中学数学作图解题技巧运用方法分析

2022-12-31钱鑫宇

科教导刊·电子版 2022年26期

钱鑫宇

（淮阴师范学院数学与统计学院，江苏淮安 223001）

0 引言

数形结合思维在中学数学学习中是每一位中学生都应当具有的基础数学思维。对图形的准确掌握不仅可以形象地将数学问题的解题思路反映出来，也能够使学生明确数学题目中给出的数学信息与解题答案之间的关联，能够帮助学生找出隐含条件，建立更合理的解题过程，有助于提升数学解题思维的整体性来拓展思路，解决更多数学问题，这也是中学数学学习中必须具备的逻辑思维能力。

1 作图解题技巧在中学数学学习中的应用优势

在中学数学学习过程当中，几何已经成为了重要的学习内容之一，通过学习几何能够培养学生直观想象和空间发展的观念，也能够提升学生的逻辑思维能力。在数学解题过程当中，学习使用作图的技巧有助于对几何知识的应用能力提高，也有助于学生解题能力的综合提高，对于部分较为抽象的习题使用几何作图的解题方法，能够使题目中的数学信息被拆解开来，有助于学生对数学题目的理解，也能够使学生在面对数学习题时，更具有灵活思维和创新解题观点。

作图能力反映的是学生的基本应用技能和推理能力，也反映出了学生的直观想象能力和逻辑推理素养，在数学学习中使用作图技巧来解答数学问题，一方面许多抽象的函数问题都能够通过作图来直观感受题目中未知数的变化；另一方面符合数学学习中数形结合的理念，将数学与图形之间的联系不断加深能够使学生更具有数学思维，提升学生的数学核心素养[1]。

数形结合法也是研究数学问题的基本方法之一，对于初中数学学习有非常大的作用，同时也能够为学生后续的数学学习提供更丰富的解题思路，在其他理科学科的学习中也能起到辅助作用。

2 中学数学作图解题技巧运用方法分析

2.1 明确作图类别

在中学数学学习当中已经接触到了各种不同类型的几何图像作图方法，针对不同的数学问题也需要使用不同的图像来解析数学信息。从整体来看应当先对图形的类别进行判断，根据题目给出的数学信息和最终需要解答的问题来综合判断使用哪种图形，具体可以分为辅助图与结果图，辅助图中并不能直接呈现答案，而结果图则是能够清晰地展示出答案的一部分或是最终结果。通常来讲，辅助图适用于选择题与填空题，能够有效缩短做题时间，而面对几何与函数问题时则主要以结果图为主。在解题过程当中根据图形的准确程度可以将其划分为准确图与示意图，根据题目中的抽象数学信息来绘制的图像是示意图，利用专业的画图工具如三角板、圆规等绘制出的准确图形则是准确图。示意图能够帮助学生构建初步的数形联系，而准确图中则往往能直接取得问题的答案。除此之外还有一种图形分类方法，将通常情况下使用的图像称为一般图，而对于特殊题目中使用的图像称为特例图。但无论使用哪一种图像都应当根据题目中的数学信息和涉及的知识点选择绘图的具体操作，中学数学的内容已经有了很大的扩展，涉及的知识体系更加庞大，学生在解题过程中应当先对题目有初步的了解，同时对各种图像类型有详细的了解，才能在解题过程中精确选择作图的类别，以此来找到数学问题的答案。

2.2 树立起作图意识

要是用作图解题技巧来应对数学问题，首先应当具有完备的作图意识，面对任何图形都能联想到有关的数学知识原理并掌握题目中的数量关系和空间结构来精准的将抽象的数学问题具象化，将单一的数字简化成直观的图像，利用作图意识来对题目进行初步的拆解。学生要通过将每一个有图像关联的数学知识烂熟于心来锻炼出看题作图的思维[2]。在遇到数学题目时，能够率先使用数形结合的思想，对数学问题进行分析，从而使抽象的问题具象化，将复杂的知识简洁化。在中学数学习题中有的习题必须使用作图方法来解决，例如几何问题或是函数问题，题目中会明确指出需要作图，但有的题目尽管没有提及图形，然而想要获取正确答案也需要作图，无论是哪种题目，学生只要具有了作图思维都可以妥善应对，在完成题目的过程当中，通过作图锻炼自己的几何应用能力，通过作图解题来培养数学逻辑思维，将不同章节的知识整合成数学网络。在数学习题解答过程当中图形绘制至关重要，能够有效提升学生的解题能力，学生通过不断提升自身的作图意识，也能够在后续的数学学习中起到事半功倍的效果。

2.3 强化自身的作图能力

对题目需要作图的类型进行判断以及培养作图意识都是为提高作图能力而服务的，这三者之间存在必然联系，因此学生要想最终综合提高作图能力需要从不同方面入手。具体来讲，分为以下四点措施。

2.3.1 学会精准理解题目

首先学生应当正确理解题目，对题目中的隐含条件和部分条件，通过作图的方式来准确体现，在作图过程当中不要忽略题目中给出的全部数学信息。以以下例题为例，在一个由边长为一的小正方形组成的网格图中，将每个小正方形的顶点作为格点，在格点上描出点A和点B，连接线段AB并在AB上画一个点P，使AP：BP=2：1。在这道题目中需要注意的是，该网格图由正方形组成，且每个正方形的边长都为一，那么两个格点之间的距离是相等的。因此在绘制图像时要对题目中的已知条件进行分析，从而达到精准作图的目的。学生在读题过后，通过想象与联想的方式理解AP与BP之间的比值为2比1的意思就是p点在线段AB的中点上，那么这道题目自然迎刃而解。除此之外，为了进一步提高答案的准确性，学生也应当重视图形绘制的准确程度，在阅读题目之后，可以先将题目中的文字信息及时转化成图形。若题目是选择题，则可以在演算纸上进行图像绘制，并直接给出答案，但若解答的是简答题，则需要确保答题纸上绘制的图像完全准确，并结合图像写出正确的解题思路，重视图像与公式使用之间的联系，重视图像与最终答案之间的关联[3]。

2.3.2 提高自身的作图熟练度

对于中学生而言，随着几何知识学习不断提高深度，作图能力的提升成为学生学习数学的重点，通过积极培养画图能力来提升数学核心素养也是重要手段之一。在当前新课改的发展背景之下，学生自身的画图能力不仅是教育教学的重点，也是解题技巧提升的关键所在，学生应当在日常学习中不断提升作图的熟练度，通过多做题、多画图、多研究例题等方式来不断提高自身的作图熟练程度，实现思想与画图的整合，提升几何思维能力。在面对数学题目时，应当积极选择使用作图为主的解题方式，对题目进行解答。

例如在以下例题中，题目信息设置为某镇需要建设一个车站，居民的主要聚集地点设置为O、P、Q，要使居民聚集点到车站之间的距离相等应当如何确立车站的位置。

很明显这是一道几何问题，需要学生通过绘制图形来进行解答。此题中需要使用到的图像类型是准确图，首先需要将O、P、Q三个点相连接，然后再在其中两条线如OP和OQ上做出中垂线，根据中垂线定理的逆定理推算出中垂线的交点是最终车站修建的位置。

除此之外在一次函数习题中也可以通过画图得到最直观的答案，学生利用画图方式解决习题也能够节省答题时间。但在函数题目中，通过做题法来解答问题需要学生对基本理论公式和概念有熟练地掌握才能使作图的准确率提升。

2.3.3 积极发展自身的图感

在数学学习中图感度指的是学生对图形的形状、位置、判断的准确度，这能够帮助学生在看到习题时通过简单的分析来迅速确认绘制图像的类型以及图像上要使用到的有关信息，使学生能够更快获得准确答案。例如常见的一次函数选择题中往往会给出一个数学场景，进而通过一段描述给出四个函数图像，学生通过分析来选择哪一个函数图像符合题目中描述的数学场景[4]。在解答这一类习题的过程中，学生应当首先明确题目中具体需要使用到哪一部分的一次函数知识点。在解题时往往不需要计算出准确的数字，只需要知道使用到哪种形状的函数图像即可。通过锻炼图感度能够使学生在这一过程中对函数图像做出更准确的分析，也能够使学生明白明确题目中给出的数学信息可以绘制出什么样的函数图像，从而使学生获得更准确的答案。

2.3.4 重视对作图操作的综合思考

对于许多数学问题而言作图是解题的有效解题方法，通过采取不同的作图方式也能够取得不同的解题效果。学生应当对数学题中给出的条件综合思考，筛选出其中的有用条件和干扰条件，发掘其中的隐含条件，并结合所学知识利用好与之有关联的知识内容，保证作图的合理性与完整程度。对于同一道题目而言，采取不同的作图方式可能会出现不同的答案，这就导致解题的准确性存在一定的风险。为了使作图解题的准确性进一步提升，学生应当先确定最合理的解图类型，在图像中体现题目中的有用数学条件，实现数字与图像的密切结合。在几何与函数题当中对于图形绘制的要求更高，这时则需要先将这类问题转化为简单的数学问题，再使用作图的解题技巧加以解答。

2.4 有效运用各类作图解题的方法

2.4.1 跟随教师深入了解作图解题流程

学生在课堂学习过程当中要重点关注教师对典型数学例题的示范性讲解，要仔细观察教师的解题流程和作图技巧，通过长时间的课堂积累来快速掌握解决问题的主要方法，这也能够使学生深刻认识到作图解题的价值所在。在对每一种例题类型深入学习过后，学生还应当在课后重视同类型习题的练习，通过不断做题来锻炼出完善的作图解题思维。当学生对例题理解有所不足时，可以适当采用不同颜色绘制不同线条的方式作为解题辅助，或是向教师与其他数学成绩优秀的同学求助的方式来加深对数学题目和作图解题技巧的理解。

2.4.2 总结成套的作图解题方案

对于数学成绩相对较差的学生，他们往往是由于基础知识掌握能力不足，在课堂学习与习题练习中遇到了许多基础性的困难。这样的学生在学习过程当中应当由浅入深，先对简单的典型例题进行解题过程的探索。通过对例题的规范答案进行深入研究，在脑海中生成完善的解题方法,自行总结出一套较为完善的作图解题方案。在对简单例题有足够的了解之后，再对较难的问题不断练习，寻找题目当中存在的隐藏条件，不断剖析题目中给出的每一个数学信息来提高自身的解题能力[5]。在日常习题练习中，可以通过对每一个可以使用作图解决的知识点进行作图练习的方式，培养起自身的数形结合思维和作图解题逻辑，以此来不断提高作图水平。除此之外学生也可以采用习题分类的方式，对不同的习题进行图像类别划分，以此来形成一套更加具有综合性的解题方案，使解题技巧在数学学习中得到个性化应用。

2.4.3 养成良好的审题习惯

审题是解决数学的关键过程，也是寻找答案的过程,寻找解题思路的过程，良好的审题习惯是解决问题的先决条件，在看到一道数学题时，学生应当首先思考这道习题是否需要通过画图方式来解决，如果不画图应当利用哪些知识来解答问题，如果画图那么需要选择哪一种图形，选择好图形之后再将题目中可以利用在作图中的有效信息提取出来，通过这样抽丝剥茧的解题流程能够不断提高自身探索能力。尤其是在学习一次函数时，许多题目不借助图形将会难以找到函数的交点，这时学生通过审题能够掌握更多的条件，确定在图像绘制中需要使用到哪些数学信息，以此来绘制出完整的图形，对一次函数问题进行解答。在解决最大值最小值问题时，许多学生由于对题目理解不足感到解题困难，这时学生应当静下心来重新审题，对已知条件和未知条件进行详细的分析。养成良好的审题习惯对数学习题充分掌握，既能提高解题效率又能提高验算的质量。

2.4.4 科学处理不确定的内容

通常来讲没有给出图像的几何问题不仅仅是对几何知识点的考查，也是对学生几何思维以及数学思维的考察，解决这样的问题也是学生数学能力的体现之一。学生要在自主探究过程当中随着图像完成度的提升，不断对数学信息进行分析，先利用已知条件确定出一部分图，对于题目中不确定的部分可以采取不同的几何图形加以替代，包括射线与直线这样的可调控图形，用代替线段的方式让几何图形更具有动态分析的可能。以此给未知部分留有余地，达到对数学习题中的不确定部分科学调控的目的。