黑体空腔中热平衡条件的导出

黄永义，张淳民

(西安交通大学 物理学院，陕西 西安 710049)

1900年瑞利导出瑞利-金斯公式时，直觉地给出了原子的电偶极振子和腔内电磁波交换能量达到热平衡时的条件：

(1)

1 黑体空腔中原子振子的辐射阻尼

如图1所示，电场中的原子可视为一维电偶极振子，该振子在腔内电磁波环境中做受迫振动时满足的运动方程为

(2)

式中m为电子质量，ω0为原子的电偶极振子的固有频率，E0、ω分别为电磁波的振幅和圆频率，电动力学教材给出的辐射阻尼系数为[6]

(3)

图1 电场中的原子可视为一维电偶极振子

(4)

式中A′为弱阻尼振动的初始振幅，φ′为其初相，第一项阻尼项在长时极限t→∞下趋于零，第2项为式(2)的长时的稳态解：

(5)

(6)

式中

为一维电偶极振子的能量，且有

能够被该振子接收的电磁波对该振子做功，一个周期内给该振子补充能量的平均值为

(7)

式中

〈sin(ωt+φ)cosωt〉=

从式(6)和式(7)看，一个周期内电偶极谐振子损失能量和获得能量相等，这也是意料中的事.事实上，电偶极振子和电磁波都在完美反射的封闭空腔里，电偶极振子辐射阻尼损失的能量变成电磁波，电磁波对电偶极振子做功又把能量还给振子，电偶极振子和电磁波的总能量不会损失，普朗克将空腔里电偶极振子的辐射阻尼称为守恒阻尼.

2 黑体空腔中热平衡条件的导出

电磁波对电偶极振子做功给与的能量式(7)，这就要求该电偶极振子能够接收此电磁波的辐照能量.当入射电磁波的电场垂直于振子电偶极矩时，该电偶极振子不会接收到该电磁波的辐照能量.实际空腔内的电磁波会来自某电偶极振子的任何一个方向，如何保证电偶极振子能接收各个方向电磁波的辐照能量呢？费曼给出了答案，电偶极矩相互垂直的三个电偶极振子系统像一个振子一样能够接收来自任何方向电磁波的辐照能量[8].从式(6)和式(7)，我们得到3个电偶极振子系统辐射阻尼损失的能量和从各种振幅E0i、频率为ω的电磁波辐照获得的能量达到平衡的条件为

(8)

(9)

式(9)中c为光速，将式(9)代入式(8)得

(10)

一个电偶极振子接收的不只是单一频率ω的电磁波，而是零到无穷的所有频率的电磁波，此时需要对式(10)右侧进行积分:

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

3 小结

历史上普朗克先于瑞利导出了热平衡条件，最早给出了正确的黑体辐射谱的公式.虽然物理学家的直觉常常是正确的，不过直觉给出的结果依然需要经过严格的理论论证或实验证实，因为直觉本质上是非逻辑的比较可靠的主观的猜测.本文导出热平衡条件的过程对于学习黑体辐射知识是有帮助的，同时也能很好地串联受迫振动、带电粒子的辐射、光强和电磁波的能量密度等知识点.理解和掌握该导出过程不需要高深的数学，只需要大学物理的知识就足够了，因此本文对物理教学是有意义的.