测量方法的定理。勾股定理在某种程度上而言促进了不定方程发展，并让其变得多样化。首个不定方程来源于勾股定理公式，最终，其也成为不定方程的典例以及解题标准，从而顺利解决自无理数出现带来的数学危机。因而可知勾股定理的重要性与实用性，也可知其并没有辜负“千年第一定理”的美誉。除此之外，勾股定理其自身的功能以及特有的广泛性在数学解题当中非常强大。教师如果想让学生真正理解勾股定理，并将其运用在数学解题当中，就应当有计划地培养学生的勾股定理运用能力。

一、勾股定理的教材分析

（一）勾股定理在教材中的地位与作用

勾股定理可以为学生进一步探索微积分学、三角学、解析几何学奠定良好的数学学习基础。不难得出，勾股定理自身实用性极强，例如将几何图形和数量关系连接、更深入反馈直角三角形三边数量关系以及上述不定方程的引出，也借此展现形式各样的无理数等内容。勾股定理凭借着其实用性及强大功能为数学大厦打下稳固地基，让数学能进一步被认可为兼具证明与推理的科学学科。因而，勾股定理被学者视作运用于平面几何的重要定理，其甚至在整个数学领域当中也有着不可替代的地位。

（二）教材内容

教科书（人教版八年级上册第十八章第一节）中的观察→计算→猜想→证明→简单应用的这一整个过程是对勾股定理理解运用的进一步阐释。

第一，在八年级上册的教科书中就有观察地表图形的面积及联系后悟出直角三角形与三角形三边数量关系的古希腊学者毕达哥拉斯，在其影响下，学生对数学未知内容充满了求知欲，其好奇心理也被激发出来。第二，“思考”部分引导学生观察同种图形，进一步推动学生发现有一种三角形拥有特殊的直角三角形面积关系——等腰直角三角形，进一步激发学生继续探索发现的求知欲。第三，“探究”模块中“算法运算”，将一个直角三角形的三边分别作为正方形边长，计算三个小正方形面积，引导学生自主探究，最终可以发现以两个短边为边长的小正方形面积和与长边为边长的正方形相等，由此学生根据一般的结论提出自己的猜想。第四，教材中给出了一种面积（割补）的证明方法，就是赵爽弦图的证明方法。该方法根据所给图形在其适当的位置进行切割，将切割下来的图形拼凑适当的位置从而得到新图形。在该步骤当中，前后出现图形的所有部分面积相加，最终相等。由此，勾股定理完整证明过程得到充分展现：方法运用不同算法得出图形面积并利用“总面积不改变”特点将图形性质推导出来。当然，如果教师想让学生可以更深入体会勾股定理价值，就要让他们从日常生活中挖掘例子，结合勾股定理寻找解决方案，并在具体生活中运用拓展。

二、勾股定理的学情分析

首先，学生已经有七年级下册《三角形》内容基础，掌握了三角形基本内容，在数量众多的实例当中体验感悟，对其特征属性产生深刻认知。与此同时，在直角三角形中，学生也学习掌握了相关三角形为全等三角形的证明方法。通过此种递进式理论与实践结合的教育方式，学生体验到了关于图形性质探索的大致流程以及操作，从而可以培养他们的推理能力，让他们拥有一定的实践经验。其次，例如探索乘法公式、单项式乘多项式具体法则等这些学生根据已掌握的图形面积探究数式运算规律内容，为活动探究奠定基础。最后，一方面对勾股定理探索运用这块重难点内容对学生而言，一开始，会觉得很费劲和不熟练；另一方面，对于该章节的难点（勾股定理的证明），除了课本上所述的教学方式，教师也可以为学生的阅读和思考拓展提出不同的论证方式，进一步让学生熟练掌握知识内容，并养成发散思维的良好习惯。总体而言，学生认真学习勾股定理可为今后学习其他相关知识打下基础，让学生感到不陌生，如勾股定理的逆定理和解直角三角形等。所以勾股定理在整个数学知识体系中起着桥梁作用。

三、勾股定理的应用

（一）勾股定理在折叠问题中的应用

不少学生对图形折叠计算问题感到手足无措，如下三个技巧实用性强，可以解决绝大部分此类问题。第一，观察已知的图形后，构建或寻找直角三角形，这步非常重要。第二，为了解题便利，可以采用设置未知数的方式，设一条重要未知线段为x，并且将与此线段有关系的其他线段寻找出来，然后尽可能地用含有未知数x的代数式表现；第三，学会使用勾股定理写出方程式，最后解出 x 就可知道所求线段的线段长以及含有x 的代数式的线段长。此解题过程需要结合方程思想，且必不可少。

大部分问题不能运用勾股定理直接求解，只能在设定未知数时才能运用勾股定理解题。

例1：如下图，矩形ABCD 中AB=10。BC=8，E为AD 边上一点，沿CE 将Δ CDE 折，点D 正好落在AB 边上的F 点，则AE 的长度是多少？

图1

例1 的图形说明该题要先选定Rt△AEF，接着可设DE 为x，通过证明可知DE=FE=x，则AE=8-x，在Rt△AEF 中，通过勾股定理得到，42+(8-x)2=x2，根据方程得出DE=x=3。在使用勾股定理的情况下，解题异常简单，但是如果不用该定理，那么实际上解题难度较大。此题目的主要思路即为，将学习过的方程及其思想与勾股定理相结合，通过这样的方式得到一个未知数方程，并将其中的未知数x 求得，就可以很容易解出线段AE 的长度，由此便可得知勾股定理作为纽带，运用设置相关未知数解答题目所求解线段。但是要时刻牢记折叠前后有一些对应的量是不变的。由此可知，学生学习图形折叠问题时，如果他们运用勾股定理来答，那么要将步骤分为三步，即为找图形之间的关联，设置合适的一边为x，最后运算求得答案。

（二）勾股定理在最短距离中的应用

在最短距离问题当中，平面状态下求解应当寻找其中的解题核心，在这里即为“两者之间线段最短”。当蚂蚁在圆柱体或长方体上爬行时，最短距离是多少呢？为了解决这种类型问题，不仅要用到勾股定理，还需要学生调动自己的想象力，先将立体图形由侧面展开变为平面图形。在整个解题过程中，想要让题目总体维持合理，就需要学生有较强的空间想象力。

例2：在如图2 长方形点A处，有一觅食的小虫从其表面爬到食物所在的B 处，长方形长5cm，宽4cm，高3cm，求最近觅食路线。

图2

该题首先要让学生明白一个道理就是小虫沿着长方形的外表爬行，不能进入内部。因而首先要做的就是展开外表，得到平面图。将立体图形展开后可得知虫子一共有三种可以由A 处爬行到B 处方法（如图3），学生可以运用勾股定理求出该图形对角线的长度，通过大小的比较可得知虫子到终点最短的路程。

图3

当长方体表面有一只虫子在爬行时，如果起点与终点两个顶点距离最远，那么可行的案例就需要通过分类讨论得到了。通过分析可以得到总共三种情况，即为跨越长、宽、高。最终从上述探析得，看似小虫穿越了最长的棱长，但是爬行的路程却最短。这样的立体图展开成为平面图的方式，在小虫爬行在圆柱体等相关图形中时也可运用，归根结底，即为运用了“两点之间线段最短”的思想。

（三）勾股定理在斜三角形中的应用

在部分学生看来，勾股定理只能在直角三角形中运用，而不能在锐角或者是钝角等斜三角当中运用，那么遇到斜三角形的题目时，难道只能束手无策吗？答案必然是否定的，其中教师就可以运用到构建直角三角形的思想，在斜三角形当中寻找到可以构建的直角三角形，通过此种方式获得问题的解决方案。

例3：在△ABC 中，AC 为20，AB 为15，边长12的AD 为BC 边上的高，那么BC 为多少？

首先在拿到题目之后，并不知道题目所述三角形为锐角或者是钝角，因此分类讨论思想不可或缺。情况一：如果△ABC 为锐角三角形，那么在该三角形当中，必然存在高与边长一起构成直角三角形。如图4 所示，图中，有Rt△ABD 和Rt△ADC，将所学勾股定理分别应用在这两个直角三角形中，可求解出BD 为9，CD 为16，那么BC 则为25；情况二：假如△ABC 是钝角三角形，该三角形外面有着BC 边上的高，与边长或者是延长线构成直角三角形，如图5 所示，图中有Rt△ACD 和Rt△ADB，将所学勾股定理分别应用在这两个直角三角形中，可求解出BD 为9，CD 为16，那么BC 则为7。综上所述，BC 为25 或7。

图4 锐角三角形构造出的直角三角形

图5 钝角三角形构造出的直角三角形

对于此类型的题目，学生经常会因为看错等原因，思路偏离题目。但是根本原因实际上是学生解题不细心，没有分类讨论△ABC，其思维严密性有待加强。题目中涉及了高，这也就暗示学生存在直角，学生可以构建出直角三角形，并将斜三角形进行转化，然后运用勾股定理解题。此种类型题目不仅考查学生的勾股定理熟练运用能力，还考验了他们的分类讨论思想，考查学生是否遗忘分类讨论。此题目在一定程度上可以提高学生的数学逻辑思维能力，增强他们对于考查题目的敏锐性。

（四）勾股定理在证明题中的应用

如图正方形ABCD，E 为BC 中点，F 为AB 上一点，且BF=¼AB。请问FE 与DE 是否垂直?请说明。

∵四边形ABCD 为正方形

∴该图形具有正方形所特有的特征四条边相等 AB=BC=CD=AD=DE

证明:设BF=a，则BE=EC=2a，AF=3a，AB=4a

∵△BEF 是直角三角形

∴EF²=BF² +BE²=a² +4a²=5a²

DE²=CE² +CD²=4a² +16a²=20a²

连接点D 点F 得线段DF(如图)

DF²=AF² +AD²=9a² +16a²=25a²

∴DF²=EF² +DE²

∴FE⊥DE。

这道题目看似难度大，实际上考查的也是勾股定理。通过此种类型的题目，在勾股定理知识得到巩固的基础上，学生的知识灵活运用能力以及转化能力得到加强，学会了举一反三。

本文主要初步探究勾股定理的简单应用，在日常的教学中，教师可以精心选择合适的典例以及相关的勾股定理课后习题，让学生多加练习，从而提升他们对勾股定理的敏锐度，并培养他们的实际运用能力。通过一步步的指导和练习培养学生对题目中重要信息的获得能力，根据题目要求探析题目中的重点要求，以及想要让学生运用的知识点。教师要让学生学会定期回顾勾股定理内容，总结其中重要知识点，对近期错题进行总结归纳，从而熟练掌握勾股定理。并且让学生养成分类讨论及运用方程解题等相关重要数学思想，并提升自己的计算能力，从而搭起一座连接代数与几何“两岸”的桥梁，将两者紧密结合在一起，形成有机整体。

四、小结

本文基于分析理解勾股定理的教材、学情的这一起点上，将勾股定理的应用进行初步的归纳分类，并通过以典型例题的形式在学生面前进行呈现。

例题1 选择与图形折叠相关的题目，让学生感受到其在折叠之前和折叠之后的不变性，用此方法在不知不觉中将轴对称的概念渗入了学生的脑海中，为以后关于轴对称的学习打下基础。例题2 选择与最近路径相关的题目，将解题过程与立体几何相结合，以训练学生空间想象、抽象思维的能力，提前为未来的立体几何的学习打下基础。例3 选择在斜三角形上的运用，强调了对分类法的思考，提高了学生的逻辑和严密程度，预防疏漏现象的出现。例4 探讨如何运用于论证问题，让学生明白了问题解法中非常重要的一步是要循本溯源，找到问题的题眼。

总而言之，从举出的四个典型案例中领悟到，勾股定理的运用是多种多样的，涵盖的范围也很广。所以，在勾股定理中，要遵循“万变不离其宗”的思想，从根本上了解和把握，并能做到随机应变。